Matematik I Föreläsning 3 7 .10.2013

1. Matematik IFöreläsning 37.10.2013 Hedi Hellstrand Lars Burman

2. Sammanfattning av föreläsning 2 • Matematikens rötter • Tal och siffror

3. Vad innebär begreppet?I vilket sammanhang använder du begreppet? • Tal • Siffra • Antal • Talsystem

4. Föreläsning 3: Räkneoperationer med hela och rationella tal Innehåll • Begreppsbildning/Begreppsnivåer • Tal och representationsformer för tal • Olika talsystem • Räknesättens egenskaper och samband • Personliga och konventionella räknestrategier • PUMP-matriser • Begreppet räknehändelse; variationer i räknehändelser • Negativa tal • Egenskaper för tal (skrivna) i decimalform • Egenskaper för tal (skrivna) i bråkform; Del av en hel och del av ett antal; Modeller • Procentbegreppet • Bråkform/decimalform/procenträkning

5. Begreppsbildning Begrepp? ”vad som är gemensamt och karaktäristiskt för en grupp objekt eller företeelser” (Löwing, 2008, s. 104) t.ex. begreppet addition Vilka ”företeelser” hör ihop med addition? föra samman, få till, öka med... ... ”jag har fyra (bollar) och får tre (bollar) till” 4+3=7 400+300=700 148+30=178 154+3=157

6. Begreppsbildning genom de olika representationsformerna Bildmodeller Konkreta modeller Symboler Omvärlds-situationer Språk/ talad matematik

7. Begreppsbildning genom de olika representationsformerna Bildmodeller avbilda formalisera modellera illustrera Konkreta modeller symbolisera Symboler konkretisera schematisera rita skriva läsa beskriva förenkla/ generalisera avbilda schematisera rita Omvärlds-situationer beskriva Språk/ talad matematik dramatisera

8. Begreppsbildning genom de olika representationsformerna mängden fem Bildmodeller 3 2 4 1 Eleverna ritar klossar i häftet och väljer talkort Klossarna är synliga och kan flyttas Konkreta modeller Symboler Eleverna skriver ner och ritar sina resonemang och de matematiska symbolerna Resonemang: ”Ett barn kan få tre klossar och ett annat två klossar.”, ”Ett barn kan få en kloss och ett annat fyra. Det är fem tillsammans.” Två barn får fem klossar av läraren. Hur kan klossarna fördelas mellan barnen? Omvärlds-situationer Språk/ talad matematik

9. ”Företeelser” som hör ihop med multiplikation • Multiplikation som upprepad addition 3.2=2+2+2 2.3=3+3 • Multiplikationstabellerna 3.26= 3.20+3.6 • Multiplikationsalgoritm 256.26 • Multiplikation med tal i decimalform • Multiplikation med tal i bråkform Personliga räknestrategier 9.9+9 som ”nio en gång mer ” Räknelagar och konventionella räknestrategier t.ex. algoritmer 9.9+9 81+9 = 90 (9+1).9 10 . 9 = 90 I begreppsbildningsprocessen samspelar den konventionella matematiken och den lärandes personliga matematik

10. Språkliga aspekter för de fyra räknesätten Addition termer 5 + 7 är ett uttryck; fem plus sju. Additions)uttrycket bildar en summa. (Additions)operationen skrivs (tecknas) 5+7 = 12 addera; summera; utföra additionen; beräkna summan av, INTE ”plussa”!!! ”Summan av 5 och 7 är (lika med) tolv” Subtraktion termer 7 – 5 är ett uttryck ; sju minus fem. (Subtraktions)uttrycket bildar en differens. (Subtraktions)operationen skrivs 7 – 5 = 2 Subtrahera; utföra subtraktionen; beräkna differensen av 7 och 5; skillnaden mellan 7 och 5 är INTE ”ta minus”!!!

11. Minustecknet - Ett minustecken används för: • Operationen subtraktion t.ex. 10 – 8 • Ett negativt tal De naturliga talen är inte slutna under subtraktion t.ex. 8 – 10 = -2 • Att ange motsatta tal (a och -a) t.ex. 7 och -7 är motsatta tal -4 och 4 är motsatta tal -4 och -(-4) är motsatta tal

12. Multiplikation faktorer 8 ∙ 9 är ett (multiplikations)uttryck; åtta gånger nio Uttrycket bildar en produkt (Multiplikations)operationen skrivs 8 ∙ 9 = 72 Multiplicera med; utföra multiplikationen; beräkna produkten av INTE ta gånger; gångra!! Produkten av 8 och 9 är (lika med) 72

