Liczby całkowite

1. Liczby całkowite

2. 1. Wprowadzenie Do zbioru liczb całkowitych należą wszystkie liczby naturalne i wszystkie liczby do nich przeciwne. Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym. Oznaczany jest jako C lub Z. Nie istnieje najmniejsza i największa liczba całkowita. Zbiór ten dzieli się na podzbiór liczb naturalnych, tj. liczb całkowitych dodatnich, podzbiór liczb całkowitych ujemnych oraz podzbiór złożony ze zbioru jednoelementowego - z liczby zero. Prócz działań dodawania i odejmowania, na liczbach całkowitych jest określone jeszcze działanie mnożenia, natomiast dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze tych liczb, tzn. iloraz dwóch liczb całkowitych może nie być liczbą całkowitą. Liczby całkowite stanowią pierścień względem działań dodawania i mnożenia.

3. 2. Liczby naturalne Liczby naturalne jak wiadomo, oznaczają zbiór liczb {0,1,2,3,…,55,…} . W Polsce przyjęło się oznaczać zbiór liczb naturalnych za pomocą N, jednakże w nomenklaturze międzynarodowej spotyka się także oznaczenie zbioru liczb naturalnych jako Z+ . Zatem N={0,1,2,3,…,55,…} lub Z+= {0,1,2,3,…,55,…} Wśród matematyków trwa dyskusja czy 0 także zaliczać do zbioru liczb naturalnych, przez co można spotkać się z zapisem N={0,1,2,3,…,55,…} jak i N={1,2,3,…,55,…} Zawsze warto zapytać nauczyciela jaką szkołę preferuje. Jednoznaczny jest za to zapis: N+={0,1,2,3,…,55,…} co w praktyce oznacza zbiór liczb naturalnych dodatnich.

4. 3. Liczby przeciwne W zbiorze liczb całkowitych możemy określić pojęcie liczb przeciwnych. Otóż: Dwie liczby a i b nazywamy liczbami przeciwnymi jeżeli a+b=0. Liczby -5 i 5 znajdują się na osi liczbowej w tej samej odległości od zera, po przeciwnych jego stronach. O liczbach przeciwnych możemy powiedzieć, że mają przeciwne znaki, ale taką samą wartość bezwzględną. Bezwzględna wartość liczby -5 to 5. Bezwzględna wartość liczby 5 to 5. Liczba nieujemna i jej bezwzględna wartość są sobie równe. Bezwzględna wartość liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna.

5. 4. Przykłady Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych 3 + 5 = 8 (-3) + (-5) = -8 (-3) + 5 = 5 - 3 =2 3 + (-5) = 3 - 5 = -2 Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych a · b = + (a · b) (-a) · (-b) = +(a · b) a · (-b) = -(a · b) (-a) · b = -(a · b)

6. 5. Ciekawostki W dawnych polskich podręcznikach liczby dodatnie zapisane ze znakiem + oraz liczby ujemne nazywano liczbami względnymi. Nazwa wzięła się zapewne stąd, że znak+ lub -, który przypisany jest liczbie, określa jej położenie względem zera. W przeciwieństwie do liczb względnych, liczby nie mające znaków nazywano liczbami bezwzględnymi. Stąd też pochodzi nazwa wartość bezwzględna- jeśli liczbę względną zapiszemy be znaku, otrzymamy jej wartość bezwzględną.

7. W starożytności ani rachmistrze babilońscy czy egipscy, ani greccy myśliciele oraz arabowie nie mieli ogólnej idei liczb ujemnych. Pierwszymi, którzy stosowali ilości ujemne, byli matematycy indyjscy. W VI i VII w. n. e. Używali ich dla potrzeb rachunkowych, mianowicie długi zapisywano jako wartości ujemne. Na zachodzie liczby ujemne pojawiły się dopiero w XV wieku jako osobne byty numeryczne, którym jednak odmawiano istnienia w postaci liczb. Otrzymały nazwę numeri absurdi i nie były uważane za możliwe rozwiązanie równania. Dopiero w XVII wieku angielski matematyk John Wallis zastosował współrzędne ujemne do punktów krzywej.

8. 6. Podsumowanie Liczby całkowite to według mojej oceny jeden z ciekawszych działów matematyki. Co prawda działania na tym zbiorze liczb są ograniczone, ale bardzo przydatne w życiu. Odnalezienie informacji w Internecie na temat działu „liczby całkowite” nie sprawiło mi większej trudności. Na kilku stronach internetowych znalazłam wiarygodne informacje dotyczące w/w działu. Większość znalezionych przeze mnie ciekawostek i informacji pokrywa się ze stroną internetową „www.math.edu.pl” oraz podręcznikiem do nauki matematyki. Weryfikacja znalezionego materiału sprawiła mi niewielkie trudności.

9. Dziękuję za uwagę Źródła: - Matematyka 6 – podręcznik - math.edu.pl - matematyka.net - medianauka.pl - matematyka.pl