1 / 13

Sistemas de coordenadas polares

Sistemas de coordenadas polares. Polo Eixo polar. Ponto (r,. r. r. < 180º). < 90º). < 270º). Observação: As coordenadas polares de um ponto não são Únicas. < 3600º). Ex.: (1, 315º), ( 1, -45º) e (1, 675º) representam o mesmo ponto.

emile
Download Presentation

Sistemas de coordenadas polares

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Sistemas de coordenadas polares Polo Eixo polar Ponto (r, r r < 180º) < 90º) < 270º) Observação: As coordenadas polares de um ponto não são Únicas. < 3600º) Ex.: (1, 315º), ( 1, -45º) e (1, 675º) representam o mesmo ponto

  2. Relações entre as coordenadas polares e as retangulares r = = P (x, y) y P (r, ) r x

  3. As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton: Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139. Gráficos em coordenadas polares r = cos(2θ) Em coordenadas polares Obs.: r < 0 considerar o ponto(-r, π + α)

  4. Em coordenadas retangulares r = cos(2θ) 1 π/2 3π/2 θ π -1

  5. Exercícios: Escrever r = cos(2θ) em coordenadas retangulares. 2. Esboçar as curvas em coordenadas polares e escrevê-las em coordenadas retangulares: r = 1; b) θ = π/4; c) r = θ (θ > 0) 3. Desenhar r = 1 - cos(θ) (cardióide) em coordenadas retangulares. Construir uma tabela com o Excel, de 15º em 15º, para essa equação. Desenhar em um sistema polar. Confirmar com o Winplot. Escrever r = 1 – cos(θ) em coordenadas retangulares. Desenhar com o Winplot

  6. 4. Seja r2 = 4cos(2θ). Construir uma tabela com o Excel, de 15º em 15º, para essa equação. Desenhar em um sistema polar. Confirmar com o Winplot. 5. Desenhar com o winplot as duas famílias de rosáceas: r = a.sen(nθ) e r = a.cos(nθ). Fazer a = 1 e desenhar essas curvas considerando n = 2, 3, 4, 5, 6. Escrever essas famílias em coordenadas retangulares. 6. Desenhar com o winplot as famílias de espirais: a) De Arquimedes (r = aθ). b) Parabólica (r = aθ1/2). c) Logaritmica (r = aebθ). d) Hiperbólica ( r = a/θ) Escrever essas famílias em coordenadas retangulares.

  7. 7. Desenhar com o winplot as famílias de circunferências: r = a; b) r = 2ª.cos(θ); C) r = 2ª.sen(θ); Escrever essas famílias em coordenadas retangulares. Exercícios: Identifique a curva transformando as equações polares em retangulares a) R = 2; b) r.sen(θ) = 4; c) r = 3.cos(θ); d) r = 6/(3cos(θ) + 2sen(θ)) e) R = 5.sen(θ); f) r = 4.cos(θ) + 4.sen(θ); g) r = sec(θ).tg(θ) 2. Expressar as equações em coordenadas polares: a) x = 7; b) x2 + y2 = 9; c) x2 + y2 – 6y = 0; d) 4xy = 9; e) y = -3; f) x2 + y2 + 4y = 0; g) x2(x2 + y5)= y2

  8. Esboçar os gráficos em coordenadas polares a) θ= π/6; b) r = 3; c) r = 4.senθ; d) r = 6.cosθ; e) r = 1 + senθ; f) R = 3.(1- senθ); g) r = 4 – 4cosθ; h) r = 3 + 4cosθ; i) r2 = 9cos(2θ); j) r2 = 16sen(2θ); h) r = 4θ (θ ≤ 0)

  9. As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em H. Anton: Cálculo - um novo horizonte. Vol. 2. 1999. p. 122 a 139. Retas tangentes para curvas paramétricas e polares Uma curva y = F(x) pode ser dada por suas equações paramétricas: x = f(t), y = g(t) Se f(t) e g(t) têm derivadas primeiras contínuas, temos, usando a derivada da função composta: sendo dx/dt≠ 0, que permite encontrar dy/dx a partir das equações paramétricas da curva

  10. Exemplo: Achar a equação da reta tangente ao círculo dado por suas equações paramétricas x = cos t, y = sen t, para 0 ≤ t ≤ 2π, no ponto onde t = π/6. E no ponto t = 4π/3. Exemplo: Um avião de papel, lançado no instante t = 0 segue a trajetória x = t – 3sen(t), y = 4 – 3cos(t) e bate em um muro quando t = 10. Em que instantes o avião voou horizontalmente? b) Em que instantes o avião voou verticalmente? Fonte: ANTON , H. (1999). P. 136

  11. Exemplo: Encontrar e nos pontos (1,1) e (1,-1) na parábola semicúbica dada pelas equações paramétricas x = t2 , y = t3 para -∞ < t < ∞ Como escrever essa função como y = F(x)? Exemplo: Encontrar a inclinação da reta tangente e a reta tangente à curva paramétrica dada por x = cos(3t), y = 4sen(2t) nos pontos t = π/4 e t = 7π/4

  12. Retas tangentes a curvas polares Vimos que se r = f(θ) é uma curva em coordenadas polares, então cos(θ) = x/r x = r.cos(θ) e sen(θ) = y/r y = r.sen(θ) E então, x = f(θ).cos(θ) e y = f(θ).sen(θ) Assim, x e y são funções de θ. Logo, derivando x e y em relação a θ, Derivada de y em relação a x quando temos uma curva polar

  13. Exemplo: Achar a inclinação da reta tangente ao círculo r = 4cos(θ) no ponto onde θ = π/4. Confirmar a resposta obtendo y = f(x). Exemplo:Achar os pontos da cardióide r = 1 – cos(θ) onde há uma reta tangente horizontal e onde há uma reta tangente vertical. Teorema:Se a curva polar r = f(θ) passa na origem em θ = θ0, e se dr/dθ≠ 0 em θ = θ0 então a reta θ = θ0 é tangente à curva na origem. θ = π/2 θ = 2π/3 θ = π/3 Exemplo:A rosácea de três pétalas r = sen(3θ) tem três retas tangentes à origem. Comprovar com o teorema e com y = f(x). (em sala de aula r = sen(3θ)

More Related