Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor

1. MetodeNumerikAnalisaGalat & Deret Taylor TeknikInformatika-Unitomo Anik Vega Vitianingsih

2. TEORI KESALAHAN (GALAT) • Penyelesaiannumerikdarisuatupersamaanmatematikhanyamemberikannilaiperkiraan yang mendekatinilaieksak (yang benar) daripenyelesaiananalitis • Penyelesaiannumeriktersebutterdapatkesalahan (galat) terhadapnilaieksak • KeandalansuatunilainumerikdapatditandaimemakaikonsepAngkaBenayaituangka yang dapatdipergunakandenganpasti.

3. Angka ini diperoleh dari sejumlah angka tertentu ditambah dengan satu taksiran. Konsep angka bena mempunyai dua terapan yaitu : • Kriteria untuk memerinciseberapa jauh hampiran (aproksimasi) tersebutdapat dipercaya. • Tidak menyatakan bilangan tertentu seperti p, e, atau Å7 secara eksak memakai sejumlah berhingga bilangan. • Contoh : Å7 = 2,645751311…..

4. KesalahanBawaan • Merupakankesalahandarinilaidata • Kesalahanterjadikarenakekeliruandalammenyalindata • Kesalahandalammembacaskala • kesalahankarenakurangnyapengertianmengenaihukum - hukumfisikdari data yang diukur • KesalahanPemotongan • Kesalahanterjadikarenatidakdilakukannyaperhitungansesuaidenganprosedurmatematik yang benar Macam – macamkesalahan

5. KesalahanPembulatan • kesalahanterjadikarenatidakdiperhitungkannyabeberapaangkaterakhirdarisuatubilangan • Bilanganperkiraandigunakansebagaipenggantibilanganeksak • Suatubilangandibulatkanpadaposisike n denganmembuatsemuaangkadisebelahkanandariposisitersebutnol, sedangangkapadaposisike n tersebuttidakberubahataudinaikkansatu digit yang tergantungapakahnilaitersebutlebihkecilataulebihbesardarisetengahdariangkaposisiken

6. Pengabaian diluar angka bena yang terjadi karena kesalahan – kesalahan tersebut dikenal dengan galat. Galat terbagi menjadi : 1. Galat pembulatan (untuk menyatakan bilangan eksak) 2. Galat pemotongan (untuk menyatakan prosedure matematis).

7. Galatyang berhubungandenganperhitungan / pengukurandicirikan: • ketelitian(merupakannilaisejati yang dihitung) • ketepatan(merupakanbanyaknyaangkabena yang menyatakansuatunilaiatausebarandalamperhitunganberulangataupengukurannilai yang teliti) sehingga : Nilai sejati = aproksimasi + galat (Et) Dimana : Et = galat sejati = Nilai sejati – aproksimasi

8. galat % ( e = x 100 % Galatrelat if ) nilai • Dimana: • t : nilaisejati • a : aproksimasi • Ea : galataproksimasi • aproksimasisekarang – aproksimasisebelumnya

9. Deret Taylor • Mrk penyelesaianpersamaanDiferensial • Jikasuatufungsi ƒ(X) diketahuidititikXidansemuaturunandari ƒ terhadapX diketahuipadatitiktersebut deret Taylor dinyatakannilai ƒ padatitikXi+1 yang terletakpadajarak ∆XdarititikXi .

10. 1. Memperhitungkan satu suku pertama(order 0) 3. Memperhitungkantigasukupertama (order 2) 2. Memperhitungkan dua suku pertama (order 1) 4. IterasiakanberhentijikaRn=0

11. y order 2 order 1 order 0 x i+1 i

12. Persamaanderet Taylor: Ket: ƒ(Xi) : fungsidititik1 ƒ(Xi+1) : fungsidititik i+1 ƒ’, ƒ’’ … ƒn : turunanpertama, kedua,…,ke n ∆X : jarakantaraƒ(Xi)danƒ(Xi+1) Rn : kesalahanpemotongan ! : operatorfaktorial

13. c/: Diketahuiseuatufungsi: denganmenggunakanDeretTaylorpadaorderberapa,hasilpenyelesaiannumeriksamadenganpenyelesaianeksak? dimanaorder0,1,2dan3perkiraanfungsitersebutpada titik xi+1=1& titikxi+1=1beradapadajarak=1darititikx=0. Jawab: f(0)=0.5 f(1)=1.5

14. Untukorder0: f(xi+1)=f(xi)f(0+1)=f(0)f(1)=0.5 Kesalahanpemotongan: Rn=1.5–0.5=1 Untukorder1: f(xi+1)=f(xi)+f’(xi) ∆X/1! f(0+1)=0.5+()1 =0.5(0.75(0)+0+0.25 =0.75 Kesalahanpemotongan Rn=1.5–0.75=0.75

15. UntukOrder2: f(xi+1)=0.5+0.25*1+1*(1/2)(1/2) =1.25 Kesalahanpemotongan: Rn=1.5–1.25=0.25 UntukOrder3: f(xi+1)=0.5+0.25+0.5+0.25 =1.5 Kesalahanpemotongan: Rn=1.5–1.5=0(terbukti)

16. Algoritma: Tentukan order darideret Taylor Masukkannilai x0 kedalamrumusderet Taylor Gabungkansemuaperhitungan deret Taylor - looping sebanyaki=0; i= ƒ(Xi+1) - if (i==0) Rn=ƒ(x) else if ((i+1)%2==0) Rn=0 else if ((i+1)%2!=0 && (i+1)!=1) Rn=i