1 / 61

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta. E.2. Poista itseisarvot lausekkeesta. E.3. a). = x 2. x – 1 ≥ 0 x ≥ 1. = 3x 2 + 1. b). koska 3x 2 + 1 ≥ 0 + 1 > 0. 1.1.3. Itseisarvofunktio. E.7. Piirrä funktion kuvaaja. x. -3 -2 -1 0 1. abs. 1.2. Itseisarvoyhtälöt. 1).

ula
Download Presentation

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot lausekkeesta E.3. a) = x2 x – 1 ≥ 0 x ≥ 1 = 3x2 + 1 b) koska 3x2 + 1 ≥ 0 + 1 > 0

  2. 1.1.3. Itseisarvofunktio E.7. Piirrä funktionkuvaaja x -3 -2 -1 0 1 abs

  3. 1.2. Itseisarvoyhtälöt 1) E.2. x +1 = 3 tai x+1 = -3 x = 3 -1 tai x = -3 - 1 x = 2 tai x = -4

  4. 2) x  0  x - 1 = 2x tai x - 1 = -2x  x - 2x = 1 tai x +2x = 1  -x = 1 tai 3x = 1  x = -1 tai x =1/3 Vastaus: x = 1/3

  5. 4) E.4. (x - 6)2 = (2x)2 x2 – 12x + 36 = 4x2 3x2 + 12x - 36 = 0 x2 + 4x – 12 = 0 x - 6 = 2x tai x - 6 = -2x x - 2x = 6 tai x +2x = 6 -x = 6 tai 3x = 6 | : 3 x = -6 tai x = 2 Vastaus: x1 = -6, x2 = 2 Vastaus: x1 = -2, x2 = -6

  6. E.1. E.2. | 3x + 12 | < 3 -3 < 3x + 12 < 3 -15 < 3x < -9 -5 < x < -3 | 3x -7 | > 2 3x - 7 > 2 tai 3x - 7 < -2 3x > 9 tai 3x < 5 x > 3tai x < 5/3

  7. 2. E.3.(46a) E.4.(46b)

  8. 3. E.5. Nollakohdat:

  9. Pisteen P(x,y) etäisyys x- tai y-akselista xy-koodinaatistossa Etäisyys x-akselista = | y | . Etäisyys y-akselista = | x | E.1. Mikä on pisteen (4,-5) etäisyys a) x-akselista b) y-akselista c) origosta? a) |-5| = 5 b) |4| = 4 |-5| = 5 c) |4| = 4

  10. Janan pituus yleisesti P1P2 = P1= (x1,y1) P2= (x2,y2) E.2. Mikä on pisteiden a) (2,3) ja (5,-1) etäisyys = 5

  11. Janan keskipiste Pisteiden (x1,y1) ja (x2, y2) välisen janan keskipiste on E.3. Laske janan keskipisteet, kun päätepistee ovat (4,0) ja (-2,-8) = (1, -4)

  12. Tutkiminen, onko piste jollakin yhtälön avulla määritellyllä käyrällä E.4. Onko piste (3½,4) suoralla y = 2x - 3? 4 = 2  3½ - 3 4 = 4 tosi V: Piste on suoralla E.5. Mikä on a, kun piste (2,3) on käyrällä 3x - ay + 6 = 0? 3  2 – 3a + 6 = 0 6 – 3a + 6 = 0 -3a = -12 a = 4

  13. 2.2 Suora y = kx + b 2.2 Suora y = kx + b 2.2.1 Suoran piirtäminen 2.2.1 Suoran piirtäminen y = 2x + 4 E.1. Piirrä suora y = 2x + 4 TAPA I x y . -1 2  (-1) + 4 = 2 0 4 1 6 TAPA II Koordinaattiakselien leikkauspisteet: y-akseli, x = 0: y = 2  0 + 4 = 4 x-akseli, y = 0: 0 = 2x + 4  2x = - 4  x = -2

  14. KULMAKERROIN x1≠ x2 E.3. Määritä pisteiden (1,2) ja (3,8) kautta kulkevan suoran kulmakerroin

  15. 2.2.3 Suoran suuntakulma

  16. E.4. Mikä on suoran kulmakerroin , kun suuntakulma on a) 45° b) - 30 ° a) k = tan 45° = 1 b) k = tan -30° = -tan30°= E.5. Mikä on suoran suuntakulma, kun kulmakerroin on 2 tan  = 2  63,4 E.6. Mikä on suoran y = 4x + 5 suuntakulma? k = 4 tan  = 4  76,0

  17. y - y0 = k(x - x0) missä (x0, y0) suoralla oleva piste ja k suoran kulmakerroin Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, niin suora on y-akselin suuntainen ja sen yhtälö on x = x0

