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Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes

Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes. F. Pascual - Laboratoire d’Informatique de Grenoble En collaboration avec : G. Christodoulou, L. Gourvès, E. Koutsoupias E. Angel, E. Bampis, A. Tchetgnia. Ordonnancement P||C max.

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Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes

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  1. Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes F. Pascual - Laboratoire d’Informatique de Grenoble En collaboration avec : G. Christodoulou, L. Gourvès, E. Koutsoupias E. Angel, E. Bampis, A. Tchetgnia

  2. Ordonnancement P||Cmax • m machines identiques • n tâches • toute tâche i a - une longueur li - un numéro d’identification M1 M1 M2 M2 Objectif : minimiser le makespan (la plus grande date de fin)

  3. Algorithmes d’approximation • SPT (Shortest Processing Time first) • 2-1/m approché • LPT (Largest Processing Time first) • 4/3-1/(3m) approché • Schéma d’approximation

  4. Ordonnancement de tâches individualistes • Chaque tâche i est contrôlée par un agent qui seul connaît li (tâche ≡ agent) • Les tâches communiquent leur longueur à un protocole qui doit les ordonnancer de sorte à minimiser le makespan

  5. bi Stratégies des agents • L’algorithme d’ordonnancement est connu. • Le but de chaque tâche est de minimiser sa date de fin d’exécution. • Chaque tâche i déclare une valeur bireprésentant sa longueur. • Hyp : bi ≥ li(exécution incomplète si bi<li) li

  6. Un exemple • Le protocole utilise l’algorithme LPT • 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur afin de minimiser sa date de fin d’exécution.

  7. Algorithmes à véracité garantie Algorithme à véracité garantie : algorithme avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer leur date de fin en mentant sur leur longueur.

  8. Retour sur l’exemple • Le protocole utilise l’algorithme SPT C’est un algorithme déterministe, à véracité garantie et 2-1/m approché.[Christodoulou et al. ICALP’04]

  9. Objectif • Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie • Pas de paiements

  10. Autres travaux en ordonnancement • Algorithmes à véracité garantie : économie • Paiement des agents • Ordonnancement : • Les agents sont les tâches : veulent minimiser la charge de leurs machines [Auletta et al, SPAA’04] • Les agents sont les machines • Mécanisme de coordination [Christodoulou et al, ICALP’04]

  11. Objectif Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie dans divers contextes • Déterministe ou randomisé • Modèle d’exécution fort ou souple

  12. bi = 3 li = 2 Modèles d’exécution • Modèle fort • Une tâche i ayant déclaré biobtiendra son résultatliunités de temps après le début de son exécution. • Modèle souple • Une tâche i ayant déclaré biobtiendra son résultatbiunités de temps après le début de son exécution.

  13. Bornes pour un système centralisé * [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]

  14. Bornes pour un système centralisé * [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]

  15. M1 1 1 1 M2 1 1 M3 1 1 Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (1/2) Hyp : Algorithme déterministe et de rapport d’approximation < 2-1/m . • m machines • m(m-1)+1 tâches de longueur 1 Au moins une tâche t se termine à la date m.

  16. 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (2/2) • la tâche t déclare 1 : fin(t) ≥ 3 • La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 : Ordonnancement optimal Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché Makespan <(2-1/m) OPT = 5 OPT = 3 début(t) < 2, fin(t) < 3

  17. Bornes pour un système centralisé

  18. Bornes pour un système centralisé

  19. Modèle fort, algorithme randomisé • Idée : combiner : - un algorithme avec véracité garantie - un algorithme pas à véracité garantie mais avec un meilleur rapport d’approximation. • Exemple : algorithme SPT-LPT - avec une probabilité p : retourner un ordonnancement SPT - avec une probabilité (1-p) : retourner un ordonnancement . LPT

  20. Modèle fort, algorithme randomisé J’ai intérêt à déclarer 2.5 plutôt que 1 • SPT-LPT n’est pas à véracité garantie. • On a trois tâches : , , - La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1 - La tâche 1 déclare une fausse valeur : 2.5 3 2 1 E[C1] = p + 3(1-p) = 3 - 2p 1 3 3 SPT : LPT : 1 2 2 2.5 LPT : 3 E[C1] = 1 SPT : 2 2.5 2 3

  21. 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 Algorithme DSPT • Ordonnancer les tâches t.q. b1< b2< … < bn. La tâche i+1 commence quand 1/m de la tâche i a été exécuté. • Exemple : (m=3) 1 4 7 2 8 5 3 6 9

