Mesures de tendance centrale

1. Mesures de tendance centrale et mesures de dispersion

2. x - la moyenne ( ). Les mesures de tendance centrale servent à décrire le centre d’une distribution ordonnée et la position des données de la distribution par rapport à ce centre. On y retrouve : - le mode (Mo); - la médiane (Md); Les mesures de dispersion servent à décrire la dispersion ou la concentration des données d’une distribution. On y retrouve : - l’étendue; - l’étendue interquartile; - l’étendue des quarts.

3. Mesures de tendance centrale La moyenne, la médiane et le mode sont appelés mesures de tendance centrale, car ils permettent d’analyser les valeurs se retrouvant dans le centre d’une distribution. Exemple : Voici une liste de données représentant l’âge d’un groupe d’enfants à une garderie. 5, 4, 5, 6, 2, 3, 5, 2, 5, 5, 6, 7, 5, 8, 9, 10, 10, 7, 11, 12, 8. Avant de commencer l’analyse, il faut toujours mettre la liste en ordre croissant (ou décroissant). 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.

4. 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. Cette liste contient 21 données. n = 21 données n est le symbole représentant le total des données. Remarque : Le mode (Mo) est la donnée qui revient le plus souvent. Ici, le mode est 5 ans. Remarque : Une distribution de données peut avoir plus d’un mode. Exemple : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. 6. Cette liste contient deux modes : 5 et

5. 10 données 10 données 10 données 10 données La médiane (Md) est la donnée du milieu. Elle sépare la distribution en deux paquets égaux. 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. n = 21 Md : 6 ans Remarques : Dans une liste impaire de données, la médiane est la donnée du milieu. Elle fait donc partie de la liste. Dans une liste paire de données, la médiane est la moyenne des deuxdonnées du centre. n = 20 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11. Médiane : (6 + 7) ÷ 2 = 6,5 6,5 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11. Elle ne fait pas partie de la liste.

6. 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 n = 8 Ce résultat entier indique 2 paquets égaux. 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 4e 5e 64 + 65 2 Remarque sur la médiane Dans une liste de données, pour trouver rapidement la médiane, on procède comme suit. Le total des données est un nombre pair Exemple : Divise le total par 2 : 8 ÷ 2 = 4 Tu auras donc à calculer la moyenne arithmétique des deux données du centre. Md : 64,5 = 64,5

7. n = 9 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71 Ce résultat décimal indique 2 paquets égaux, 61, 62, 62, 64, 66, 66, 68, 71 Le total des données est un nombre impair Exemple : Divise le total par 2 : 9 ÷ 2 = 4,5 avec une donnée supplémentaire. 65 La médiane est donc cette donnée du milieu. Md : 65 En résumé : On divise le total des données de la liste par 2 : Résultat entier : on fait la moyenne arithmétique en utilisant la dernière donnée du premier paquet avec la première donnée du deuxième paquet. Résultat décimal : la médiane est la donnée entre les deux paquets.

8. La médiane Exemples : Une distribution de données contient 41 données. Où se situe la médiane ? n ÷ 2 = 20,5 n = 41 La médiane est donc la 21e donnée. Une distribution de données contient 40 données. Où se situe la médiane ? La médiane est donc la moyenne de la 20e et 21e données. n ÷ 2 = 20 n = 40

9. x faire la somme x ∑ x = des données n moyenne divisée par total des données 2+2+3+4+5+5+5+5+5+5+6+6+7+7+8+8+9+10+10+11+12 21 x ≈ 6,43 ans La moyenne ( ) se calcule en additionnant toutes les données et en divisant par le nombre de données. Il existe une formule représentant la moyenne : Dans notre exemple : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. ≈ 6,43

10. ( 2X2 + 3X1 + 4X1 + 5X6 + 6X2 + 7X2 + 8X2 + 9X1 + 10X2 + 11X1 + 12X1) 21 ≈ 6,43 ans x La moyenne : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. La moyenne pourrait aussi se calculer comme ci-dessous. On multiplie chaque donnée par le nombre de fois qu’elle apparaît :

11. = 88,5 % ≈ 89 % Moyenne pondérée La moyenne d’un certain nombre de valeurs n’ayant pas toutes la même importance est appelée moyenne pondérée. Exemple : Avec la réforme, les compétences C1 et C2 n’ont pas la même importance relative. C1 : 30 % de la note finale; C2 : 70 % de la note finale. Tu as une note de 85 % en C1 et une note de 90 % en C2. Ta moyenne pondérée est alors ( 0,85 X 0,30 + 0,90 X 0,70 ) = 0,885

12. Les mesures de dispersion servent à décrire la dispersion ou la concentration des données d’une distribution. L’étendue est une de ces mesures. Elle est très facile à calculer. Dans notre exemple : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. On fait la différence entre le minimum et le maximum de la distribution. Étendue = max. – min. = 12 – 2 = 10 L’étendue de cette distribution est de 10 ans. Nous verrons plus tard d’autres mesures de dispersion.

13. La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre une distribution de données et facilitent la prise de décision. Exemple 1 : Voici une liste de salaire : 25 000 $, 30 000 $, 32 000 $, 34 000 $, 40 000 $, 42 000 $, 46 000 $. Dans cette liste, ce serait la moyenne qui nous donnerait la meilleure information sur le salaire moyen, soit 35 571,43 $. L’étendue vient appuyer cette moyenne. Étendue : 46 000 $ - 25 000 $ = 21 000 $.

14. La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre une distribution de données et facilitent la prise de décision. Exemple 2 : Voici une autre liste de salaire : 25 000 $, 30 000 $, 35 000 $, 40 000 $, 45 000 $, 50 000 $, 2 400 000 $. Moyenne : 375 000 $. Dans cette liste, la moyenne est trompeuse; cela est dû au seul salaire de 2 400 000 $. L’étendue vient appuyer ce fait. Étendue : 2 400 000 $ – 25 000 $ = 2 375 000 $. Ici, ce serait la médiane qui serait le meilleur indicateur du salaire moyen soit 40 000 $.

15. La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre une distribution de données et facilitent la prise de décision. Exemple 3 : Voici une distribution sur les différentes longueurs (cm) de skis vendus cet hiver chez « Ski doux » : 105, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 115, 115, 120, 120, 120, 135, 135, 135, 140, 140, 140. Le propriétaire de ce magasin utilisera probablement le mode pour commander la grandeur de ski pour l’an prochain. Mo : 110 cm Les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion sont des outils permettant de comprendre une situation et de faire des prédictions. Il y en a encore beaucoup d’autres.