A cura della 3 G e della prof.ssa Rosa Zollo Anno scolastico 2010/2011

1. Le sezioni coniche di apollonio e i Luoghi geometrici di descartes A cura della 3 G e della prof.ssa Rosa Zollo Anno scolastico 2010/2011 a

2. LE CONICHE

3. Le Coniche di Menecmo La teoria delle coniche si sviluppa nella seconda metà del IV secolo a.C. ad opera di Menecmo e successivamente di Apollonio. Nella teoria di Menecmo vengono usati solo coni retti e la tecnica di esecuzione della sezione è sempre la stessa: i coni vengono tagliati con piani perpendicolari alla generatrice e sono ottenuti con la rotazione attorno a un cateto. • Cono acutangolo: OXITOME (ellisse) • Cono rettangolo: ORTOTOME (parabola) • Cono ottusangolo: AMBLYTOME (iperbole)

4. OXITOME (ELLISSE) Se il triangolo per l’ asse è isoscele e acutangolo, si ottiene l’oxitome.

5. ORTOTOME(PARABOLA) Se il triangolo per l’ asse è isoscele e rettangolo, si ottiene l’ortotome.

6. AMBLYTOME(IPERBOLE) Se il triangolo per l’ asse è isoscele e ottusangolo, si ottiene l’ amblytome.

7. APOLLONIO di Perga (262 - 190 a.C.) Libro “ Coniche” Definizione di cono Se una retta, prolungata all'infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio.

8. TEOREMA PARABOLA IN LATINO “Si conus plano per axemsecetur; seceturautemet altero plano secante basissecundumrectamlineam, quae ad basimtrianguli per axem sit perpendicularis: et sit diametersectionis uni latertrianguli per axemaequidistans: recta linea, quae a sectione coni ducituraequidistanscommunisectioni plani secantis, etbasis coni, usque ad sectionisdiametrum; poteritspatiumaequale contento linea, quaeex diametro abscissainteripsametverticemsectionisinteriicitur, etaliaquadam, quae ad linea inter coni angulum, etverticemsectionisinteriectam, eamproportionemhabeat, quamquadratumbasistrianguli per axem, ad idquodreliquisduobustriangulilateribuscontinetur. Dicanturautemhuiusmodisectio parabole.” THEOREMA XI PROPOSITIO XI

9. TEOREMA ELLISSE IN LATINO Si conus plano per axemsecetur, etsecetur altero plano conveniente cumutroque latere trianguli per axem, quodneque basi coni aequidistet, neque subcontrarie ponatur: planumautem, in quo est basis coni, etsecansplanumconveniantsecundumrectamlineam, quae sit perpendicularisvel ad basimtrianguli per axem, vel ad eam, quae in directumipsiconstituitur. Recta linea quae a sectione coni ducituraequidistanscommunisectioniplanorumusque ad diametrumsectionispoteritspatiumadiacenslineae, ad quamsectionisdiametereamproportionemhabeat, quamquadratumlineae diametro aequidistantis a vertice coni usque ad triangoli basimductae, habet ad rectangulumcontentumbasispartibus, quaeinteripsametrectastriangulilineasinteriiciuntur; latitudinemhabenslineam, quae ex diametro abipsaabscinditur ad verticemsectionisdeficiensque; figura simili, etsimiliterposita ei, quae diametro, et linea iuxtaquampossunt,continetur. Dicaturautemhuiusmodisectioellipsis. THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII

10. Teorema XI di Apollonio Propositio XI sezione conica parabolica

11. Tagliamo il cono con un piano α passante per l’asse del cono. Otteniamo così un triangolo ABC.

12. Tracciamo una retta ED perpendicolare alla base BC del triangolo ABC

13. Tagliamo il cono con un piano β secante la base del cono secondo la retta ED. Otteniamo una sezione conica avente vertice Z e diametro ZH, parallelo al segmento AC.

14. Conduciamo dalla sezione conica un segmento KP, parallelo al segmento ED, sul diametro ZH.

15. Il quadrato del segmento KP sarà equivalente a ZP · OZ (avremo quindi KP² = ZP · OZ), sapendo che OZ è il segmento individuato dalla relazione OZ/ZA = (BC²)/(AB · AC). La sezione ottenuta verrà chiamata “parabola”.

16. Come ricavare l’espressione analitica dal disegno Con riferimento alla figura, il segmento OZ costituisce un parametro fisso indicabile con “2p”. Associamo poi un sistema di assi cartesiani in cui Z è l’origine degli assi, KP è l’ordinata y e ZP è l’ascissa x. Ricaveremo dunque dalla formula “KP² = ZP · OZ” l’espressione analitica di una parabola: “y² = 2px”

17. Applicazioni pratiche della parabola

18. Sfruttando le Leggi della Riflessione, è possibile sfruttare la parabola per ricevere segnalisatellitari, posizionando il recettore nel fuoco.

19. La parabola è utilizzata per i fari delle automobili.Ponendo la lampadina nel fuoco, si ottiene un fascio di luce cilindrico (come nel caso degli abbaglianti).

20. Spostando la lampadina tra vertice e fuoco, il cono di luce si allarga.

21. PARABOLA Rappresentazione grafica del teorema

22. THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono e da un altro piano b che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto né parallelamente né antiparallelamente alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante b si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC del piano a, perpendicolare al prolungamento di questa base. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP1 che incontrerà il prolungamento della base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione: ELLISSE PP1 : PL = AF2 : (BF . FC) Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR.

23. DISEGNO TEOREMA DELL’ELLISSE

24. ELLISSE

25. Equazione cartesiana della ELLISSE • Sia V l’origine degli assi • cartesiani • PV = x • QV = y • PL indica il parametro p, • PP ‘ diametro a dell’ellisse • Dalla similitudine dei • triangoli PP’L e P’VR • si ottiene • LS = (p/a)x • Dalla tesi abbiamo • QV2 = VR . PV = (PL –LS)PV • Quindi • y2 = px - (p/a) x2

26. ELLISSE Rappresentazione grafica del teorema

27. THEOREMA XII PROPOSITIO XII Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono e da un altro piano b che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto parallelamente alla base del cono, inoltre il piano a della base del cono e il piano secante b si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC in un punto interno a tale lato. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP1 (si osservi che il punto P1 si trova sull’altra falda del cono) che incontrerà la base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione: PP1 : PL = AF2 : (BF . FC) Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, situato sul prolungamento di P1L , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR. TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA IPERBOLE

28. Equazione cartesiana della IPERBOLE Considerando la similitudine dei triangoli PP’L e VP’R si ha: PP’ : P’V = PL : VR Sia PP’= a, VP = ascissa x, VQ = ordinata y, LP = p quindi si ha: a : (a+x) = p : VR VQ = PV x VR 2 p y = px + x 2 2 a

29. IPERBOLE Rappresentazione grafica del teorema

30. FINE PRIMA PARTE