  22. 1 4 7 2 5 8 3 6 9 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 Algorithme DSPT • Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché • Idée de la preuve : Temps d’inactivité : inactivite_avant(i) = ∑ (1/3 lj) inactivite_milieu(i) = 1/3 ( li-3 + li-2 + li-1 ) – li-3 inactivite_fin(i) = li+1 – 2/3 li+ inactivite_fin(i+1)

  23. 1 4 7 2 5 8 3 6 9 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 Algorithme DSPT • Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché • Idée de la preuve : Cmax Cmax = (∑(idle times) + ∑(li)) / m ∑(idle times) ≤ (m-1) ln and ln≤ OPT Cmax ≤ ( 2 – 1/m ) OPT

  24. Un algorithme à véracité garantie • Algorithme DSPT-LPT : - Avec une probabilité m/(m+1), retourner DSPT - Avec une probabilité 1/(m+1), retourner LPT. • Le rapport d’approximation de DSPT-LPT est inférieur à celui de SPT. si m=2, rapport(SPT-LPT) < 1.39, rapport(SPT)=1.5 • Propriété : DSPT-LPT is à véracité garantie.

  25. Un algorithme à véracité garantie Je n’ai pas intérêt à mentir. • DSPT-LPT est à véracité garantie. • On a trois tâches : , , - La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1 - La tâche 1 déclare une fausse valeur : 2.5 3 2 1 E[C1] = 5/3 1 3 3 DSPT : LPT : 1 2 2 LPT : 3 E[C1] = 5/3 2 3 DSPT : 2 2.5 2.5

  26. Un algorithme à véracité garantie • Propriété :DSPT-LPT est à véracité garantie. • Idée de la preuve : Supposons que i déclare b>li. Elle est maintenant plus grande que les tâches 1,…, x, plus petite que la tâche x+1. l1 < … < li < li+1 < … < lx < b < lx+1 < … < ln • LPT : diminution de Ci(lpt) ≤(li+1 + … + lx) • DSPT : augmentation de Ci(dspt) = 1/m (li+1 + … + lx) • DSPT-LPT: changement = - m/(m+1) Ci(lpt) + 1/(m+1) Ci(dspt)≥ 0 b <

  27. Bornes pour un système centralisé

  28. Un algorithme déterministe pour le modèle souple • Idée : bénéficier de l’avantage de LPT (son rapport d’approx) mais pas de son inconvénient (les tâches mentent pour être exécutées en premier) • Construire un ordonnancement LPT puis l’exécuter en sens opposé, i.e. du makespan (Cmax) à la date 0

  29. LPT mirror Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror. Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer. LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.

  30. Bornes pour un système centralisé

  31. Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple • Ordonnancer les tâches de façon optimale. Makespan = OPT; Sommes des longueurs sur Mi = Li. • Ajouter une tâche fictive de longueur OPT-Li sur Mi. • Sur chaque machine, ordonnancer les tâches dans un ordre aléatoire. M1 9 9 10 3 5 M2 9 2 4 3 M3

  32. Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple • Lemme : Soit un ensemble de tâches à ordonnancer selon un ordre aléatoire. E[ fin de i ] = li + ½ (lj)= ½ ((lj) + li) • Block est à véracité garantie. -i déclare li : Makespan= OPTli. E[ fin de i ] = ½ (OPTli + li) - i déclare bi>li : Makespan= OPTbi ≥OPTli. E[ fin de i ] = ½ (OPTbi + bi) i j

  33. Bornes pour un système centralisé

  34. Système distribué • Les tâches décident sur quelle machine elles vont être exécutées. • La stratégie de la tâche i est (bi,mi) • Chaque machine j a un algorithme local d’ordonnancement. Cet algorithme ne dépend que des tâches ayant choisi j : mécanisme de coordination [Christodoulou et al. ICALP’04]

  35. Prix de l’anarchie • Équilibre de Nash : Situation dans laquelle aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en changeant unilatéralement de stratégie. • Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT} Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les mécanismes de coordination à véracité garantie.

  36. Bornes pour un système distribué

  37. Modèle souple, mécanisme de coordination déterministe, borne inf M1 M1 M2 M2 M1 M1 M2 M2 ρ < (2+ε)/2 et ρ≥ 2/(1+ε) →ρ≥(1+√17)/4 > 1.28

  38. Bornes pour un système distribué

  39. Perspectives • Réduire les écarts entre bornes sup et inf • Mécanismes de coordination avec véracité garantie • Agents contrôlant plusieurs tâches • Machines avec vitesses

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