1/ faire des maths 2/ faire faire des maths 3/ regardez ce que ça donne…

1. 1/ faire des maths 2/ faire faire des maths 3/ regardez ce que ça donne… Thierry Dias – octobre 2005

2. La construction du nombreapprentissage et difficultés Thierry Dias – octobre 2005

3. Plan général • Diverses conceptions de l’apprentissage • Repères didactiques • 3. Quelques obstacles • 4. Évaluer les difficultés • 3. Les situations d’apprentissage Thierry Dias – octobre 2005

4. Diverses conceptions de l'apprentissage Thierry Dias – octobre 2005

5. «tout sujet apprenant le nombre doit se poser naturellement les mêmes questions que ses inventeurs pour le comprendre» Thierry Dias – octobre 2005

6. L’apport du constructivisme On admet que la plupart des connaissances (savoirs et savoirs-faire) ne sont ni reçues du milieu par un organisme passif, ni-pré-programmées à la naissance de telle façon que le sujet se les appropriait nécessairement. Ces connaissances sont construites par le sujet dans le cours de son activité. Thierry Dias – octobre 2005

7. Piaget, Szeminska, 1941 milieu (d'apprentissage) sujet équilibre élément nouveau assimilation accommodation organisation équilibration Stades de développement = Stades d’apprentissages Thierry Dias – octobre 2005

8. Piaget, Szeminska, 1941 Trois opérations logiques élémentaires sont des pré-requis à la construction du nombre : - la conservation - la sériation - l'inclusion • Ceci permettant de définir les stades de développement connus : • le stade sensori-moteur (0 à 2 ans) • la période pré-opératoire (2 à 6 ou 7 ans) • le stade des opérations concrètes (6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans) • le stade des opérations formelles (ou hypthético-déductif) Thierry Dias – octobre 2005

9. Piaget, Szeminska, 1941 Cette notion de stades d’apprentissages induit une conception « linéaire » de la construction de connaissances sur le nombre relative à l’âge des élèves. Le nombre est ainsi au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences du sujet. Thierry Dias – octobre 2005

10. Une autre approche : Gelman et Gallistel (années 80) La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable. L’importance de l’activité de comptage / dénombrement. Cinq principes régissent le comptage. Thierry Dias – octobre 2005

11. Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 1. Principe de correspondance terme à terme : à chaque unité on doit faire correspondre un mot-nombre; Coordonner le geste à la récitation : un mot par geste, pas plus, pas moins un deux trois quatre cinq Thierry Dias – octobre 2005

12. 1 1 Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 2. Principe de suite stable : les mots nombres doivent toujours être récités dans le même ordre; Mémoriser une suite de mots et la restituer de la même manière dans des contextes qui peuvent varier. Thierry Dias – octobre 2005

13. 5 Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 3. Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble; Accepter de conceptualiser contre une connaissance… donc de force, par répétition ou imitation La question du combien… 5 = ? 2 3 4 1 Thierry Dias – octobre 2005

14. Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 4. Principe d’indifférence de l’ordre : les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre; L'ordre des objets à dénombrer n'a pas d'importance alors que les mots qui servent dans cette situation sont en ordre ! En revanche, l'organisation spatiale des objets dénombrés revêt une importance qui peut s'avérer fondamentale. Thierry Dias – octobre 2005

15. Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 5. Principe d ’abstraction : toutes sortes d ’éléments peuvent être rassemblés et comptés ensemble. 2 2 Thierry Dias – octobre 2005

16. La place du calcul dans la construction du nombre Deux thèses modernes concernant le calcul : Brissiaud : le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du comptage, donc la nécessité de développer des compétences dès le plus jeune âge. Gelman et bien d’autres… : le comptage doit précéder les activités de calcul (en référence aux cinq principes). * attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à compter…) Thierry Dias – octobre 2005

17. Les apports de la recherche récente (neurosciences) Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès l'âge de 6 mois : discrimination perceptive, addition et soustraction de petites quantités. Des capacités que le petit d'homme partage avec ses semblables : singes, dauphins, oiseaux… pas de quoi pavoiser ! Les régions cérébrales concernées par le calcul et la manipulation des quantités ne sont pas toujours les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en trouve compliqué). Rôle prépondérant du langage comme désignation dans la construction du principe de cardinalité. Thierry Dias – octobre 2005

18. Repères didactiques Thierry Dias – octobre 2005

19. Une solution au dilemme : Le nombre outil et la problématisation… apprendre en... Thierry Dias – octobre 2005

20. apprendre en résolvant des problèmes Les connaissances1 du sujet se construisent à travers des actions finalisées2 c'est à dire permettant de résoudre un problème, de répondre à une question dans une situation qui a du sens pour le sujet dès le départ ou dont le sens apparaît très vite au cours de la résolution. 1 : savoir, savoir-faire, conceptions et représentations 2 : véritables activités de recherche et pas seulement de manipulation Thierry Dias – octobre 2005

21. L’escalier ci-dessous est construit avec 15 pavés et il a cinq marches. Quel nombre de marches aurai-je à monter si l’escalier était construit avec 120 pavés ? 1 Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 5  ? 2 Thierry Dias – octobre 2005

