Methodologie & Statistiek I

Methodologie& Statistiek I De systematiek van het toeval 4.2 miscellaneous

U kunt deze presentatie ook op uw eigen PC afspelen! Gebruikmaken van internet: http://www.unimaas.nl/~stat • Education • Health sciences • Presentations of lectures “op dit moment ……. beschikbaar Opening --- Hoofdstuk 4 (Systematiek van …) --- Powerpointviewer downloaden”

Deze diapresentatie werd vervaardigd door Michel Janssen van de Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek. De presentatie mag alleen worden gecopieerd voor eigen gebruik door studenten en medewerkers van de Universiteit Limburg in Maastricht. Met eventuele op- en aanmerkingen kunt u terecht bij: Universiteit Maastricht Capaciteitsgroep M&S Michel Janssen Postbus 616 6200 MD Maastricht michel.janssen@stat.unimaas.nl

Methodologie& Statistiek I De systematiek van het toeval 4.2 miscellaneous 22 januari 2001

DOOS met 5 fiches: 2, 3, 5, 7 en 8 Gemiddelde ? Variantie ?

DOOS met 5 fiches: 2, 3, 5, 7 en 8 Gemiddelde ? Variantie ? Stel 100.000 trekkingen (met terugleggen) Als het toeval zich netjes gedraagt (in het theoretische geval): 20.000 keer 2 20.000 keer 3, etc

Stel 100.000 trekkingen (met terugleggen) Als het toeval zich netjes gedraagt (in het theoretische geval): 20.000 keer 2 20.000 keer 3, etc 2.3 = 0.2*2 + 0.2*3 + 0.2*5 + 0.2*7 + 0.2*8 = 0.2*(2+3+5+7+8)= 5 gemiddelde/verwachtingswaarde m

Stel 100.000 trekkingen (met terugleggen) Als het toeval zich netjes gedraagt (in het theoretische geval): 20.000 keer 2 20.000 keer 3, etc 2.10 0.2*(9+4+0+4+9) = 5.2 s = 2.28 s en s kans en P

Gegeven is een steekproef van 25 stuks. Het gemiddelde is 38. Kan deze steekproef afkomstig zijn uit een populatie met m= 35 en s= 3 ??? Let op! Er is geen informatie omtrent de vorm van de verdeling van de populatie!

Er zijn twee manieren van aanpak • Ga uit van de genoemde/veronderstelde • verdeling. Bepaal de verdeling van alle • steekproefgemiddelden en kijk naar de • positie/waarschijnlijkheid van het • betreffende steekproefgemiddelde. • Ga uit van het steekproefgemiddelde en • bepaal welke waarden van m dit • steekproefgemiddelde redelijkerwijs • kunnen opleveren.

Er zijn twee manieren van aanpak • Ga uit van de genoemde/veronderstelde • verdeling. Bepaal de verdeling van alle • steekproefgemiddelden en kijk naar de • positie/waarschijnlijkheid van het • steekproefgemiddelde. • Ga uit van het steekproefgemiddelde en • bepaal welke waarden van m dit • steekproefgemiddelde redelijkerwijs • kunnen opleveren.

Eerste methode Ga uit van de genoemde/veronderstelde verdeling. Bepaal de verdeling van alle steekproefgemiddelden en kijk naar de positie/waarschijnlijkheid van het betreffende steekproefgemiddelde. Verdeling populatie:m= 35, s= 3 Verdeling steekproefgemiddelden (n= 25): Bij benadering normaal verdeeld met m= 35, s= 3/5= 0.6

Normale verdeling metm= 35, s= 3/5= 0.6 P(x-gemiddeld>38)= P(z>(38-35)/0.6)= 1-P(z<5)= 0.00000000 Het is dus zeer onwaarschijnlijk dat de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie!

Tweede methode Ga uit van het steekproefgemiddelde en bepaal welke waarden van m dit steekproefgemiddelde redelijkerwijs kunnen opleveren.

Gegeven: Steekproef van 25 stuks met gemiddelde= 38 Gevraagd: Welke waarden van m (bij een s=3) zijn aannemelijk …. kunnen dit gemiddelde opleveren? 36.5 ? 37? 38? 39?

P(x-gemiddeld>38)= P(z>(38-36.5)/0.6)= 1-P(z<1.5/0.6)= 1-P(z<2.5)= 1-0.9938= 0.0062 m van 35.0 ? Een m van 36.5 komt dus eerder in aanmerking dan een m van 35.

m=35 x-gem= 38 m=36.5 0.00% 0.62%

m= ? Zoek een waarde van m, zodat 5% rechts van 38 ligt. x-gem= 38 P(x-gem>38)= 0.05 P(x-gem<38)= 0.95 (38-m)/0.6= 1.645 m= 37.02 Alle m-waarden groter dan 37.02 kunnen een x-gem van 38 opleveren

m= ? Zoek een waarde van m, zodat 5% rechts van 38 ligt. x-gem= 38 P(x-gem>38)= 0.05 P(x-gem<38)= 0.95 (38-m)/0.6= 1.645 alle ????? m= 37.02 Alle m-waarden groter dan 37.02 kunnen een x-gem van 38 opleveren

m= ? Zoek een waarde van m, zodat 5% rechts van 38 ligt. x-gem= 38 P(x-gem>38)= 0.05 P(x-gem<38)= 0.95 (38-m)/0.6= 1.645 ook 50 ????? m= 37.02 Alle m-waarden groter dan 37.02 kunnen een x-gem van 38 opleveren

Er is dus blijkbaar een kleinste en een grootste waarde van m, die redelijkerwijs een steekproefgemiddelde van 38 kunnen opleveren. Noem de kleinste: m(k) Noem de grootste: m(g) Het gebied tussen m(k) en m(g) wordt betrouwbaarheidsinterval genoemd m(g)= 38.98 m(k)= 37.02 …….. m= 35 maakt geen deel uit van dit interval: Het is zeer onwaarschijnlijk dat een steekproef met gemiddelde 38 afkomstig is uit een populatie met m= 35.

