Pierre Guérin pierre.guerin@edf.fr Directeur de thèse (Paris 6) : Yvon Maday Encadrant CEA : Jean-Jacques Lautard

1. Méthodes de décomposition de domaine pour la formulation mixte duale du problème critique de la diffusion des neutrons Pierre Guérin pierre.guerin@edf.fr Directeur de thèse (Paris 6) : Yvon Maday Encadrant CEA : Jean-Jacques Lautard Laboratoire de Logiciels pour la Physique des Réacteurs DEN/DANS/DM2S/SERMA/LLPR

2. Présentation du contexte physique et mathématique • Bilan neutronique et équation de la diffusion • Le solveur MINOS • Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) • Problème sous forme mixte duale • Applications numériques • Modification de la méthode CMS (FCMS) • Changement des fonctions de base • Parallélisation • Développement d’un algorithme itératif (IDD) • Prise en compte du problème à valeur propre • Efficacité en parallèle et précision • Conclusion et perspectives Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

3. Principe de la réaction en chaîne • Facteur de multiplication = 1  réaction critique > 1  réaction sur-critique < 1  réaction sous-critique Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

4. Détermination du flux de neutrons • Problème : déterminer numériquement le flux de neutrons sur le domaine de calcul • Hétérogénéité du cœur : problème trop complexe tel quel • Discrétisation du domaine de calcul • Homogénéisation du cœur Crayon assemblage Cœur Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

5. Problème à valeur propre Modèle de la diffusion • Modèle de la diffusion monogroupe : Trouver tels que : • Seul le mode fondamental nous intéresse, associé à la plus grande valeur propre • Formulation faible mixte duale : trouver le mode fondamental solution de Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

6. Nœuds de flux Nœuds de la composante X du courant Nœuds de la composante Y du courant Résolution par le solveur MINOS Élément de Raviart-Thomas ( ) rectangulaire : Problème matricielle : Élimination du flux : Système linéaire sur les courants : Matrice symétrique définie positive. Itérations internes : Gauss-Seidel par blocs sur les directions. Itérations externes sur la source de fission pour le problème à valeur propre (méthode de la puissance itérée). Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

7. Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) Conclusion et perspectives Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

8. La méthode de synthèse modale (CMS) • Décomposition du cœur en K sous-domaines. • Calculs des premiers modes propres d’un problème local sur chaque sous-domaine. • Résolution du problème global dans la base des modes locaux par une méthode de Galerkin. • Deux types de décomposition : • sans recouvrement  R. Craig et M. C. C. Bampton, 1968  F. Bourquin, 1992  taux de convergence d’ordre fini  modes d’interface nécessaires  thèse de K. Pinchedez, 1999 : application à la l’équation de la diffusion des neutrons sous forme primale • avec recouvrement  I. Charpentier, F. De Vuyst et Y. Maday, 1995  taux de convergence d’ordre infini  pas besoin de modes d’interface Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

9. Les calculs locaux • Décomposition du cœur : Décomposition du cœur du RJH en 9 sous-domaines Calcul sur chaque des premiers modes propres du problème de diffusion local, avec des conditions de courant nul sur les bords intérieurs, et de flux nul sur le bord du cœur.  Ensemble de solutions locales Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

10. Résolution globale • Prolongement par 0 des modes locaux sur tout le cœur :  espaces de fonctions définies sur R. • Résolution globale : trouver le mode fondamental du problème de diffusion dans les espaces • Inconnues : Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

11. Décomposition d’un REP 900 Mwe • Décomposition en 201 sous-domaines d’un REP 900 MWe chargé avec des assemblages UOX et MOX : • Frontières internes des sous-domaines : • Au milieu des assemblages • Pour être plus proche de la condition de courant nul • Pas de problème aux interfaces UOX/MOX Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

12. Représentations graphiques des flux • Calcul de diffusion • 2 groupes d’énergie • , maillage cellule Flux thermique Flux rapide Puissance cœur Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

13. Comparaison CMS/MINOS 2 cas pour la méthode CMS : • 4 modes de flux et 6 de courant sur chaque sous-domaine • 9 modes de flux et 11 de courant Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

14. Ecart de puissance CMS/MINOS 0,4% 2% 0% 0% -0,4% -2% 9 modes de flux, 11 de courant 4 modes de flux, 6 de courant Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

15. Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) Conclusion et perspectives Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