13. Division täljare / nämnare; (dividend/divisor) 10/5 är ett (divisions)uttryck; tio dividerat med 5. Uttrycket bildar en kvot. Dividera (el. dela) med; beräkna kvoten mellan (av); Vid delningsdivision även ”dela i” Ett vågrätt bråkstreck kan även användas för att teckna operationen division Även kolontecken ( : ) används för att uttrycka operationen division. Borde helst reserveras för att uttrycka avbildningar av verkligheten!! t.ex. skalan 1:100 (ett till (ett)hundra)

14. Räknelagar, räkneregler, räknestrategier 1. Räknelagar Kommutativa lagen gäller addition och multiplikation a + b = b + a a ∙ b = b ∙ a Associativa lagen gäller addition och multiplikation (a + b) + c = a + (b + c) 28 + 7 + 3 = (28 + 7) + 3 = 35 + 3 28 + (7 + 3) = 28 + 10 (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) 17 ∙ 2 ∙ 5 = (17 ∙ 2) ∙ 5= 17 ∙ (2 ∙ 5) 34 ∙ 5 = 17∙ 10 Parenteserna skrivs vanligen inte ut

15. Distributiva lagen binder samman de fyra räknesätten . a ∙ (b + c ) = a ∙ b + a ∙ c nyckel till såväl huvudräkning som konventionell skriftlig räkning i algoritmerna 15 ∙ 8 15 ∙ 8 = (10 + 5) ∙ 8 = 10∙ 8 + 5∙ 8 = 80 + 40 (80 + 15) / 5 (80 + 15) / 5 = 95/5 = 80/5 + 15/5 = 16 + 3 = 19 (80 – 15)/5 (80 – 15)/5 = 65/5 = 80/5 - 15/5 = 16 – 3 = 13

16. ! Observera att kommutativa och associativa lagarna inte gäller subtraktion och division. 7 – 2 är inte samma som 2 – 7 28 – 7 + 3 är inte samma som 28 – (7 + 3) är inte samma som (12/4) / 2 är inte samma som 12 / (4/2) OBS! Med hjälp av motsatta tal kan subtraktion skrivas om som addition

17. 2. Räkneregler Parentesregler och prioriteringsregler t. ex. att multiplikation (och division) alltid utförs före addition (och subtraktion ) såvida inte det finns parenteser som ändrar räkneoperationernas ordningsföljd 57 – 19 – 27 = 57 + (-19) + (-27) = 57 + (-27) + (-19) = 57 − 27 − 19 parenteser potenser kvadratrötter multiplikation division addition subtraktion

18. 3. Räknestrategier • sätt att resonera kring räkneoperationer • baserade på räknelagarna Exempel • Då båda termerna i en subtraktion förändras (ökas, minskas) lika mycket så bibehålls skillnaden differensen 415 – 412 är lika med differensen 15 – 12 (415 – 400) – (412 – 400) differensen 98 – 13 är lika med differensen 100 – 15 (98+2) – (13 + 2) • Summan bibehålls med ”öka här; minska där” – strategi 788 + 112 = (788+12) + (112-12) = 800 +100 = 900 • Då täljare och nämnare multipliceras (eller divideras) med samma tal så bibehålls kvoten (förlängning; förkortning).

19. PUMP-matriser PUMP ”Processanalyser av Undervisning i Matematik/Psykolingvistik”. Psykolingvistik studerar interaktion mellan språket och individens tänkande • forskare kartlade barns räknefärdigheter i olika åldrar och analyserade ”svårighetsgraden” hos olika uppgiftstyper t.ex. varför kan 7∙ 46 vara en svårare uppgift än 9∙71? • forskarna konstruerade scheman (”PUMP-matriser”) som klassificerar räkneuppgifter med uppställning (algoritm) inom varje räknesätt utgående från räkneoperationernas komplexitet och krav på matematiskt kunnande

20. OBS! Läs mera på Moodle i filerna PUMP-matriser

21. OBS! Läs mera på Moodle i filerna PUMP-matriser

22. OBS! Läs mera på Moodle i filerna PUMP-matriser

23. OBS! Läs mera på Moodle i filerna PUMP-matriser

24. /

25. Räknehändelser knyter samman omvärldssituationer och räkneoperationer

26. På hur många olika sätt kan man beräkna: 5 + 2 = 7

27. Exempel på additionshändelser för 5 + 2 = 7

29. På hur många olika sätt kan man beräkna: 5 - 2 = 3

30. Exempel på subtraktionshändelser för 5 - 2 = 3

32. Exempel på multiplikationshändelser för 3 . 2 = 6

33. Exempel på divisionshändelser för 6 / 3 = 2

35. Talen –räknandets byggstenar forts. Talrepresentationer ”Fem myror är fler än fyra elefanter”

36. TACK! Kom ihåg att utveckla dina förkunskaper genom att läsa artikeln om ”Numbersense”!