In het voorbeeld was sprake van 5% rechts van 38 bij m(k) en 5% links van 38 bij m(g). Men spreekt dan van een 90% betrouwbaarheidsinterval Het 90% betrouwbaarheidsinterval is………….. LATER MEER HIEROVER……. ?

steekproef x: 2, 4, 6, 8 gemiddelde = variantie =

steekproef x: 2, 4, 6, 8 gemiddelde = 5 variantie = 20/3 steekproef y: 4*2, 4*4, 4*6, 4*8 gemiddelde = variantie =

steekproef x: 2, 4, 6, 8 gemiddelde = 5 variantie = 20/3 steekproef y: 4*2, 4*4, 4*6, 4*8 gemiddelde = 4*5 variantie = 16*20/3

Populatie met m= 20 en s2= 5 Steekproeven (n=9) gemiddelden som 18162 20180 15135 21189 23 207 … … gemiddelde? gemiddelde? variantie? variantie? sd? sd?

populatie met m en s2 steekproeven van n stuks verwachtingswaarde van de verdeling van steekproefgemiddelden: m steekproefsommen: nm variantie van de verdeling van steekproefgemiddelden: s2/n steekproefsommen: n2 xs2/n= n s2

Oefenen-1 Veronderstel dat de lichaamslengte van brugklasscholieren normaal verdeeld is met m= 145 cm en s= 12 cm Hoe groot is de kans dat een willekeurige brugklasscholier groter is dan 155 cm??

NV( 145, 12) P(x>155)= P(z>(155-145)/12)) P(z>0.83)= 1-P(z<0.83)= 1-0.7967= 0.2033

Oefenen-1 Veronderstel dat de lichaamslengte van brugklasscholieren normaal verdeeld is met m= 145 cm en s= 12 cm Hoe groot is de kans dat gemiddelde lengte van een willekeurige klas van 25 van deze scholieren groter is dan 155 cm??

NV( 145, 12/5) P(x>155)= P(z>(155-145)/2.4)) P(z>4.17)= 1-P(z<4.17)= 1-1.00= 0.00

Oefenen-1 Veronderstel dat de lichaamslengte van brugklasscholieren normaal verdeeld is met m= 145 cm en s= 12 cm Hoe groot is de kans dat gemiddelde lengte van een willekeurige klas van 25 van deze scholier groter is dan 155 cm?? Als niets bekend is omtrent de vorm van de verdeling: hoe is dan uw antwoord??

Oefenen-2 Een ski-lift heeft een laadvermogen van 4500 kg en kan, volgens een bordje in de lift, 50 personen vervoeren. Het is bekend dat de mensen die gebruik maken van deze lift gemiddeld 85 kg wegen (s= 11 kg) Hoe groot is de kans op overbelasting op een moment dat 50 personen gebruik maken van deze lift ??

Oplossen via gemiddelde som ?

Via gemiddelde: Een ski-lift heeft een laadvermogen van 4500 kg en kan, volgens een bordje in de lift, 50 personen vervoeren. Het is bekend dat de mensen die gebruik maken van deze lift gemiddeld 85 kg wegen (s= 11 kg) Hoe groot is de kans op overbelasting op een moment dat 50 personen gebruik maken van deze lift ?? gemiddelde groter dan 90

NV(85,11/7.0711)= NV(85, 1.5556) P(X>90)= P(z>(90-85)/1.5556))= P(z>3.2141)= 1-P(z<3.2141)= 1-0.9993= 0.0007 of 0.07%

Via som: Een ski-lift heeft een laadvermogen van 4500 kg en kan, volgens een bordje in de lift, 50 personen vervoeren. Het is bekend dat de mensen die gebruik maken van deze lift gemiddeld 85 kg wegen (s= 11 kg) Hoe groot is de kans op overbelasting op een moment dat 50 personen gebruik maken van deze lift ??

via gemiddelde via som NV(85,11/7.0711)= NV(85, 1.5556) P(X>90)= P(z>(90-85)/1.5556))= P(z>3.2141)= 1-P(z<3.2141)= 1-0.9993= 0.0007 of 0.07% NV(85*50,7.0711*11 NV(4250,77.7817) P(x>4500)= P(z>(4500-4250)/77.7817) P(z>3.2141) etc.

Oefenen-3 Potten Limburgse appelstroop behoren een vulgewicht te hebben van 450 gram. Een vulmachine bij een stroop-fabrikant is afgesteld op 455 gram (s= 3.6 gram). Een controleur neemt willekeurig een aantal potten stroop. Het gemiddeld gewicht van die steekproef moet minstens 450 gram bedragen, anders krijgt de fabrikant een boete. Hoe groot is de kans dat de fabrikant een boete krijgt als de grootte van de steekproef gelijk is aan 1 ???

n= 1 NV(455,3.6) P(x<450)= P(z<(450-455)/3.6)= P(z<-1.39)= 0.0823

n= 4 NV(455,3.6/2) P(x<450)= P(z<(450-455)/1.8)= P(z<-2.7778)= 0.0027

n= 16 NV(455,3.6/4) P(x<450)= P(z<(450-455)/0.9)= P(z<-5.5556)= 0.0000

Methodologie & Statistiek I