Nombre dérivé et fonction dérivée

1. Nombre dérivé et fonction dérivée Baccalauréat Professionnel Vente – Commerce E.Caudron SOURCE :Gérard COQUET – LP Guynemer - Grenoble

2. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 -2 -4 Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5] C A x x B x 14 7 2 -1 -2 -1 14 2 7 2

3. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 -2 -4 Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5] C A x x B x 3 0 -3 x 2 -6 6 0

4. Conclusion: • Le tableau de valeurs obtenu est celui d’une fonction linéaire g définie par g(x) = 2.x • Cette nouvelle fonction est appelée fonction dérivée de la fonction f ;Elle est notée f ’ f(x) = x² - 2 f’(x) = 2.x • La pentede la tangente en un point de la courbe, d’abscisse donnée, est appelée nombre dérivé de la fonction f Exemple: Pour x = 3 on a: f’(3) = 2 x 3 = 6

5. - 1 1 f(x) = x x2 Dérivées des fonctions usuelles Fonctions Fonctions dérivées f(x)= a.x + b f’(x) = a . x + b f(x) = x² f’(x)= 2 x ² f(x) = x3 f’(x)= 3 x 2 f’(x)=

6. f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) + v’(x) f’(x) = a u’(x) f(x) = a u(x) Exercices d’entraînement

7. Exercices d’entraînement f(x) = x² + 5 f’(x) = 2.x J(x) = - x² + 1 J’(x) = - 2.x G(x) = 3x² G’(x) = 3x2.x = 6.x H(x) = x3-1 H’(x) = 3x² S(x) = 4x²-5x+2 S’(x) = 4x2x - 5 = 8x - 5 I(x) = -2x3+4x²-5x+7 I’(x) = -2x3x²+4x2x - 5 = -6x²+8x- 5

8. y 1 x O O 1 Lien entre la dérivée et les variations d’une fonction 1.Soit la fonction F(x)d’équation F(x) = x² +2x + 1 représentée ci-dessous

9. y 1 x O O 1 2.Compléter le tableau de variation de la fonction f(x): -1 0

10. 3.Calculer F’(x), la fonction dérivée de la fonction F(x)F(x) = x² +2x + 1F’(x) = 2x+2 4.Calculer :F’( -4 ) =F’(-1) = F’(2) = 2x(-4)+2 =-6 2x(-1)+2 =0 2x2+2 =6 F’( -4 ) est appelé nombre dérivé en -4 , F’(-1 ) est appelé nombre dérivé en -1 et F’(2) est appelé nombre dérivé en 2 .

11. 6.Synthétiser dans un seul tableau les deux tableaux précédents : -1 - 0 + 9 9 0

12. DERIVÉES – BILAN • Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et admettant une dérivée f’ sur I. • Si, pour tout x de I, f’(x)>0, alors f est croissante sur I. • Si, pour tout x de I, f’(x)<0, alors f est décroissante sur I. • Si, pour tout x de I, f’(x)=0, alors f est constante sur I. Une fonction atteint son extrema (maxima ou minima) lorsque sa dérivée s’annule [ F’(x)=0 ]