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Zahlensysteme und Dualarithmetik copyleft: munz

Zahlensysteme und Dualarithmetik copyleft: munz. Zahlensysteme:. (Binärsystem). Dualsystem. Oktalsystem. Dezimalsystem. (Sedezimalsystem). Hexadezimalsystem. Dualarithmetik:. Addition. Subtraktion. Multiplikation. Division. Ende. Dualsystem (Binärsystem). Basis: 2

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Zahlensysteme und Dualarithmetik copyleft: munz

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  1. Zahlensysteme und Dualarithmetik copyleft: munz Zahlensysteme: (Binärsystem) Dualsystem Oktalsystem Dezimalsystem (Sedezimalsystem) Hexadezimalsystem Dualarithmetik: Addition Subtraktion Multiplikation Division Ende

  2. Dualsystem (Binärsystem) • Basis: 2 • Zeichenvorrat: {0;1} • Umwandlung von Dezimalsystem in das Dualsystem mit Restdivision (Modulo-Operation) • beliebige Zahl dividiert durch 2 ergibt als Rest entweder 0 oder 1 • Notwendig für Dualarithmetik

  3. Umwandlung Dezimal- in Dualsystem Schreibweise der Ergebnisse in umgekehrter Reihenfolge: 16810 = 101010002 • : 2 = 84 Rest 0 84 : 2 = 42 Rest 0 42 : 2 = 21 Rest 0 21 : 2 = 10 Rest 1 10 : 2 = 5 Rest 0 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 Schnelle Umrechnungen mit dem Windowstaschenrechner in wissenschaftlicher Ansicht: Mehrere Wege zur Berechnung möglich

  4. Umwandlung Dual- in Dezimalsystem 101010002 = 1*27+0*26+1*25+0*24+1*23+0*22+0*21+0*20 = 128+0+32+0+8+0+0+0 = 16810

  5. Oktalsystem • Basis 8 • Zeichenvorrat {0;1;2;3;4;5;6;7} • Erleichtert den Umgang mit Dualzahlen • Aus 3-Bit-Worten können acht verschiedene Kombinationen dargestellt werden

  6. Umwandlung Dual- in Oktalsystem • Zerteilen der Dualzeichenfolge in 3er-Gruppen von rechts beginnend • Umschreiben der Dualzahl in eine Oktalzahl 300910 = 1011110000012 = 57018

  7. Umwandlung Oktal- in Dezimalsystem • Zur Umwandlung von Oktal- in Dezimalzahlen einfach die Oktalzahl mit ihrem Stellenwert potenzieren und die Ergebnisse addieren: 5 7 0 1 (8) 1 * 80 = 1 0 * 81 = 0 7 * 82 = 448 5 * 83 = 2560 3009 (10)

  8. Umwandlung Dezimal- in Oktalsystem • Zur Umwandlung von Dezimal- in Oktalzahlen muss die Dezimalzahl mit Hilfe der Modulo-Operation umgewandelt werden und von der höchsten oktalen Stelle aus gelesen werden: 3009 : 8 = 376 Rest 1 376 : 8 = 47 Rest 0 47 : 8 = 5 Rest 7 5 : 8 = 0 Rest 5 5 7 0 1 (8)

  9. Dezimalsystem • Basis: 10 • Zeichenvorrat: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} • Ziffern besitzen Nenn- und Stellenwert • Nennwert: wirklicher Wert der Ziffer • Stellenwert: Wert der Ziffer innerhalb der dargestellten Zahl • Beispiel: 4186 = 4*1000+1*100+8*10+6*1 = 4*103 +1*102+8*101+6*100

  10. Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) • Basis: 16 • Zeichenvorrat: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F} • In der Praxis können mit wenig Zeichen große Zahlen dargestellt werden • Anwendung bei Programmiersprachen, Farbangaben bei Grafikprogrammen • zweithäufigst genutztes Zahlensystem (n. DEZ) • Verminderte Fehleranfälligkeit • Wird auf maschinennaher Umgebung häufig in Assemblersprachen genutzt

  11. Hexadezimalsystem - Zeichenvorrat

  12. Umwandlung Hexadezimal- in Dezimalsystem Die Stellenwerte des Hexadezimalsystems sind Potenzen zur Basis 16. B C 1 (16) 1 * 160 = 1 12 * 161 = 192 11 * 162 = 2816 3009 (10)

  13. Umwandlung Dezimal- in Hexadezimalsystem • Zur Umwandlung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen muss die Reste von unten nach oben angeschrieben werden 3009 : 16 = 188 Rest 1 188 : 16 = 11 Rest 12 11 : 16 = 0 Rest 11 B C 1 (16)

  14. Dualarithmetik - Addition • stellenweises Rechnen von geringst-wertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links • Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem • Zusätzliche Regeln unbedingt beachten:

  15. Addition - Rechnung Beispiel: 1 0 1 0 1 0 0 0 + 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1

  16. Dualarithmetik - Subtraktion • stellenweises Rechnen von geringst-wertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links • Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem • Zusätzliche Regeln unbedingt beachten:

  17. Subtraktion - Rechnung Beispiel: 1 0 1 0 1 0 0 0 - 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Berechnung auch über Komplementbildung möglich

  18. Dualarithmetik - Multiplikation • Vorgehensweise simultan zur schriftlichen Multiplikation im Dezimalsystem • Kein Stellenübertrag • Ergebnisse aus Teilmultiplikationen werden zu Summe addiert (Dualaddition) • Zusätzliche Regeln unbedingt beachten:

  19. Multiplikation - Rechnung Beispiel: 1 1 0 0 * 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1

  20. Dualarithmetik - Division • Komplexeste Arithmetik • Rechnung wird an höchster Stelle des Dividenden begonnen • Prüfen ob Divisor vollständig abgezogen werden kann (mittels Dualsubtraktion) • Ja: Notierung einer 1 im Ergebnis und mit Rest weiterrechnen. Nein: Notierung einer 0 im Ergebnis, eine Stelle nach rechts rücken und nochmals prüfen

  21. Division - Rechnung 1 Beispiel: 1 1 10101000 / 110 = 0 0 0 1 1 1 0 0 1 - 110 geht nicht 10 - 110 geht nicht 101 - 110 geht nicht 1010 - 110 geht (Rest 100) 1001 - 110 geht (Rest 11) 110 - 110 geht (Rest 0) 0 - 110 geht nicht 0 - 110 geht nicht

  22. Division - Rechnung Beispiel übersichtlicher:

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