Dane informacyjne:

2. Dane informacyjne: Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie Zespół Szkół w Otorowie ID Grupy: 98/6_mf_g2 98/28_mf_g1 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne są ok.. Semestr, rok szkolny: Semestr II rok szkolny 2010/11

3. W naszej prezentacji: Zilustrujemy zbiór liczb wymiernych. Opowiemy o działaniach na liczbach wymiernych. Ujawnimy do czego potrzebne jest zaokrąglanie liczb. Zobaczycie ciekawe gry dydaktyczne. Dzięki niebanalnym zadaniom udowodnimy, że matematyka może być interesująca dla każdego. Określimy położenie liczb na osi liczbowej. Opowiemy o systemie rzymskim. Podamy cechy podzielności liczb. Omówimy ciekawe liczby. Po prezentacji poprowadzi Was Mar(Ł)cin

4. Liczby wymierne- liczby postaci p/q (p, q Є C i q ≠ 0) 123 -12 0.53 -1.63 0 ¼ 3¼ √25…

5. Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, ale specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny (w krajach anglosaskich kropka), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej. 12,3456 Np.: • 0,7=7/10 • 0,15=15/100=3/20

6. Rozwinięcie dziesiętne liczby Rozwinięcie dziesiętne liczby otrzymuje się przez podzielenie p przez q, np.:- rozwinięcie dziesiętne skończone - rozwinięcie dziesiętne nieskończone, okresowe (liczba 6 jest okresem rozwinięcia)

7. Działania na liczbach wymiernych

8. Rozszerzanie i skracanie ułamków Liczby wymierne aby rozszerzyć /skrócićnależy licznik i mianownik pomnożyć/podzielić przez tą samą liczbę

9. Dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach Liczby wymierne o różnych mianownikach dodajemy poprzez wcześniejsze sprowadzenie ich dowspólnego mianownika

10. Aby dodać liczby mieszanie należy również sprowadzić do wspólnego mianownika

11. Odejmowanie ułamków zwykłych Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach należy sprowadzić je do wspólnego mianownika a następnie odjąć liczniki pozostawiając ten sam mianownik

12. Mnożenie ułamków zwykłych Zanim pomnożymy ułamki, możemy skrócić je, a następnie mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

13. Dzielenie ułamków zwykłych Dzielenie ułamków polega na mnożeniu przez odwrotność dzielnika.

14. Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym. Przykłady a). 0,514 + 0,18 = 0,694 b). 0,678 - 0,25 = 0,428 c). 0,52 - 0,163 = 0,357 a) 0,514 b) 0,678 c) 1,520 + 0,18 - 0,250 - 0,163 0,694 0,428 0,357

15. Mnożenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym. Przykłady a). 0,5 · 0,23 = 0,115 b). 1,47 · 3 = 0,428 c). 3,14 · 0,25 = 0,785 a) 0,23 b) 1,47 c) 3,14 · 0,5 · 3 · 0,25 0,115 4,41 0,7850

16. Szacowanie wartości • Gdy istniejące dane nie pozwalają na dokładne ustalenie wartości danej wielkości, można ją czasami oszacować  z większą lub mniejszą dokładnością. Czynność tę nazywamy szacowaniem , a uzyskany wynik: wartością oszacowaną. Wykorzystanie ma to wszędzie gdzie trzeba coś szybko obliczyć tak zwane ,,około’’, ,,w przybliżeniu” itd. Np.: 47826 : 101,83 = 469,6651282… Możemy poprzez oszacowanie szybko policzyć 48000 : 100 ≈ 480

17. Zadanie : Oszacuj wartości wyrażeń. Wyrażenia o wartości mniejszej od 500 oznacz #,a te o wartości większej od 500 oznacz @. • a) 82,637 + 99,73 + 282,3 • b) 47826 : 101,83 • c) 56,289 x 79,327 • d) 11,34 x ( 162,99 - 122,99)

18. Rozwiązanie: • a) 82,637 + 99,73 + 282,3 ≈ 83+100+282 <500 # • b) 47826 : 101,83 ≈ 48000 :102 ≈ 480 < 500 # • c) 56,289 x 79,327 ≈ 56 x 80 =4480 > 500 @ • d) 11,34 x ( 162,99 - 122,99) ≈ 11 x ( 163 - 123) = =11 x 40 = 440 < 500 #

19. Gry dydaktyczne

20. Wojna ułamków … Myślę, że każdy powinien umieć grać w karcianą grę ,,Wojna’’, więc i potraficie grać w naszą grę… Ta gra polega na wykładaniu kolejno kart i przy okazji obliczaniu która karta ma większą wartość. Jeżeli dojdzie do takiego samego wyniku na te karty kładziemy następne w kolejności i znowu obliczamy. Wygrywa osoba z większą ilością kart. Karty można wykonać samemu według upodobania 

