Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

1. Kompetenzorientierter Mathematikunterricht Logisch-deduktiv strukturieren Eine kognitive Herausforderung (Am Beispiel der Elementargeometrie) H. Freudigmann 2009

2. Inhalte strukturieren – Wie ? Überfachliche Kompetenzbereiche im Bildungsplan 2004 Lernen Begründen Problemlösen Kommunizieren Gekennzeichnet durch Lernen (von Verfahren) Denken (Inhalte ?) Anwenden (von Sätzen) Sprechen, Schreiben, Zeichnen, Hören A Einführung

3. „Natürliche“ Strukturierung der Mathematik Einzigartig für die Mathematik: Mathematik kann man axiomatisch-deduktiv ordnen Das ist mehr als z.B. den Pythagoras zu kennen. Das betrifft das „Ganze“ der Mathematik, ihren Kern. A Einführung

4. D A C B Beispiel - Kompetenzstufen Stufe 1: Parallelgramm, weil es so „aussieht“. Stufe 2: Parallelogramm, weil Eigenschaften benannt und geprüft werden, z.B. durch nachmessen. A Einführung

5. D P ● A C B D α3 A C α2 α1 B Beispiel - Kompetenzstufen Stufe 3: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Punktspiegelung Stufe 4: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Satz vom Wechselwinkel. A Einführung

6. D A C B Beispiel - Kompetenzstufen Stufe 5: Zielgerichtetes, strukturiertes Vorgehen. „Ich will Parallelität nachweisen, muss also argumentieren mit: S.v.Stufenwinkel, S.v.Wechselwinkel, Kongruenzsätzen, S.v.Parallelogramm, Strahlensätze, S.d.Pythagoras (?), . . A Einführung

7. Geometrie –Wissenschaftliche Bedeutung Denken Deduktiver Weg zur Wahrheit Empirie Induktiver Weg zur Wahrheit Welche Wahrheit ? Was ist Wahrheit ? Ist die Winkelsumme im Dreieck wirklich 360° ? B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

8. Begründungsbasis I • Die anschauliche Verwendung von Kongruenzabbildungen • und ihrer Eigenschaften bilden die erste Begründungs- • basis der Schulgeometrie am Anfang der Klasse 7. • Wenn Winkel achsen- oder punktsymmetrisch liegen, • dann sind sie gleich weit. • Wenn Strecken achsen- oder punktsymmetrisch liegen, • dann sind sie • gleich lang • parallel. B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

9. Begründungsbasis II • S.v.d. Winkel-halbierenden² • S.v. gleichschenkligen Dreieck² • Satz vom Parallelogramm² • S.v.d. Mittelparallelen • im Dreieck • Nebenwinkelsatz • Scheitelwinkelsatz • Stufenwinkelsatz² • Wechselwinkelsatz² • Satz von der Mittelsenkrechten ² ²Satz und Kehrsatz B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

10. Logische Struktur beim Schließen von I auf II Achsensymmetrie Punktsymmetrie Verschiebung S.v.d.Mittelsenkr. S.v.d.Winkelhalb. S.v.Scheitelw. S.v.Stufenw. S.v.Wechselw. S.v.gleichsch.Drei S.v.Parallelogr. ;S.v. Mittelparallele im Dreieck B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

11. Logische Struktur: Erste Beweise mit II S.v.d.Mittelsenkr. S.v.d.Winkelhalb. S.v.gleichschenkl. Dreieck S.v.Stufenw. S.v.Wechselw. S.v. Umkreis S.v.Inkreis Winkelsumme im Dreieck S.d.Thales B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

12. Q P C D R A B C x C´ B´ x A B x A´ Zusätzliche Begründungsbasis:Kongruenzsätze Beweis mit KGS einfach Man braucht eine Auswahl von Beweismitteln B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

13. Gesamtübersicht: Geometrie I Abbildungen bzw. Symmetrie II Stufenwinkel, . . . . III Winkelsumme, Thales, . . . . IV KGS Kongruenzgeometrie Zentrische Streckung Strahlensätze Ähnliche Dreiecke B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

14. Kompetenzen Begründen - Probleme lösen Die Kompetenzen Begründen (deduktiv denken) und Probleme lösen (Sätze anwenden) haben gemeinsame Wurzeln. S.v. gleichschenkligen Dreieck S.v. Mittelsenkrechten Problem: Zeige a = b Kongruenzsätze S.v. Parallelogramm S.d. Pythagoras B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

