Agata Fronczak i Piotr Fronczak Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

1. Agata Fronczak i Piotr FronczakWydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych Seminarium DUZ(8 października 2007r)

2. 1 / 17 Transport i wyszukiwanie w sieciach złożonych Metody wyszukiwania w sieciStrategie efektywnego routingu Autorzy, którzy zajmowali się tymi zagadnieniami: Adamic & Humerman, Tadic & Rodgers & Thurner,Kim et al.Germano & Moura,Redner et al.,Havlin & Stanley et al.,Holme et al.,Rosvall & Sneppen,Motter et al.,Bianconi & Marsili,Goh et al., W.-X. Wang et al., Phys. Rev. E 73, 026111 (2006)(…) W większości przypadków w podstaw tych zagadnień leży proces błądzenia przypadkowego. Sieci telekomunikacyjne, np. Internet Sieci transportowe, np. sieci połączeń lotniczychSieci społeczne

3. preferencyjne błądzenie przypadkowe: prawdopodobieństwo przejścia między węzłami i oraz j przeszukiwanie cykliczne:każdy węzeł zna swoje najbliższe otoczenie do głębokości x. 2 / 17 Ruch pakietów w sieci złożonej • Model ruchu pakietów w sieci złożonej • W każdym kroku czasowym w sieci generowanych jest R pakietów. Każdemu pakietowi losowo przypisywany jest węzeł-nadawca oraz węzeł-odbiorca. • W kolejnych krokach czasowych pakiety poruszają się po sieci w poszukiwaniu swoich węzłów-odbiorców. Gdy pakiet dociera do miejsca swego przeznaczenia jest usuwany z sieci. • Ruch pakietów po sieci odpowiada preferencyjnemu błądzeniu przypadkowemu z cyklicznym przeszukiwaniem. • Wszystkie węzły w sieci mają ograniczoną szybkość pracy tj. w jednym kroku czasowym potrafią przesłać dalej co najwyżej C pakietów. • Na węzłach obowiązuje kolejka FIFO o nieograniczonej długości. Traffic dynamics based on local routing protocol on a scale-free network W.X. Wang et al.,, Phys. Rev. E 73, 026111 (2006)

4. Podstawowa obserwacja Dla pewnej wartości parametru RC(), w sieci obserwujemy ciągłe przejście fazowe ze stanu cechującego swobodny przepływ pakietów do stanu, w którym sieć jest przepełniona. Free Flow  Traffic Jam Parametr porządkutego przejścia fazowego Gdzie zmiana liczby pakietów w sieci, przy czym <…> oznacza uśrednienie po różnych oknach czasowych . 3 / 17 Przejście fazowe ze stanu swobodnego przepływu do stanu przepełnienia Phys. Rev. Lett. 86, 3196 (2001).

5. W stanie przepełnienia: liczba pakietów w sieci rośnie liniowo w czasie. Stan swobodnego przepływu: średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k 4 / 17 Faza przepełnienia Faza swobodnego przepływu

6. Zwykłe błądzenie przypadkowe – najefektywniejsze!? 5 / 17 Krytyczna wartość tempa generacji pakietów RC() Strategia antypreferencyjna – najefektywniejsza !?

7. p q=1-p x x+1 x+2 x+4 x+5 x-4 x-3 x-2 x-1 prawdopodobieństwo, że cząstka znajduje się w pozycji x po N krokach czasowych; warunek początkowy; Równanie Master: Rozwiązanie równania: rozkład dwumianowy w granicy długich czasów – rozkład normalny 6 / 17 Błądzenie przypadkowe z dryftem – Biased random walks

8. 7 / 17 Błądzenie przypadkowe w wielowymiarowych sieciach regularnych Polya, 1921 Random walk in dimensions 1 and 2 is recurrent, while in dimension 3 and above it is transient. Błądzenie przypadkowe na łańcuchu węzłów (d=1) i na sieci kwadratowej (d=2) ma charakter rekurencyjny. Prawdopodobieństwo, że cząstka kiedyś powróci do punktu z którego wyszła, jest równe 1. W przypadku sieci kwadratowej czas powrotu =. Proces stochastyczny ze stanami powtarzającymi się Dla d3 błądzenie przypadkowe ma charakter przejściowy. Prawdopodobieństwo powrotu <1. Proces stochastyczny ze stanami chwilowymi.