22. Gra planszowa „Wężyki”

23. Rzymska „Zgaduj-zgadula”

24. Krzyżówka matematyczna Liczba w nawiasie informuje na ile liter ma być rozwiązanie :1. Liczby 6 i -6, to liczby (9)2. Iloczyn liczb o jednakowych znakach jest liczbą... (8)3. Suma liczb przeciwnych jest równa ... (4)4. Liczba przeciwna do {-[-(-4)-]-} ... (6)________________________I. Liczbę w postaci na przykład 2 do potęgi 3 nazywamy ... (6)II. Dzielenie to działanie ... do mnożenia (8)III. Wynikdzielenia to ... (6)IV. suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ... (6)V. LIczby naturalne, całkowite, ułamki dodatnie i ujemne, to zbiór liczb ... (10)VI. wynik odejmowania to ... (7) …A krzyżówkę rysujemy sami

25. Ciekawa liczba Uzupełnij drzewko. W puste miejsce wpisuj wyniki działań. W okienko z literami wpisz odpowiednio: A - dzień swoich urodzin B - miesiąc swoich urodzin C - dwie ostatnie cyfry roku swoich urodzin Przeczytaj liczbę w okienku oznaczonym literą D. Co ona oznacza?

26. Magiczny kwadrat Rozwiązanie:

27. Rzymskie ćwiczenia

28. Rozwiązywanie zadań

29. Gry matematyczne

30. Oś Liczbowa

31. Osią liczbową nazywamy prostą, na której zaznaczony jest kierunek i jednostka.

32. Przypominamy… • Liczby: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,…. ......nazywają się liczbami naturalnymi. • Każdą liczbę naturalną można zapisać cyframi: Np. liczba 234 zapisana jest cyframi 2 , 3, 4. Są to cyfry arabskie.

33. System rzymski • Rzymski system zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli polegającym na składaniu liczby poprzez dodawanie znaków o określonym nominale; znaków jest 7: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 100

34. Cyfry wpisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej. Teraz można już zapisywać w zgrabny sposób różne liczby: • 12  -  XII • 29  -  XXIX • 1999  -  MCMXCIX I można inaczej?

35. XVI 10+5+1=16 Gdy cyfry w rzymskim zapisie liczby występują w kolejności od największej do najmniejszej, to aby odczytać tą liczbę, dodajemy wartości jej cyfr. Gdy w zapisie rzymskim cyfra mniejsza poprzedza większą, to liczba odpowiadająca tym dwóm cyfrom jest równa ich różnicy. XIV 10+(5-1)=14

36. Ciekawostki Wartość liczby zapisanej można zwiększyć: a)Stukrotnie, zapisując znak liczby w kreskach pionowych: C = 100 C = 10000 LXII = 62 LXII = 6200 b)Tysiąckrotnie, podkreślając ją u góry: XX = 20 XX = 20000 DLXV = 565 DLXV = 565000

37. CECHY PODZIELNOŚCI LICZB Liczba naturalna jest podzielna przez:

38. CIEKAWE LICZBY

39. LICZBY DOSKONAŁE Liczby doskonałe wprowadzili pitagorejczycy, podając pierwsze cztery kolejne: 6, 28, 496, 8128. Do dziś znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Odkryte dotychczas wszystkie liczby doskonałe są parzyste, nie znaleziono liczby nieparzystej. Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14

40. „ZŁOTA” LICZBA Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Liczba złota ma ciekawe własności: - aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę, - aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę. (a+b) : a = a : b Złoty podział to taki podział odcinka na dwie części, aby stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej

41. a - b b b a Złoty prostokąt • W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą • Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem

42. C 36º D 36º 36º A B Złoty trójkąt • trójkąt równoramienny, w którym stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie to złoty trójkąt. • w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°.

43. 2 3 1 1 8 5 Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt Ciąg Fibonacciego 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818…144:89=1,61797…

44. Liczby Fibonacciego w przyrodzie • Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. • Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. • Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. 8 i 13

45. Złote cięcie w przyrodzie cd. Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

46. LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE liczby naturalne m i n, spełniające warunek: suma wszystkich mniejszych od m dzielników naturalnych liczby m równa się n i jednocześnie suma wszystkich mniejszych od n dzielników naturalnych liczby n jest równa m. Obecnie znanych jest około dwóch milionów par liczb zaprzyjaźnionych. Przykładem liczb zaprzyjaźnionych jest para m = 220 n = 284 suma wszystkich mniejszych dzielników liczby m 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 = n n 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 = m

47. LICZBY BLIŹNIACZE Dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2, to liczby bliźniacze. np.: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19.

48. LICZBY LUSTRZANE To takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem np.: 98 i 89, 123 i 321, 1245 i 5421... Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11, np.: liczba 12 i 21 to 1221 : 11 = 192.

49. LICZBY PALINDROMICZNE Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. np.: 66, 323, 494, 30703, 5139315 ...

50. Bibliografia • Podręcznik „Nie tylko wynik”- MAC-edukacja • Internet ,np. http://www.serwis-matematyczny.pl/, http://www.math.edu.pl/, http://www.matematyka.wroc.pl/, i inne • Encyklopedia Matematyki Bay bay!...