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Ajuste de Curvas

7. Ajuste de Curvas. f(Y). Y. Y = a + b x. x 1. x 2. X. x 3. Método dos mínimos quadrados. Aplicação típica: Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x) Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x .

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Presentation Transcript

  1. 7 Ajuste de Curvas UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1)

  2. f(Y) Y Y = a + b x x1 x2 X x3 Método dos mínimos quadrados • Aplicação típica: • Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x) • Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.2)

  3. Método dos mínimos quadrados • Caso linear: • Y = a + b x + e • onde e é uma variável aleatória • uma estimativa de Y pode ser obtida a partir de: • onde a e b são constantes UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.3)

  4. mmq - caso linear Para cada ponto experimental (xi, yi) o erro será: e o erro quadrático: que, quando minimizado em relação a “a” e “b”, leva às equações normais: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.4)

  5. inferências baseadas nos estimadores do mmq definindo: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.5)

  6. inferências baseadas nos estimadores do mmq • a solução das equações normais é: • a variância é estimada a partir das somas dos erros quadráticos residuais por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.6)

  7. intervalos de confiança para os coeficientes • Intervalos de confiança para a e b: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.7)

  8. y x intervalos de confiança para os coeficientes intervalos de confiança para a + b x0 intervalos de predição UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.8)

  9. regressão curvilinear • Linearizar onde for possível: • a) y = abx • log y = log a + x log b • b) y = 1/(a + b x) • 1/y = a + b x • z = a + b x, sendo z = 1/y UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.9)

  10. ajustes de polinômios y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp Equações normais: y = n b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp xy = n b0 x + b1 x2 + b2 x3 + ... + bp xp+1 : xpy = n b0 xp + b1 xp+1 + b2 xp+2 + ... + bp x2p UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.10)

  11. regressão múltipla y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + br xr Equações normais: (ex. r = 2) y = n b0 + b1 x1 + b2 x2 x1y = b0 x1 + b1 x12 + b2 x1x2 x2y = b0 x2 + b1 x1x2 + b2 x22 UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.11)

  12. verificação da adequabilidade do modelo • Para verificar se o modelo de regressão escolhido é adequado, deve-se: • Plotar os resíduos • Verificar a normalidade dos resíduos UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.12)

  13. UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.13)

  14. notação matricial O sistema de equações: Pode ser escrito na notação matricial como: [x]{b} = {y} Cuja solução é: {b} = [x]-1{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.14)

  15. notação matricial O sistema de equações redundantes (mais equações que incógnitas): Também pode ser escrito na notação matricial como: [x]{b} = {y} Porém, sua solução não pode ser obtida da mesma forma que o caso anterior porque matrizes não quadradas não possuem inversa. UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.15)

  16. notação matricial Para resolver sistemas de equações redundantes, faz-se: [x]T[x]{b} = [x]T{y} Cuja solução é: {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} Que equivale à solução pelo método dos mínimos quadrados UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.16)

  17. exemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmq Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4) y = -0,003227 + 1,044 x UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.17)

  18. ajuste de um polinômio Ajustar um polinômio do tipo: y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bk xk Notação matricial: [x]{b} = {y} {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.18)

  19. ajuste de uma função Ajustar uma função do tipo: y = b0 + b1 ln(x) + b2 cos(x2) + ... + bk x Notação matricial: [x]{b} = {y} {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.19)

  20. cálculo dos resíduos No caso geral em que: A variância do resíduo pode ser estimada por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.20)

  21. cálculo da matriz de covariância Matriz de covariância: que pode ser estimada por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.21)

  22. intervalos de confiança para coeficientes Para cada parâmetro (coeficiente) calculado: que leva à seguinte estimativa de intervalo de confiança para valores interpolados pela equação: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.22)

  23. intervalos de confiança para predição: Para predição de valores a partir da equação ajustada, são estimados os seguintes intervalos de confiança: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.23)

  24. exemplo 2: cálculo de resíduos e variância Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4) y = -0,003227 + 1,044 x resíduos: variância: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.24)

  25. exemplo 2: covariâncias e intervalos matriz de covariâncias: Intervalos de confiança para os parâmetros ajustados: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.25)

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