  18. E.1. Kulmakerroin on 4 suoralla on piste (2, -3). Mikä on suoran yhtälö? y - (-3) = 4(x - 2) y + 3 = 4x - 8 y = 4x - 8 -3 y = 4x - 11 E.2. Mikä on pisteiden (2,-3) ja (5,1) kulkevan suoran yhtälö? y – y0 = k(x – x0)

  19. E.1. Missä pisteessä -3x + 4y = 12 leikkaa koordinaattiakselit? Suoran ja x-akselin leikkauspiste: y=0: -3x + 4 0 = 12 -3x = 12 Suoran ja y-akselin leikkauspiste: x=0: -3 0 + 4 y = 12 4y = 12 |:(-3) |:4 x = -4 V: (-4,0) y = 3 V: (0,3)

  20. Kirjan E.2. – s. 53 Määritä sen suoran yhtälö, joka on suoran 2x – 3y + 5 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-2, 3) kautta. 2x – 3y + 5 = 0 TAI 2x – 3y + c = 0 sijoitus -4 – 9 + c = 0 c = 13 2x – 3y + 13 = 0

  21. E.1. Määritä suoran y = 3x + 4 suuntaisten suorien parvi. y = 3x + c E.3. Muodosta pisteen (2,3) kautta kulkevien suorien parvi. y – 3 = k(x – 2) tai x = 2 y = kx – 2k + 3 tai x = 2 E.4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2x+ 3y + 4= 0 suuntainen ja se kulkee pisteen (7,-8) kautta 2x + 3y + c = 0 2  7 + 3  (-8) + c = 0 c = 10 V: 2x + 3y + 10 = 0

  22. E.1. Mikä on pisteen a) (1,2) etäisyys suorasta y = 4? b) (5,6) etäisyys suorasta x = -3? a) d = | 2 - 4 | = 2 b)d = | 5 – (-3) | = 8 Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta Suoran yhtälö on oltava yleisessä muodossa ax + by + c = 0 ja olkoon piste (x0,y0) (a ≠ 0 tai b ≠ 0) E.2.Laske pisteen (1,2) etäisyys suorasta 3x - 4y = 5 3x – 4y = 5 3x – 4y – 5 = 0 *************

  23. E.1. Tutki suorien y = 3x - 4 , 6x + 2y = 3 ja 6x - 2y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta y = 3x – 4 k1 = 3 6x + 2y = 3 2y = -6x + 3 y = -3x + 3/2 k2 = .3 6x - 2y + 3 = 0 -2y = -6x – 3 y = 3x + 3/2 k3 = 3 V: Suorat y = 3x – 4 ja 6x + 2y = 3 ovat yhdensuuntaisia E.2. Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö? k = 3 y – y0 = k(x – x0) y – 2 = 3(x – 1) y – 2 = 3x – 3 y = 3x - 1

  24. TAIMikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö? 3x – y + 4 = 0 Kuten edellä… TAI 3x – y + c = 0 3  1 – 2 + c = 0 c = -1 3x – y – 1 = 0

  25. 3.1.2. Suorien kohtisuoruus E.1. Mikä on normaalin kulmakerroin, kun suoran kulmakerroin on a) k = 3 b) -4 E.2. Tutki suorien L1:y = 2x + 3 , L2:y = ½x - 1 ja L3:y = -½x + 2 kohtisuoruutta. k1 = 2 k2 = ½ k3 = -½ L1 L3, koska k1  k3 = 2  (-½)= -1 E.3. Laske pisteen (1,2) kautta kulkevan suoran y = 2x + 3 normaalin yhtälö. k = 2 y - 2 = -½(x - 1) y – 2 = -½x + ½ y = -½x + 2½

  26. 3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA Olkoon y = k1x + b1 y = k2x + b2  = suorien välinen kulma Kun  < 90, niin

  27. E.x. (t. 198) Laske suorien a) 2x – 8y + 1 = 0 ja 2x + y – 2 = 0

  28. 3.2.1 Suorien leikkauspiste E.1. (t. 220) Laske suorien x + y + 2 =0, y = 2x + 1 ja x – 2 = 0 rajoittaman kolmion ala. x + 2x + 1 + 2 = 0 3x = -3 x = -1 y = 2  (-1) + 1 = -1 2 + y + 2 = 0 y = -4 leikkauspiste B = (2, -4) y = 2 2 + 1 y = 5 leikkauspiste C = (2, 5) A =

  29. Kirjan E.3., s. 78

  30. 1) x + y = 1 y = -x + 1 E.1.Missä sijaitsevat ne tason pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön x + y  1 3) Valitaan piste suoran yläpuolelta: (1,2) Sijoitetaan piste yhtälöön: 1 + 2 = 3 ≥ 1, tosi 2) 4) Valitaan piste suoran alapuolelta (0,0) Sijoitetaan piste yhtälöön: 0 + 0 = 0 ≥ 1, epätosi 5) Vastaus: Epäyhtälö toteutuu suoralla x + y = 1 ja sen yläpuolella

