160 likes | 353 Views
HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI. INTERPOLASI. Pendahuluan. Engineer bekerja dengan sejumlah data diskrit ( biasanya disajikan dalam bentuk tabel ) yang diperoleh dari hasil pengamatan lapangan atau laboratorium . Contoh : Masalah yang muncul :
E N D
HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI INTERPOLASI
Pendahuluan • Engineer bekerjadengansejumlah data diskrit (biasanyadisajikandalambentuktabel) yang diperolehdarihasilpengamatanlapanganataulaboratorium. • Contoh: • Masalah yang muncul : • inginmengetahuiwaktupatahan y jikadiberitegangan x sebesar 12 kg/mm2padabaja • Solusi: mencarifungsi yang denganmencocokkantitik-titik data dalamtabel ( pencocokankurva)
Pendahuluan • Pencocokankurvauntuk • mencarinilaifungsi • menghitungnilaiturunan • Contoh: • Diketahuifungsi • Hitungturunanfungsidiatasjika x = a f’(a) = ? • SULIT??? • Pendekatandilakukandenganmenyederhanakanfungsif(x) menjadipolinompn(x) yang berderajat ≤ n
Interpolasi • Jika data memilikiketelitiantinggi, kurvadibuatmelaluisetiaptitik menginterpolasititik-titik data dengansebuahfungsi
Interpolasi Linier • adalahinterpolasiduabuahtitikdengansebuahgarislurus • misaltitik (x0, y0) dan (x1, y1) • Polinomygterbentuk persamaangarislurus y (x1,y1) (x0,y0) x
Interpolasi Linier Contoh: Taksirlahlogaritma natural dari 2 (ln 2) denganmemakaiinterpolasi linear antaraln 1 = 0 danln 6 = 1.7919595, dimananilaisejatiln 2 = 0.69314718. Penyelesaian :
InterpolasiKuadratik • Misaldipergunakantigatitik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2) • Polinomygmenginterpolasi polinomkuadrat p2(x) = a0 + a1x + a2x2 …………(1) • Polinom p2(x) ditentukandengan: • substitusi(xi,yi) dalampersamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02 = y0 a0 + a1x1+ a2x12= y1 a0 + a1x2+ a2x22= y2 • hitunga0,a1,a2darisistempersamaandiatasdenganmetodeeliminasi Gauss
InterpolasiKuadratik • Polinom p2(x) ditentukandengan: • substitusi (xi,yi) dalampersamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02= y0 a0 + a1x1 + a2x12= y1 a0 + a1x2 + a2x22= y2 • hitunga0,a1,a2darisistempersamaandiatasdenganmetodeeliminasi Gauss • Substitusikandengapersamaanp2(x)
InterpolasiKuadratik • Contoh: Diberikantitik In(8,0)=2,0794, In(9,0)=2,1972, dan In(9,5)=2,2513. Tentukannilai In(9,2)! • PENYELESAIAN • SPL yang terbentuk: a0 + 8,0a0+ 64,00a2= 2,0794 a0 + 9,0a1+ 81,00a2= 2,1972 a0 + 9,5a1+ 90,25a2= 2,2513 • Eliminasi Gauss
InterpolasiKuadratik • PENYELESAIAN • Eliminasi Gauss • Diperoleh: • 0,57a2 = -0,0048 a2 = -0,0064 • 1,0a1 + 17,00a1 = 0,1178 1,0a1 + 17,00(-0,0064) = 0,1178 a1 = 0,2266 • a0 + 8,0a1 + 64,00a2 = 2,0794 a0+ 8,0(0,2266) + 64,00(-0,0064) = 2,0794 a0 = 0,6762 • Substitusikepersamaanpolinom • p2(x) = 0,6762 + 0,2266x1 – 0,0064x2 • sehingga p2(9,2) = 0,6762 + 0,2266(9,2) – 0,0064(9,2)2 = 2,2192
InterpolasiKubik • Misaldipergunakanempattitikdata (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2), dan(x3,y3) • Polinomygmenginterpolasi polinomkuadrat p3(x) = a0 + a1x + a2x2+ a3x3 …………(1) • Polinom p2(x) ditentukandengan: • substitusi (xi,yi) dalampersamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02+ a3x03 = y0 a0 + a1x1 + a2x12+ a3x13 = y1 a0 + a1x2 + a2x22+ a3x23 = y2 a0 + a1x3+ a2x33+ a3x33 = y3 • hitunga0,a1,a2,a3darisistempersamaandiatasdenganmetodeeliminasiGauss
InterpolasiKubik • Polinom p3(x) ditentukandengan: • substitusi (xi,yi) dalampersamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02+ a3x03 = y0 a0 + a1x1 + a2x12+ a3x13 = y1 a0 + a1x2 + a2x22+ a3x23 = y2 a0 + a1x3+ a2x33+ a3x33 = y3 • hitunga0,a1,a2,a3darisistempersamaandiatasdenganmetodeeliminasiGauss • Substitusikandengapersamaan p3(x)
Dengancara yang sama, bisadibuatpolinominterpolasiberderajatnuntukn yang lebihtinggi pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn • Polinom p2(x) ditentukandengan: • substitusi (xi,yi) dalampersamaan (1) diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02+ a3x03 +… +anx0n = y0 a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13+ … +anx1n = y1 a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23+ … +anx2n = y2 a0 + a1x3 + a2x32+ a3x33+ … +anx3n = y3 …. …. … a0 + a1xn+ a2xn2+ a3xn3+ … +anxnn= y3 • hitunga0,a1,a2,a3,…,andarisistempersamaandiatasdenganmetodeeliminasiGauss • Substitusidengapersamaanpn(x)
Polinom Lagrange • Interpolasiinidigunakanuntukmencaridependen variabley = f(x)pada intermediate value diantarax yang diberikan