22. apprendre en remettant en cause des connaissances antérieures: Les connaissances ne s'entassent pas, ne s'accumulent pas. Elles ne se construisent pas de façon linéaire et continue. Leur élaboration est soumise à des ruptures. "On placera les élèves dans des situations qui permettent de provoquer un conflit." Thierry Dias – octobre 2005

23. La monnaie de la pièce... Trois jeunes gens prennent leur petit déjeuner dans un bar. Ils doivent payer 30 euros et donnent chacun une pièce de 10 euros. La patronne, charmante, décide de leur faire une réduction de 5 euros. Le serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, mais, ne pouvant les partager en trois il décide subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche et donne généreusement une pièce de 1 euro à chacun des trois jeunes gens. Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9 euros. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 euros. MAIS nous avions 30 euros. Où est donc passé le dernier euro? Thierry Dias – octobre 2005

24. apprendre en dépassant ses erreurs Identifier ses erreurs et les analyser pour pouvoir les corriger se fait grâce à la médiation de l’autre. L'erreur est « normale »; c'est une forme de connaissance. Elle est constitutive de l’apprentissage. Thierry Dias – octobre 2005

25. apprendre en faisant fonctionner, en répétant Apprendre ne se fait pas en une seule fois (ou très rarement). Apprendre c'est aussi recommencer, revenir en arrière, donc répéter, mais en comprenant ce que l'on fait et pourquoi on le fait. "La répétition mécanique d'actes dépourvus d'intentionnalité ou de sens ne saurait être génératrice d'acquisition d'un savoir-faire réellement maîtrisé (et cela en particulier pour les enfants en difficulté)." Thierry Dias – octobre 2005

26. apprendre en communiquant avec d'autres Apprendre ne se fait pas tout seul, mais dans un contexte d'interactions sociales. D'où l'importance du travail en groupe dans les classes. "Les seules actions que les enfants imitent sont celles qu'ils peuvent déjà faire parfaitement bien." J.Bruner Le contexte de ce dispositif de travail renforce le rôle essentiel de médiation de l'adulte. Thierry Dias – octobre 2005

27. apprendre en utilisant Dans la programmation des apprentissages visant la construction du nombre, la fonction outil est à privilégier sur la fonction objet. La formalisation du signe et la mise en évidence du concept n’a de sens qu ’après sa mise en œuvre répétée dans des contextes différents. Thierry Dias – octobre 2005

28. Quelques obstacles Thierry Dias – octobre 2005

29. quelques obstacles… numération et compréhension des bases problèmes de chiffres : transcodage difficultés de la numération de position la question du zéro documentaire : l'empire des nombres Thierry Dias – octobre 2005

30. la question de la dyscalculie • DSM-IV : trouble du calcul • retard significatif dans les tests standardisés de mathématiques par rapport à l’âge développemental; • interférence avec la réussite scolaire; • ne s’explique pas par un déficit sensoriel • Le problème peut donc coexister avec d’autres affections. • CIM 10: trouble spécifique de l’acquisition de l'arithmétique • Altération spécifique des performances en arithmétique, non imputable exclusivement à un retard mental global ou à une scolarisation inadéquate. L'altération concerne la maîtrise des éléments de base du calcul : addition, soustraction, multiplication et division. Thierry Dias – octobre 2005

31. Quelques stratégies pour lutter contre les symptômes de la dyscalculie • Outils d'apprentissage pour l'élève • Permettre l'utilisation des doigts • Permettre la multiplication des écrits de recherche • Permettre l'utilisation de l'ordinateur pour l'entraînement et l'étude • Suggérer l'utilisation de papiers spéciaux : millimétré, quadrillé… • Démarche et méthode de travail • Traduire en dessin les mots d'un énoncé problématique • Favoriser la manipulation pour expérimenter • Utiliser des procédés mnémotechniques • Stratégies d'enseignement • Utiliser les schémas et les graphiques pour l'explication • Favoriser les aides possibles par des pairs • Diversifier les techniques de communication écrite (couleurs…) • Utiliser le rythme et la musique pour enseigner certaines notions mathématiques Thierry Dias – octobre 2005

32. Évaluer les difficultés Thierry Dias – octobre 2005

33. repérer les compétences et les difficultés de chacun. • QUOI ? • · connaissance de la comptine • - jusqu'où? • - stabilité? • - erreurs? (omissions, régularités récurrentes,...) • · recours spontané au dénombrement • · maîtrise du dénombrement • - synchronisation entre geste et récitation de la comptine • - organisation • - réponse par le dernier mot énoncé • · constitution d'une collection de cardinal donné • · lecture des nombres • · successeur d'un nombre (si on ajoute un élément à une collection dénombrée, le nombre d'éléments est le nombre suivant dans la comptine). Thierry Dias – octobre 2005

34. repérer les compétences et les difficultés de chacun • COMMENT ? • observations au cours de différentes activités • entretiens individuels • observations en contexte collectif Thierry Dias – octobre 2005

