Mesures de performance

1. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Erlang-C et ses propriétés • Robustesse • Elle est très sensible à la variation des entrées ,  et s •  = 1 et  = s = 8 donne un ASA de 17 secondes; •  = 1.1 et  = s = 8 donne un ASA de 30 secondes. • Étirement du temps • a=     Intensité du trafic (nombre erlang); • Si on double  (ou ) alors il faut diviser  (ou ) par 2 pour maintenant a constant; • Or s, le nombre d’agents, n’est pas nécessairement le même. Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007. Mise à jour le 1er janvier 2007

2. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Erlang-C et ses propriétés • Économie d’échelle • En doublant s, le nombre d’agents, on peut plus que doubler  tout en maintenant le même SL • C’est pour cette raison que l’on dit: • Un grand centre d’appels est plus efficace qu’un petit; • Cette affirmation est à considérer avec des lunettes de technocrate! • Temps d’attente variable • Deux centres d’appels: •  = 1,  = 5, AWT = 20 et s = 8  TSF ~ 86%; •  = 20,  = 0.333, AWT = 20 et s = 8  TSF ~ 86%; • Ils n’ont pas le même temps moyen d’attente! Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007. Mise à jour le 1er janvier 2007

3. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Erlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectif • Une règle empirique • surcapacité en %  (s)1/2 = c • c est une constante reliée à SL • La surcapacité est donnée: • 100  (1 – a / s) • a =    • s = 4,  = 1,  = 2  AWT ~ 10 sec et surcapacité = 50% et c = 100. • s = s  4 alors (s)1/2 double. Pour maintenir c à 100, on doit réduire la surcapacité à 25%  AWT ~ 6 sec. • s = s  4  4  AWT ~ 3,2 sec. Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007. Mise à jour le 1er janvier 2007

4. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Erlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectif • Une règle empirique • s = ((c + (c2 + 4a)1/2) / 2)2 • c est une constante reliée à SL mais divisée par 100 • c = 1,  = 1,  = 2  s = 4. • Doubler a passant de a =2 à a = 4 • s ~ 6.6 • Donc, c’est une bonne approximation… • Attention! La règle empirique est seulement utile en relation avec  et s • mais c’est empirique! Source: Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007. Mise à jour le 1er janvier 2007

5. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Extension d’Erlang C pour tenir compte • Abandons • Nombre limité de circuits téléphoniques • Implique le calcul du processus « naissance-décès » (birth-death) • C’est une chaîne de Markov • La prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du passé; • Une chaîne de Markov en temps discret est une séquence X(t1), X(t2), X(t3), ... de variables aléatoires; • L'ensemble de leurs valeurs possibles est appelé l’espace d'états, la valeur X(tn) étant l'état du processus au moment t=n. Mise à jour le 1er janvier 2007

6. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Extension d’Erlang C pour tenir compte • Abandons et rappels • Nombre limité de circuits téléphoniques • Chaîne de Markov • Distribution conditionnelle – probabilité de transition d’un pas • P{X(tn+1) = j | X(tn) = in} où n = 1, 2, 3… et t1 < t2 < … < tn • Le processus peut demeurer dans un état X(tn) = in • Il peut changer d’état seulement à des temps discrets – chaîne de Markov discrète • Il peut changer d’état en un temps arbitaire – chaîne de Markov continue Mise à jour le 1er janvier 2007

7. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Chaîne de Markov • Étant donné une probabilité initiale et la probabilité de transition d’un pas • On peut déterminer la probabilité d’être dans différents états au temps t = n. • Quel est le lien entre une chaîne de Markov et l’extension d’Erlang C pour tenir compte des abandons et la finitude des circuits téléphoniques? • Le processus est dans un état comprenant une population de k appels; • La population augmente de 1 d’une façon probabilistique – naissance; • La population diminue de 1 d’une façon probabilistique – décès. Naissance: un appel arrive dans la file d’attente + rappel. Décès: un appel quitte la file d’attente – un abandon. Mise à jour le 1er janvier 2007

8. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Chaîne de Markov • Le processus continu est donc plus approprié pour modéliser les abandons • P{système dans l’état i au temps T | système présentement dans l’état i} • = (1 – t)T/t • = et lorsque t  0 •  = taux de décès (abandon) dans un état • Donc, le temps passé dans un état est de distribution exponentielle – même distribution que Erlang-C. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

9. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Chaîne de Markov • Si i = taux de naissance dans l’état i, i = taux de décès dans l’état i alors • P{état i à état i – 1 en t} = it • P{état i à état i + 1 en t} = it • P{état i à état i en t} = 1 – (i + i) t • P{état i à un autre état en t} = 0 Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

10. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Chaîne de Markov • Diagramme de transition • X(t) = population dans le système au temps t (naissance – décès) • pi(t) = P{X(t) = i}, probabilité que le système se trouve dans l’état i au temps t • Comment calculer ces probabilités? Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

11. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Chaîne de Markov • Comment calculer ces probabilités? • De t à (t + t) • p0(t+t) = p0(t)[1 – 0t] + p1(t)1t • Généraliser • pi(t+t) = pi(t)[1 – (i+i)t] + pi+1(t)i+1t pi+1(t)i+1t • Lorsque t  0 • dp0(t) / dt = – 0p0(t) + 1p1(t) • dpi(t) / dt = – (0+i)pi(t) + i+1pi+1(t) + i+1pi+1(t) • Finalement la somme des pi(t) = 1 pour t = 0 à  Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

12. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Chaîne de Markov • Comment calculer ces probabilités? • La solution d’équilibre – pas d’anéantissement ou explosiion de la population • dpi(t) / dt = 0 • On obtient donc les probabilités de la solution d’équilibre par la solution des équations suivantes: • 0p0(t) = 1p1(t) • i-1pi-1(t) + i+1pi+1(t) = (i+ i)pi(t) • la somme des pi(t) = 1 pour t = 0 à  • Le calcul des probabilités p0(t) et pi(t) peut se faire simplement par la méthode d’équilibre de flux. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

13. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Chaîne de Markov • Comment calculer ces probabilités? • Flux entrant = flux sortant Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

14. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Extension d’Erlang-C  Erlang-X • Le calculateur Erlang-X solutionne ces équations … Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

15. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Extension d’Erlang-C  Erlang-X • Exemple numérique: •  = 1,  = 5, AWT = 20, s = 6, temps d’attente moyen avant abandon = 6 minutes, 5% de rappel et 10 circuits téléphoniques: • SL ~ 68%, ASA ~ 35 sec, 8.5% abandons et 2.2% des appels sont bloqués. • Diminuons le temps moyen avant abandon de 6 à 4 minutes • SL ~ 70%, ASA ~ 31 sec, 10% abandons et ~ 1.5% des appels sont bloqués. • Augmenter l’effectif de s = 6 à s = 7 agents • SL ~ 84%, ASA ~ 13 sec, 5.2% abandons et ~ 1.6% des appels sont bloqués. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007

16. Mesures de performance • Formules d’Erlang • Extension d’Erlang-C  Erlang-X • Exemple numérique: • Diminuons le nombre de circuits disponible à 8 • SL ~ 92%, ASA ~ 5.2 sec, 3.4% abandons et ~ 6.9% des appels sont bloqués. • Augmenter le temps traitement de 5 minutes à 6 minutes • SL ~ 87%, ASA ~ 9.6 sec, ~ 6% abandons et ~ 11.7% des appels sont bloqués. • On voit donc que le niveau de service en présence d’abandon, rappels et finitude de circuits téléphoniques est fortement non linéaire. • Un problème très difficile à optimiser. Source: Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003. Mise à jour le 1er janvier 2007