  31. E.2. Piirrä epäyhtälöiden x2, y  1, x+y  6 ja x +2y  8 rajaama alue y  1 x2

  32. x+y  6 x+y = 6 y = -x + 6 Piste yläpuolelta: (5,5) 5 + 5 = 10 > 6 tosi Piste alapuolelta: (0,0) 0 + 0 = 0 > 6 epätosi

  33. x +2y  8 2y = -x + 8 y = -0,5x + 4 Piste yläpuolelta: (4,5) 4 + 2*5 = 14 > 8 tosi Piste alapuolelta: (0,0) 0 + 0 = 0 > 8 epätosi

  34. Yhdistetään tulokset x2, y  1, x+y  6 x +2y  8

  35. E.1. Ratkaise yhtälöpari y sijoittamalla 3 + 4y = 7 4y = 7 – 3 4y = 4 y = 1 | 2 | 1 9x = 27 x = 3 V: x = 3, y = 1 Tarkistus: 4  3 – 2  1 = 10 ./. 3 + 4  1 = 7 ./.

  36. E.2. Ratkaise: | 1 |(-1) | 1 | (-1) tarkistus 6a -2b = -12 2a - 4b = -4 Sijoittamalla 2a - 4 0 = -4 2a = -4 a= -2 10b = 0 |:10 b = 0 c: 4 (-2) - 0 + c = -17 => c = -9 V: a = -2, b = 0 ja c = -9

  37. Kirjan esimerkki 2, sivu 96

  38. 3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia E.1. (t. 260) Ratkaise yhtälöryhmät a) (-1) V: kaikki (x, y, z), joille x – 2y + z – 3 = 0

  39. b) 3 11x = -11z + 11 | :11 x = -z + 1 Sijoitus: 3(-z + 1) + y + 2z = 5 -3z + 3 + y + 2z = 5 y = z + 2 x = 1 – z, y = z +2, z  R V: x = 1 – t, y = 2 + t, z = t, t  R

  40. c) (-1) V: Ei ratkaisua

  41. 3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia E.1. (t. 264) Ratkaise yhtälöryhmä Valitaan osaryhmä (-5) -18x = 18 x = -1 5x - z + 3 = 0 7x - 5z - 3 = 0 z: 5  (-1) – z = -3 z = -2 y: 3  (-1) + y – 2  (-2) – 4 = 0 y = 3

  42. Tutkittava toteuttaako, osaryhmän ratkaisu 4. yhtälön 5x – 3y – 4z + 6 = 0 Sijoitus: 5  (-1) – 3  3 – 4  (-2) + 6 = 0 0 = 0 tosi V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2 *************

  43. 4.1 YMPYRÄ Yhtälö keskipistemuodossa (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 , missä keskipiste on (x0,y0) ja säde onr. P0(x0,y0) E.1. Mikä on ympyrän yhtälö, kun K = (2,3) ja r = 4 ? (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 E.2. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 keskipiste ja säde? (1, 3) r = 2

  44. Yhtälön muodostamisia eri tilanteissa * Lasketaan annetuista tiedoista keskipiste ja säde. E.3.Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2,3) ja joka kulkee pisteen (5,-1) kautta? (x – 2)2 + (y – 3)2 = 52 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 E.4. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (3,-4) ja joka sivuaa y-akselia? r = 3 (x – 3)2 + (y – (-4))2 = 32 (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9

  45. E.5. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka halkaisijan päätepisteet ovat ´ (1,2) ja (-3,4)?

  46. 4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa x2 + y2 + ax + by + c = 0 E.6. Esitä ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 3 yleisessä muodossa. x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 3 x2 + y2 – 2x – 4y + 2 = 0 E.7. Mikä on ympyrän x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 keskipiste ja säde? x2 – 2x + y2 + 4y = 4 x2 – 2x + 1+ y2 +4y + 4 = 4 + 1 + 4 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 V: K = (1,-2) , r = 3

  47. Yleisen yhtälön x2 + y2 + ax + by + b = 0 kuvaajat E.8. Mikä on yhtälön a) x2 + y2 - 4x + 8y + 20 = 0 b) x2 + y2 - 10x + 12y + 62 = 0 kuvaaja? a) x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = - 20 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 0 Kuvaaja piste (2, -4) b) x2 – 10x + 25 + y2 + 12y + 36 = -62 + 25 + 36 (x – 5)2 +(y + 6)2 = -1 Ei kuvaajaa E.9. Millä a:n arvoilla yhtälön x2 + y2 + 2x - 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä? x2 +2x + 1 + y2 – 4y + 4 = -a + 1 + 4 (x + 1)2 + (y – 2)2 = - a + 5 Ympyrä, jos - a + 5 > 0 a < 5

More Related