15. Kompetenzen Begründen - Probleme lösen S.v. gleichschenkligen Dreieck S.v. Stufenwinkel Problem: Zeige α=β S.v. Wechselwinkel S.v. Parallelogramm Kongruenzsätze B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

16. Kompetenzen Begründen - Probleme lösen S.v. Stufenwinkel S.v. Wechselwinkel S.v. Parallelogramm Problem: Zeige α║β Strahlensatz (Umkehrung) S.v.d.zentrischen Streckung Ähnlichkeitssätze B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

17. Kompetenzen Begründen - Probleme lösen S.v.d. zentrischen Streckung Problem: Zeige a:b = x:y Strahlensätze Ähnlichkeitssätze B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

18. Grundlegende Zusammenhänge S.v.gleichsch. Dreieck Gleiche Winkelweiten Gleiche Streckenlängen Stufen-Wechselwinkel Parallelität S.v.Parallelogramm Strahlensätze Vergleiche: Beweisen mit Vektoren Streckenver- hältnisse B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

19. S.v.Wechselwinkel 1 g║h → α = β Im Unterricht: Beweismittel offenlegen Das Beweisen und Probleme lösen zum Thema machen. Anleitung: Wie beweist man (löst man Probleme) ? Beweismittel (Problemlösemittel) sind präsent. S.v. Nebenwinkel α + β = 180° S.v. Stufenwinkel 1 g║h → α = β Beweis- mittel präsent auf Plakaten S.v. Stufenwinkel 2 g║h ← α = β S.v.Wechselwinkel 2 g║h ← α = β S.v.Scheitelwinkel α = β B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

20. M B g A P h M B h g M A P B g A P Hohe Kompetenzstufe:Strategisches Denken Zeige: AP = BP Gibt es Kongruente Dreiecke ? Gibt es gleich- schenklige Dreiecke ? B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

21. Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag) 1 (Material S. 12 – 16) a) Welche Beweismittel der Elementargeometrie sollen den Schülern in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils zur Verfügung stehen ? b) Wie stellt sich der deduktive Zusammenhang dieser Beweismittel dar ? (Zum Beispiel: Werden z.B. die KGS anschaulich oder mittels Kongruenzabbildungen begründet ? ) 2 (Material S. 23-24) Über welche Strategien für das Beweisen und Problemlösen in der Elementargeometrie sollen die Schüler in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils verfügen ? B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

22. Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte Logisch nicht befriedigend: Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Ortslinie aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben. Unklar beleiben: Wie ist Mittelsenkrechte festgelegt ? Wie wird sie verwendet ? (Was ist der Sinn des Begriffs? C Umsetzungsbeispiele

23. Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist. Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand. Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von AB. C Umsetzungsbeispiele

24. Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist. Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand. • Beweis: m ist Symmetrieachse von AB. P liegt auf m (Voraussetzung) • A und B liegen symmetrisch; AP und BP liegen symmetrisch. • Symmetrische Strecken sind gleich lang. • Beweismittel: • Die MS einer Strecke ist Symmetrieachse der Strecke. • Symmetrisch liegende Strecken sind gleich lang. P A B m C Umsetzungsbeispiele

25. Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B. Beweis mit Kontrainduktion: Liegt Q nicht auf m, dann AQ≠BQ QR + RB > QB (Dreiecksungleichung) und RA = RB Deshalb QR + RA > QB, Deshalb AQ > BQ. Diese Begründung ist nur mit erheblichen formalen Abstrichen in der Schule zu leisten. P Q R A B m C Umsetzungsbeispiele

26. Im Unterricht: Umkreismittelpunkt Satz 1: Wenn U der Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC ist, dann hat U von allen drei Ecken A, B, C denselben Abstand. Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a) Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a) Aus AU = BU und AU = CU folgt AU = BU = CU. C U • Welche Sätze werden verwendet ? • P auf m → AP = B • oder / und • b) AP = BP → P auf m Begründungs- kompetenz Kommunikations- kompetenz B A C Umsetzungsbeispiele

27. Im Unterricht: Umkreismittelpunkt Satz 2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Mittelsenk- rechten in einem gemeinsamen Punkt. Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a) Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a) Daher BU = CU Daher liegt U auf ma (b) C U • Welche Sätze werden verwendet ? • P auf m → AP = B • oder / und • b) AP = BP → P auf m Begründungs- kompetenz Kommunikations- kompetenz B A C Umsetzungsbeispiele

28. Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag) • 3 (Material S. 27 – 30) • Am Beispiel Mittelsenkrechte / Satz vom Umkreis: • Welches Niveau streben wir bei der Ausprägung der Begründungskompetenz an im Hinblick auf • - die Formulierung der Sätze ? • - die genaue Identifizierung der verwendeten Beweismittel ? • die schriftliche Dokumentation einer Begründung / eines • Beweises ?

