Gerência Financeira das Reservas Técnicas

1. Gerência Financeira das Reservas Técnicas Fonteira Eficiente

2. Definição É o segmento, na linha de combinação, constituído por todas as carteiras de investimentos atraentes para um investidor racional, ou seja, aquele que avalia a relação risco/retorno em suas decisões. De outro modo, na fronteira eficiente, é possível selecionar uma carteira que apresenta, para um dado nível de risco, o maior retorno possível. As alternativas de investimento que atendem a essa orientação foram denominadas por Markowitz de eficientes. A escolha da melhor carteira é determinada pela postura do investidor em relação ao dilema risco/retorno presente na avaliação de investimentos.

3. Exemplo • Considere uma carteira composta por duas ações A e B com os seguintes dados: • Retorno esperado dos retornos da ação A: 20% • Retorno esperado dos retornos da ação B: 12% • Desvio-padrão dos retornos da ação A: 36% • Desvio-padrão dos retornos da ação B: 22% • Correlação entre os retornos das ações A e B: 0,20

6. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Quando temos mais de dois ativos, podemos formar carteiras com combinações de apenas 1 ativo, de 2 ativos, ..., de (n-1) ativos e de n ativos. • Para cada uma delas, pode-se ainda alocar diferentes proporções, de modo que teremos uma infinidade de carteiras possíveis. • Neste caso, a fronteira eficiente será descrita pelo segmento MN a seguir:

7. Retorno esperado * N * * * * * * M * * * Desvio-padrão dos retornos Considerações para carteiras com mais de dois ativos

8. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • As preferências de dois investidores A e B diante de carteiras dispostas na fronteira eficiente são dadas por suas respectivas curvas de indiferença. • As curvas de indiferença refletem as diferentes posturas perante o risco.

9. Investidor B Retorno esperado * N Investidor A * * * * * * * * M * * * Desvio-padrão dos retornos Considerações para carteiras com mais de dois ativos

10. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Neste exemplo, diante do mesmo conjunto de oportunidades, o investidor A seleciona uma carteira de ativos de menor risco que B. • Assim, como A tem maior aversão ao risco, o retorno prometido para A é menor que o esperado por B.

11. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Na prática, o cálculo da fronteira eficiente neste caso é realizado por meio de softwares financeiros. • Podemos obter uma carteira da fronteira eficiente para um dado retorno esperado por meio dos seguintes métodos: • Multiplicadores de Lagrange • Solver (excel)

12. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Para o exemplo abaixo, calcule o risco da carteira da fronteira eficiente sabendo que a taxa de retorno esperada para esta carteira é de 6%:

13. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Multiplicadores de Lagrange • Função objetivo (função a ser minimizada) • Restrições • Substituindo por , vem:

14. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Multiplicadores de Lagrange • Logo, temos: • Devemos derivar as funções f e g em relação às variáveis X1 e X2:

15. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Multiplicadores de Lagrange • Assim, para minimizar f, devemos resolver o sistema abaixo:

16. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Multiplicadores de Lagrange • Achando os valores para o exemplo:

17. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Multiplicadores de Lagrange • Montando o sistema sujeito à restrição de uma taxa de retorno de 6% e resolvendo-o, temos: • A variância da carteira é 0,0076 e o risco (desvio-padrão), 8,7%

18. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Solver

19. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Solver • No campo “Definir célula de destino”, escolher a célula onde consta a fórmula a ser minimizada. • No campo “Células variáveis”, escolher as células onde constam as posições investidas em cada ativo (W1 e W2). • No campo de restriçoes, deve-se colocar a restrição inicial do problema que era de o retorno esperado ser 6%.

20. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Solver • Para estes valores, foi encontrado:

21. Considerações para carteiras com mais de dois ativos • Podemos ainda resolver este problema utilizando a restrição sem venda a descoberto, o que implica que cada Wi deve ser maior ou igual a zero. • Neste caso, uma solução analítica é mais complexa, pois precisaremos de programação matemática para resolução do problema. • Para este mesmo problema, utilize a ferramenta solver do excel com estas restrições.