35. Que faire des données observées : Organiser la re-médiation Thierry Dias – octobre 2005

36. Évaluation préalable détour Activités conjointes complémentaires de re-médiation Situations d’apprentissages Activités conjointes de structuration Thierry Dias – octobre 2005 Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001

37. Les principes du détour • Faire un détour prend du temps. • Le détour est un autre chemin. • Le détour est accompagné. • Le détour ramène sur le chemin principal. Évaluation préalable détour activités de re-médiation Situations d’apprentissages Thierry Dias – octobre 2005 Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001

38. repérer les compétences et les difficultés de chacun • Connaissance de la comptine orale • Comptine stable jusqu'à : ……………………………………………………………………….. • Erreurs repérées : ……………………………………………………………………………….. • Connaissance de la comptine écrite • Erreurs repérées : ……………………………………………………………………………….. Thierry Dias – octobre 2005

39. repérer les compétences et les difficultés de chacun • Recours au dénombrement • Dans la situation problème proposée (aller chercher des crayons pour un nombre d'élève donné) repérer si : • L'élève a recours au dénombrement • L'élève apporte en un voyage un lot de crayons approximatif • L'élève apporte en un voyage tous les crayons • L'élève tente d'organiser les collections Thierry Dias – octobre 2005

40. repérer les compétences et les difficultés de chacun • Maîtrise du dénombrement • 1. "Combien de ?" • (collection d'objets réels dont le cardinal est choisit dans le domaine de connaissance de l'élève). • L'élève à recours au dénombrement • synchronisation des gestes et de la récitation de la comptine • organisation du dénombrement • maîtrise du principe de cardinalité • L'élève a recours à une estimation • L'élève ne réagit pas Thierry Dias – octobre 2005

41. repérer les compétences et les difficultés de chacun • Maîtrise du dénombrement • 2. "Combien de ?" • (collection d'objets représentés, stylo ou crayon disponible) • L'élève à recours au dénombrement • synchronisation des gestes et de la récitation de la comptine • organisation du dénombrement (par ajout de dessin) • maîtrise du principe de cardinalité • L'élève a recours à une estimation • L'élève ne réagit pas Thierry Dias – octobre 2005

42. repérer les compétences et les difficultés de chacun • Maîtrise du dénombrement • 3. +n ; -n • Lors de l'ajout puis du retrait de n éléments à la collection : • L'élève à recours au recomptage complet de la collection • L'élève utilise un procédé de sur-comptage • L'élève effectue une opération mentale Thierry Dias – octobre 2005

43. repérer les compétences et les difficultés de chacun • Constitution d'une collection de cardinal donné • On demande à l'élève de prélever ("donne moi") n objets réels pris dans une collection plus grande. • L'élève s'arrête au terme du dénombrement des n objets en déclarant qu'il a terminé • L'élève dénombre tous les objets jusqu'à épuisement des objets (ou de ses compétences) • L'élève s'aperçoit qu'il a oublié ce qu'on lui avait demandé • L'élève donne un tas sans dénombrer Thierry Dias – octobre 2005

44. 1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun • Maîtrise de l'aspect ordinal • On utilise un jeu de cartes-nombres et une piste incomplète. • L'élève sait replacer les cartes dans l'ordre croissant • L'élève sait placer les cartes dans l'ordre décroissant • L'élève sait compléter la bande numérique à trous Thierry Dias – octobre 2005

45. 1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun • Comparaison de collections • À faire avec des objets réels puis avec des objets représentés. • 1. Comparaison de collections très différentes • L'élève donne une réponse immédiate • L'élève dénombre chaque collection • L'élève utilise la correspondance terme à terme • 2. Comparaison de collections peu différentes • L'élève donne une réponse immédiate • L'élève dénombre chaque collection • L'élève utilise la correspondance terme à terme Thierry Dias – octobre 2005

46. Les situations d'apprentissage Thierry Dias – octobre 2005

47. On peut retenir trois caractéristiques pour définir les situations d'apprentissage : Les situations fonctionnelles Les situations rituelles Les situations spécifiques Les situations « construites » Thierry Dias – octobre 2005

48. 1.2 développer l'envie d'utiliser les nombres. • situations rituelles : • appel, cantine • - calendriers • situations occasionnelles : • répartition dans les ateliers • organisation pour aller chercher du matériel • distributions diverses • gestion de scores • - utilisation de recettes • situations spécifiques: • comptines avec des nombres • jeux de doigts • jeux de dés (lecture des dés et déplacement sur une piste dans un jeu de l'oie simplifié) • - jeux de cartes (Bataille, Pouilleux avec des cartes numérotées de 1 à 6 ou 8) Thierry Dias – octobre 2005

49. Les situations construites • mise en œuvre: • Cinq phases: • - découverte • - reconnaissance d'une procédure experte • - communication orale • - communication écrite • - réinvestissement Thierry Dias – octobre 2005

50. objectifs: - comprendre que le dénombrement est un moyen expert pour construire une collection équipotente à une collection donnée, hors de la présence de celle-ci, - élaborer un langage pour exprimer les anticipations d'actions et les validations des solutions. ("je vais compter pour voir combien il m'en faut" "ça ne va pas, il en manque" ...). Thierry Dias – octobre 2005