Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal III osa

1. Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjalIII osa © T. Lepikult, 2003

2. Liikumisülesanded, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe linna vaheline kaugus on 600 km. Üks rong läbib selle vahemaa 2 tunni võrra kiiremini kui teine, sest ta kiirus on 10 km/h võrra suurem kui teise rongi kiirus. Leida, kui kaua aega kulub kummalgi rongil ühest linnast teise sõitmiseks. Lahendus Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost. Kiirus v on defineeritud kui läbitud teepikkuse s ja selleks kulutatud aja t suhe: (1) (2) millest järelduvad seosed ja (3)

3. Tähistame tundides mõõdetud aja, mis kulub esimesel rongil linnadevahelise vahemaa läbimiseks, otsitavaga . Kuna on öeldud, et teisel rongil kulus selle tee läbimiseks 2 tundi rohkem, siis teine otsitav on lihtsalt leitav esimese kaudu: Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Nüüd avaldame kummagi rongi kiirused. Esimese rongi kiiruseks saame:

4. Tingimusest, et esimese rongi kiirus oli 10 km/h võrra suurem kui teisel rongil, saame murdvõrrandi otsitava suhtes: Tasub tähele panna, et võrrandi määramispiirkonda ei kuulu otsitava väärtused ja Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Teise rongi kiiruseks saame: Füüsikaliselt tähendab see seda, et vahemaa läbimiseks kulutatud aeg ei saa olla 0 ega negatiivne.

5. Võrrandi lahendamiseks vabaneme esmalt murdudest, milleks korrutame selle mõlemad pooled läbi avaldisega Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ...

6. Negatiivne lahend on võõrlahend, sest aeg ei saa olla negatiivne. Teiseks lahendiks on Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ... Lahendame saadud ruutvõrrandi: Kontrollime selle sobivust.

7. Ülesanne 1 (6) Lahendus jätkub ... Kontrollime lahendi sobivust. Kui esimesel rongil kulus aega 10 tundi, siis saame esimese rongi kiiruseks Teisel rongil kulus 10 + 2 = 12 tundi ja tema kiiruseks saame See on tõesti 10 km/h võrra väiksem esimese rongi kiirusest. Esimesel rongil kulub 10 ja teisel 12 tundi. Vastus :

8. Tähistades laeva kiiruse seisvas vees otsitavaga ja jõe voolukiiruse otsitavaga , saame laeva absoluutkiiruseks pärivoolu liikumisel , vastuvoolu aga Ülesanne 2 (1) Ülesanne 2 Laev sõitis mööda jõge 100 km pärivoolu ja 64 km vastuvoolu 9 tunniga. Teisel korral sõitis ta sama aja jooksul 80 km päri-ja 80 km vastuvoolu. Leida laeva kiirus seisvas vees ja jõe voolukiirus. Lahendus Selle ülesande lahendamisel tuleb arvestada, et absoluutkiiruse leidmiseks tuleb pärivoolu liikumisel laeva kiirusele liita jõe voolukiirus, vastuvoolu liikumisel aga lahutada see.

9. Ülesanne 2 (2) Lahendus jätkub ... Esimesel korral pärivoolu sõitmiseks kulunud aja leidmiseks tuleb teepikkus jagada kiirusega (vt. valem (3)): ja vastuvoolu liikumiseks kulunud aja avaldiseks saame: Kokku kulus esimesel korral 9 tundi, seega

10. Ka teisel etapil kulus laeval sõitmiseks kokku 9 tundi, üksnes vastu- ja pärivoolu liikumise teepikkused olid erinevad. Saame analoogse murdvõrrandi ja suhtes: Otsitavate ja määramiseks saime murdvõrrandite süsteemi: Ülesanne 2 (3) Lahendus jätkub ...

11. Ülesanne 2 (4) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi lahendamiseks tähistame tundmatud teisiti: (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus pärivoolu sõitmisel) (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus vastuvoolu sõitmisel) Uute tundmatute x ja y suhtes saame esialgse süsteemi asemele juba lineaarse võrrandisüsteemi:

12. Ülesanne 2 (5) Lahendus jätkub ... Selle võrrandisüsteemi lahendamiseks korrutame ülemise võrrandi 10-ga, alumise 8-ga ja lahutame ülemisest alumise: –

13. Algsete otsitavate, ja väärtuste leidmiseks kasutame leitud x ja y väärtusi seostes, mille abil me nad defineerisime: Ülesanne 2 (6) Lahendus jätkub ... Teise abitundmatu, x leidmiseks asendame võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse leitud y-väärtuse ja avaldame saadud seosest x:

14. Ülesanne 2 (7) Lahendus jätkub ... Ehkki tulemuseks on jällegi murdvõrrandite süsteem, on see siiski lihtsalt taandatav lineaarvõrrandite süsteemiks, kasutades võrde põhiomadust: Selle süsteemi lahendamiseks liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: +

15. Ülesanne 2 (8) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame nüüd leida teise tundmatu: Jääb üle saadud lahendit kontrollida. Vastuvoolu liigub laev kiirusega 18 – 2 = 16 km/h ja pärivoolu kiirusega 18 + 2 = 20 km/h. Esimesel reisil kulub tal pärivoolu liikumiseks 100 / 20 = 5 tundi ja vastuvoolu sõitmiseks 64 / 16 = 4 tundi. Kokku kulub esimesel reisil 5 + 4 = 9 tundi. Teisel reisil kulub tal pärivoolu liikumiseks 80 / 20 = 4 tundi ja vastuvoolu sõitmiseks 80 / 16 = 5 tundi. Kokku kulub teisel reisil 4 + 5 = 9 tundi.

16. Ülesanne 2 (9) Kontroll klappis, võime kirjutada vastuse. Laeva kiirus seisvas vees on 18 km/h ja jõe voolukiirus on 2 km/h. Vastus : Nuputamist füüsikahuvilistele Lahendamisel eeldasime salamisi, et laeva kiirus seisvas vees on suurem kui jõe voolukiirus. Kuskohas seda eeldust kasutasime? Mis muutuks lahenduses, kui kehtiksvastupidine – jõe voolukiirus oleks suurem kui laeva kiirus? Kas ülesanne oleks lahenduv, kui need kiirused oleksid võrdsed?

17. Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks Ülesanne 3 Kaks lennukit stardivad üheaegselt,et lennata punkti, mis on lennuväljast 3600 km kaugusel. Ühe lennuki kiirus on 100 km/h võrra suurem kui teisel ja seetõttu jõuab ta sihtkohta 30 minutit enne teist. Leida kummagi lennuki kiirus. Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ... Vastus :

18. Võrdus kehtib parajasti siis, kui Võrde põhiomadus Näide