9. 8 / 17 Błądzenie przypadkowe na sieciach złożonych Prawdopodobieństwo przejścia cząstki z węzła i do węzła j (transition probability) J.D. Noh, H. Reiger, Random walks on complex networksPhys. Rev. Lett. 92, 118701 (2004) Prawdopodobieństwo, że w czasie t   cząstka będzie się znajdowała w węźle io stopniu ki (stationary occupation probability) j i Idea centralności węzłów: różnica czasów przejścia miedzy węzłami i oraz j gdzie Ci – tzw. random walk centrality

10. węzeł docelowy cząstka błądząca po sieci 9 / 17 Błądzenie przypadkowe z dryftem na sieciach złożonychBiased random walks on complex networks A.Fronczak, P. FronczakBiased random walks on complex networks: the role of local navigation rulesarxiv:0709.2231 (wrzesień 2007) x=1 Lokalne reguły rozważane przy błądzeniu przypadkowym: j 1. preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia z węzła i do węzła j 2. przeszukiwanie cykliczne (cyclic search): jeśli węzeł docelowy cząstki został znaleziony w odległości x=1,2,… od węzła, w którym cząstka aktualnie przebywa, wtedy w następnych krokach czasowych cząstka zmierza bezpośrednio do miejsca przeznaczenia. węzeł j + jego najbliższe otoczenie

11. Równanie Master: prawdopodobieństwo, że cząstka, która wyruszyła w czasie t=0 z węzła i, w czasie t będzie przebywała w węźle j Stosując przybliżenie średniego pola do równania Master oraz zakładając brak korelacji międzywęzłowych w sieciach dostajemy 10 / 17 Stacjonarne prawdopodobieństwo obsadzenia węzłów

12. 11 / 17 Zagadnienie pierwszego przejściaFirst-passage processes Prawdopodobieństwo pierwszego-przejścia tj. prawdopodobieństwo, że cząstka, która rozpoczyna błądzenie po sieci od węzła ipo raz pierwszy trafi do węzła j w chwili t Stosując transformatę Laplace’a do powyższego równania dostajemy znaną zależność (♠) i rozwijając (♠) w szereg potęgowy otrzymujemy wzory opisujące średnie czasy pierwszego przejścia błądzącej cząstki z węzła i do węzła j Następnie podstawiając do zależności (♠) poniższe wyrażenie gdzie

13. 12 / 17 Średnie czasy pierwszego powrotu Uśrednione po wszystkich węzłach czasy pierwszego powrotu są najkrótsze przy strategii =-1. Oznacza to, że ta strategia skutkuje najwolniejszą eksploracją sieci!

14. 13 / 17 Średnie czasy pierwszego przejścia między węzłami sieci

15. Stopień znormalizowanego węzła J x=1 gdzie reprezentuje średni stopień najbliższego sąsiada, natomiast x jest parametrem przeszukiwania cyklicznego Średni czas pierwszego przejścia z węzła i do węzła j przy cyklicznym przeszukiwaniu, jest równy gdzie odpowiednie parametry TiJ RiJ RJJodnoszą się do sieci, w której węzeł j wraz z jego najbliższym x-otoczeniem zastąpiono znormalizowanym węzłem J o stopniu kJ węzeł j + jego najbliższe otoczenie węzeł docelowy cząstka błądząca po sieci 14 / 17 Przeszukiwanie cykliczne j J  znormalizowany węzeł J

16. 15 / 17 Ruch pakietów w sieci złożonej – założenie o niezależności pakietów Założenie:W stanie swobodnego przepływu pakiety w sieci można traktować jak niezależne cząstki. Fig. Stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa obsadzenia węzła przez cząstkę błądzącą przypadkowo wg strategii . Fig. Średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k

17. dla >-1 zapychają się węzły duże dla <-1 zapychają się węzły małe dla =-1 wszystkie węzły mają jednakowe prawdopodobieństwo zapchania 16 / 17 Oszacowanie krytycznej wartości tempa generacji pakietów RC() Niech: średni czas pierwszego przejścia z węzła i do j przy zadanej strategii. Wtedy: średnia liczba pakietów w sieci w każdym kroku czasowym przy założeniu, że pakiety są niezależne Krytyczna wartość tempa generacji pakietów: Sieć zaczyna się zapychać wtedy, gdy liczba pakietów na dowolnym węźle sieci przekracza jego zdolność przetwórczą C

18. 17 / 17 To już koniec ! Podsumowanie • Wykonaliśly analizę błądzenia przypadkowego w sieciach złożonych; Rozważaliśmy następujące lokalne reguły nawigacji: * preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia * przeszukiwanie cykliczne; • Pokazaliśmy, że w stanie swobodnego przepływu pakietów w sieciach łożonych pakiety można traktować jak cząstki nie oddziałujące ze sobą; • Podejście niezależnych cząstek umożliwiło nam wyznaczenie krytycznej wartości tempa generacji pakietów;  Rozliczyliśmy grant MiNI !?