16. Méthode FCMS • But : diminuer le temps CPU et l’occupation mémoire  calcul du mode fondamental uniquement  remplacer les modes d’ordres >1 par des fonctions bien choisies • Principe de factorisation sur des cœurs périodiques : • est le i-ème mode solution d’un problème de diffusion homogénéisé : • est le mode fondamental périodique en milieu infini. • On s’inspire de ce principe pour changer les fonctions de base : • On remplace les modes d’ordres >1 par : • sont des sinus ou des cosinus d’ordre i, • est la solution fondamentale sur le sous-domaine k. Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

17. Comparaison FCMS/MINOS • Même décomposition de domaine • 6 modes de flux et 11 de courant sur chaque sous-domaine 1% 0% -1% Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

18. Parallélisation des méthodes CMS/FCMS • Temps de calcul  calculs locaux et matrices. • Calculs locaux indépendants  pas de communication. • Les calculs des matrices sont parallélisés avec des communications uniquement entre les sous-domaines qui se recouvrent. • Résolution globale : séquentielle et très rapide. Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

19. Temps CPU et efficacité en parallèle (REP 3D) Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

20. Bilan des méthodes CMS/FCMS • Avantages : • Algorithme non itératif • Les calculs locaux et la résolution globale peuvent être séparés • Permet un couplage facile de solveurs ou de méthodes • Calculs locaux indépendants • Inconvénients : • Temps de calculs et occupation mémoire trop grands • Pas facile d’utilisation, trop de paramètres • Très sensible à la décomposition de domaine • Erreur d’approximation non maîtrisée Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

21. Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) Conclusion et perspectives Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

22. Algorithmes itératifs de type Schwarz Problème de la diffusion à source sous forme primale : trouver tel que Algorithme de Schwarz original (1870), avec recouvrement : Algorithme de Schwarz modifié (P. L. Lions, 1990), sans recouvrement : Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

23. Méthode de décomposition de domaine itérative (IDD) • Décomposition de domaine sans recouvrement • Même taille pour tous les sous-domaines Décomposition en 9 sous-domaines du cœur du RJH Méthode itérative de type Schwarz avec des conditions de Robin aux interfaces Itération externe  convergence simultanée du problème à valeur propre et de la décomposition de domaine Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

24. Exemple avec 2 sous-domaines Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

25. Convergence en 1D Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

26. Parallélisation de la méthode IDD • Peu de modifications de MINOS : 2 étapes de communication par itération externe Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

27. Application numérique sur un REP 3D • Comparaison avec un calcul MINOS convergé. • Critère d’arrêt : sur la source de fission. Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

28. Calcul RJH 2D • Calcul de diffusion, , 6 groupes d’énergie, mailles. Géométrie Puissance Flux thermique Flux rapide Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

29. Application numérique sur un RJH 2D • Comparaison avec un calcul MINOS convergé. • Critère d’arrêt : sur la source de fission. Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

30. Bilan de la méthode IDD • Avantages : • Efficacité du code parallèle excellente (surtout RJH) • Répartition des données en mémoire • Robuste • Inconvénients : • Algorithme itératif • Sous-domaines de même taille • A résoudre • Coefficient de Robin à déterminer de manière automatique et optimal Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

31. Présentation du contexte physique et mathématique Adaptation de la méthode de synthèse modale (CMS) Modification de la méthode CMS (FCMS) Développement d’un algorithme itératif (IDD) Conclusion et perspectives Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

32. Conclusions et perspectives • Méthodes de décomposition de domaine : • Précision satisfaisante pour la puissance et le • Adaptées au calcul parallèle • CMS/FCMS : non itératives, mais manquent de robustesse, les temps de calcul et l’occupation mémoire sont trop grands • IDD : très bonne efficacité, pas d’augmentation du nombre d’itérations, peu de modifications du code MINOS • Perspectives : • Optimisation automatique des coefficients de Robin aux interfaces pour la méthode IDD • Autres géométries (EPR, RNR…) • Autres modèles : transport simplifié, transport complet, cinétique… • Couplage de modèles et de méthodes de résolution • Maillages non structurés Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

33. Convergence 1D Séquentiel 17 sous-domaines • Pas d’accélération de Tchebychev, inversion exacte. Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

34. Convergence REP 3D Séquentiel 16 sous-domaines • Accélération de Tchebychev, inversion Gauss-Seidel par blocs (1 iter.) Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

35. Convergence RJH 2D Séquentiel 16 sous-domaines • Accélération de Tchebychev, inversion Gauss-Seidel par blocs (1 iter.) Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

36. Sous-domaine 1 Frontière 1 Flux 1 Courant 1 Mailles du recouvrement Flux à l’interface Courant à l’interface Sous-domaine 2 Frontière 2 Flux 2 Courant 2 Conditions aux interfaces approchées Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons

37. Qualité de l’approximation Pierre Guérin - Décomposition de domaine pour la diffusion des neutrons