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Coordenadas Polares MAT022. Resumen VBV. Coordenadas Cartesianas. Definiciones. POLO: Origen (0,0) EJE POLAR: Eje X EJE NORMAL: Eje Y r: distancia dirigida de 0 a P : á ngulo dirigido en sentido antihorario. r. . Eje Polar. Pasar de Coordenadas Cartesianas a Polares .
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Coordenadas PolaresMAT022 Resumen VBV
Definiciones • POLO: Origen (0,0) • EJE POLAR: Eje X • EJE NORMAL: Eje Y • r: distancia dirigida de 0 a P • : ángulo dirigido en sentido antihorario r Eje Polar
Pasar de Coordenadas Cartesianas a Polares x= r cos y= r sen x2+y2= r2 tg = y/x
Ejemplos: • Escribir en coordenadas polares: • P ( 5 , - 5 ) , Q ( 0 , 2 ) , R( -1 , 3 ) , S ( 3 , 4 ). • Escribir en coordenadas cartesianas: • P ( 2 , ) , Q ( 3 , /6 ) , R ( 3 , -/6 ). • Y dibujar en el plano.
Ya cuando uno se familiariza con las coordenadas polares…. • …no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares: se hace directamente. • Es muy sencillo si en el plano usamos como referencia • ángulos y magnitudes.
Importante!!!! • En coordenadas rectangulares la representación de un punto es única. • Esto no sucede en coordenadas polares: • (r, ), (-r, + ) y (r, +2k) representan el mismo punto.
Esto es, • ( r , ) = ( r , + 2 k ), • ( r , ) = ( - r , + ), • ( r , ) = ( - r , - (2 k+1) ), • Donde k es entero
Ejemplos • Hallar las coordenadas rectangulares de: • P(-2 , 4/3) • Q (-3 , 11/6) • R (-4 , 3/4) • S(-2 , 5/3) • Considerar todos los puntos que cumplen: r = 4 sen Transformar a coordenadas cartesianas e identificar su grafica.
Graficas Polares • r = f() se llama ECUACIÓN POLAR. • G={ ( x , y ) : x = r cos , y = r sen , Dom(f) } • = {( f()cos , f()sen ) : Dom(f) } • Ejemplos: • r = 2 • = /3 • r = sec
Definiciones Importantes: • Función Acotada: • r = f() es ACOTADA si M>0, t.q. |r| M, Dom(f) • Simetría: • Polar (X) : r() = r(-) • Normal (Y) : r() = r(-) • Polo (O) :
Simetría: • Polar (X) : r() = r(-) • O bien al intercambiar simultáneamente: r -r - la ec. no varia • Normal (Y) : r() = r(-) • O bien al intercambiar simultáneamente: r -r - la ec. no varia r r r - - r
Polo (O) : la ecuación no varia al intercambiar: • r -r o +
OBSERVACIÓN: • Cuando decimos que la ecuación no varia estamos diciendo que se obtiene una de sus múltiples representaciones: (-1)n r = f( + n )
Estrategias para Graficar: • Estudiar si la función es: • Acotada • Simétrica • Periódica • Cambiar a coordenadas cartesianas (no siempre resulta) • Construir tabla • Calcular Interceptos, máximos y mínimos.
RECTAS RECTAS QUE CONTIENEN EL POLO = Ejemplo: Graficar: = /4
RECTAS QUE NO PASAN POR EL POLO, A UNA DISTANDO “d” DEL POLO Ejemplo: graficar:
RECTAS HORIZONTALES / VERTICALES r= d cosec r= d sec Ejemplo: Graficar: r = 2 sec r= cosec Probar!!!!