29. 70° 40° γ α β Winkelsumme schülerzentriert 1 1.Berechne möglichst viele in der Figur vorkommende Winkel 2.Beschrifte möglichst viele in der Figur vorkommende Winkel mit α, β, γ. 3. Wie kann man nachweisen, dass α+β+γ = 180° ist ? C Umsetzungsbeispiele

30. S.v.Wechselwinkel 1 g║h → α = β Winkelsumme schülerzentriert 2 4.Wie beweist man die Behauptung mit den angegebenen Sätzen ? Beliebiges Dreieck S.v. Nebenwinkel α + β = 180° S.v. Stufenwinkel 1 g║h → α = β S.v. Stufenwinkel 2 g║h ← α = β S.v.Wechselwinkel 2 g║h ← α = β S.v.Scheitelwinkel α = β C Umsetzungsbeispiele

31. C δ2´´ γ β´ D δ2 δ α´ δ1 α β A B Winkelsumme Viereck Kein Wechsel der Beweisstrategie ! δ wird in δ1 und δ2 aufgeteilt. δ2 = δ2´ und α = α´ und β = β´ (Wechselwinkel an Parallelen) Ecke C: δ2 + γ + β = 180° . Ecke D: α +δ1 = 180° α + β + γ + δ = 360° C Umsetzungsbeispiele

32. l M1 P c1 S T M2 Q c2 Abbildung 1 Blick über den Tellerrand Neue Abituraufgaben in Holland (seit 2002) zur Überprüfung der Begründungs- und Problemlöse- Kompetenz. Beweismittel: Begründungsbasis I, II, III Frage 1 (5 Punkte) Beweise, dass die Punkte P,Q und S auf einem Kreis liegen. C Umsetzungsbeispiele

33. Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag) 4 (Material S. 35 – 36) Bis zu welchem Niveau streben wir Aufgaben zur Begründungskompetenz und Problemlösekompetenz in Klassenarbeiten an ? Welche Aspekte sind für die Bewertung relevant ?

34. Logik-Lehrplan Bildungsplan 2004 (unter Begründen) • elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden •  Begründungstypen und Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt • auswählen und anwenden •  in mathematischen Kontexten Vermutungen entwickeln, formulieren und • untersuchen. • gleichartige Strukturen erkennen, verallgemeinern und spezialisieren D Logik-Lehrplan

35. Logik-Lehrplan 1 • Der Schüler • 1a. weiß, dass ein math. Satz die Form „Wenn [A], dann [B] “ • b. kann zwischen „für alle“ und „es gibt“ –Aussagen unterscheiden • c. versteht den logischen Gehalt eines Satzes • 2a. kann zu einem Satz die Umkehrung bilden. • b. weiß, dass von der Wahrheit eines Satzes nicht auf die • Wahrheit der Umkehrung geschlossen werden kann. • 3a. kann den Umfang einer Definition bestimmen. • b. kann zwischen Ober- und Unterbegriff unterscheiden. • kennt die Bedeutung eines Beispiels / eines Gegenbeispiels. • kann lokal deduktiv denken. D Logik-Lehrplan

36. Logik-Lehrplan 2 Das ist in der Schule kaum zu leisten: • Der Schüler • kennt die Beweismethode der Kontraposition. • Kennt die Beweismethode „Beweis durch Widerspruch“. • kennt den Unterschied zwischen mathematischer Wahrheit • und naturwissenschaftlicher Wahrheit D Logik-Lehrplan

37. Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag) 5 (Material S. 37 – 40) Welche Aspekte eines Logik-Lehrplanes wollen wir im Mathematikunterricht fördern und einfordern ? Was erwarten wir jeweils in welcher Klassenstufe ?