Praktyczne wykorzystanie Twierdzenia Talesa

1. Praktyczne wykorzystanie Twierdzenia Talesa Wykonała: mgr Katarzyna Kostrowska

2. Twierdzenia geometryczne Talesa Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności greckiego filozofa Proklosa, działającego w V w. p.n.e., Talesowi przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne: 1. Średnica dzieli okrąg na połowy. 2. Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. 3. Kąty wierzchołkowe, czyli kąty naprzeciw siebie, powstałe na skutek przecięcia dwóch linii prostych, są równe. 4. Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym. 5. Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są równe, to te trójkąty są przystające.

3. Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta lub ich przedłużenia przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków, w wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta lub jego przedłużeniu, są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste, na drugim ramieniu kąta lub na jego przedłużeniu. TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA TALESA Jeżeli ramiona kąta lub ich przedłużenie przetniemy dwiema prostymi i długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta lub jego przedłużeniu są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kata lub jego przedłużeniu, to te proste są równoległe.

4. Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do Talesa Jeżeli , to Jeżeli , to Jeżeli , to Jeżeli , to

5. Zadanie 1 Jacek i Wacek stoją na przeciwnych brzegach rzeki. Korzystając z danych na rysunku, oblicz szerokość rzeki. 5 m/x = 8 m/20 m 100 m = 8 x / : 8 x = 12,5 m – szerokość rzeki Odp. Rzeka ma szerokość 12,5 m.

6. Zadanie 2 Oblicz wysokość drzewa na podstawie danych zamieszczonych na rysunku. x/36 m = 2 m/12 m 12 x =72 m x = 6 m – wysokość korony drzewa 6 + 2 = 8 m – wysokość drzewa Odp. Drzewo ma 8 m wysokości.

7. Zadanie 3 Oblicz szerokość rzeki na podstawie danych zamieszczonych na rysunku 3,2 m/2 m = x/30 m 2 x = 96 m x = 48 m – szerokość rzeki Odp. Szerokość rzeki wynosi 48 m.

8. Tales z Miletu będąc już w podeszłym wieku wybrał się do Egiptu, gdzie zadziwił wszystkich metodą mierzenia wysokości piramid za pomocą długości cienia. Zadanie 4 Oblicz wysokość piramidy Cheopsa, mając dane : długość krawędzi podstawy – 230 m, długość cienia piramidy – 250 m, długość użytego drąga – 3 m, długość cienia drąga – 7 m 0,5 * 230 m + 250 m = 365 m – długość połowy podstawy i cienia 3 m /7 m = x/365 m 1095 = 7 x /:7 x  156,43 m Odp. Piramida Cheopsa ma wysokość 156,43 m.

9. Zadanie 5 W skansenie żuraw studzienny. Jego dźwignię AB podparto w punkcie C tak, że ramiona dźwigni mają długości: AC= 2,4 i CB= 7,2 m. O ile metrów opuści się koniec dźwigni B, gdy koniec A podniesie się na wysokość 4 metrów. 7,2m/2,4 m = x/4 m 28, 8 = 2,4x/: 2,4 x = 12m Odp. Koniec dźwigni B opuści się o 12 m.

10. Zadanie 6Maszt wysok0ości 5 m rzuca cień długości 7,5 m. W tym samym czasie w tej samej miejscowości pewien budynek rzuca cień długości 36 m. Jaką wysokość ma ten budynek. X/36 m= 5 m/7,5 m 2,5 x= 180 X= 24 m Odp. Budynek ma wysokość 24 m.

11. Zadanie 7Drabina o długości 2,5 m po oparciu o ścianę domu sięga na wysokość 2 m. 2,5 m/2 m = 3,5 m/x 2,5 x = 7 m /: 2,5 x= 2,8 m Odp. Drabina sięga na wysokość 2,8 m. a) Jak wysoko sięga drabina o długości 3,5 m, jeśli jest ustawiona pod tym samym kątem?

12. 2,5 m/2m = x/1,8 m 4,5 m = 2 x /: 2 x = 2,25 m Odp. Długość drabiny wynosi 2,25 m. b) Jaką długość ma drabina, jeśli ustawiona pod tym samym kątem sięga na wysokość 1,8 m?

13. Bibliografia • Matematyka – podręcznik dla liceum ogólnokształcącego 1 wyd. Nowa Era – W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek • Matematyka – podręcznik dla liceum ogólnokształcącego 1 wyd. Podkowa - A. Cewe, M. Krawczyk, M. Kruk • Matematyka – podręcznik dla liceum ogólnokształcącego 1 wyd. Nowik - S. Zieleń • Multimedialna Encyklopedia nauki wyd. AMOS