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a” CON CENTRO EN (a,) r=2a cos( - ) Ejemplo: Graficar: r = 4 cos( - /3)
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a” r=a r=2a sen() r=2a cos()
Ejemplos: graficar: r=2 r=4sen() r=4cos()
Estudiar las circunferencias que se obtienen para …. • = 0 • = • = /2 • = 3/2
PARABOLAS / ELIPSES / HIPERBOLAS • Se obtienen de la ecuación: • e=1 : parábola • 0<e<1 : elipse • e > 1 : hipérbola
CARACOLES O LIMONARES • Son de la forma: • r = a b cos • r = a b sen • Se diferencian, según: • |a| = |b| : Cardioide • |a| > |b| : Caracol sin Rizo • |a| < |b| : Caracol con Rizo
CARDIOIDE r=1+cos() r=1+sen()
LIMACONES O CARACOLES r=1/2 + cos() r= 3 – 2 cos()
ROSAS • Son del tipo: • r = cos (n) • r = cos (n) • Donde n es un numero entero. • Si n es par, entonces la grafica tiene 2n pétalos • Si n es impar, entonces la grafica tiene n pétalos
ROSAS r=2sin(3) r=2cos(3) r=sen(4)
Otro tipo de rosa… Una rosa dentro de otra r= 1 – 2 sen (3)
LEMNISCATA • Son de la forma: • r2 = a sen (2) • r2 = a cos (2)
LEMNISCATA r2=4cos(2) r2=4sen(2)
Ejemplos: graficar: r2=- 4 sen(2) r2=- 4 cos(2)
ESPIRAL ARQUIMEDES: r= cte LOGARITMICA r=cteek r=e r=
Ejercicios Propuestos: • Graficar las siguientes ecuaciones polares: • r = 5 • r = -3 cos • r = 2 / (2 – sen) • r = 2 – 4sen • r - 2 +5 sen = 0 • r2 = 3sen (2) • r = sen + cos • sen + cos = 0
Intersección de Graficas Polares. • Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras, debe tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. • Ejemplo: • r=1-2cos() • r=1
Ejercicios Propuestos:Graficar y encontrar los puntos de intersección: • A) r = - 6 cos() r = 2 – 2 cos() • B) r = 2cos(2) r=1 • C) r= cos(2) • r=cos() • D) r = 3 cos() r = 1+ cos() • E) r = 3 sen() r = 1+ cos() • F) r2= -8 cos(2) r = 2 • G) r = 3 /(2+ sen) r = 4+ 4 sen ()
ÁREA EN COORDENADAS POLARES r=f() A = Si f es una función continua, positiva =
La pregunta es … Como encontramos = , = ????
Teorema • Si f()= 0 y f’() 0 entonces, la recta = es tangente a la grafica de r = f() en el polo.
Ejemplos: Encontrar el área… r = 1+cos()
Ejercicios Propuestos: • Encontrar el área… • r= 2 cos (3) • r= 2 sen (3)
IMPORTANTE!!!! • La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. • Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si toma valores tanto positivos como negativos en el intervalo.
Área de la región encerrada por las gráficas de dos ecuaciones polares r = f ( ) y r = g () A r=f() = 0 g () f ( ) r=g() =
IMPORTANTE!!! • Encontrar los puntos de intersección de la curva • Determinar si g () f ( ) o f () g ( )
Ejercicio f()= 2 sen() • Hallar el área comprendida en el primer cuadrante que es exterior a g() = 2 cos() e interior a f() = 2 sen() • Solución: a) Intersección: Resolver la ec: 2 cos() = 2 sen() ⇔ = / 4 b) Área: g() = 2 cos()
Ejercicios Propuestos: • Hallar el área fuera de la cardioider = 2(1+cos() ) y dentro de la circunferencia r = 6cos () . • Hallar el área común a las dos circunferencias r = 2sen () y r = 2cos () . • Dadas las curvas (1) r = 2cos(3) y (2) r = 1. • 1. Hallar el área que encuentra en el interior de (1) y exterior a (2) • 2. Hallar el área que encuentra en el exterior de (1) e interior a (2) • 3. Hallar el área interior a ambas.