Géométrie en SEGPA 2 séances : 12 janvier + 8 mars objectif :

1. Géométrie en SEGPA 2 séances : 12 janvier + 8 mars objectif : En appui sur les programmes du collège, il s'agira de construire des situations d'apprentissages géométriques prenant en compte les éléments didactiques et pédagogiques spécifiques à l'enseignement de la géométrie. Thierry Dias janvier 2007

2. séance 1 Faire de la géométrie en SEGPA : apprentissages et difficultés apports formateur (diaporama) + illustrations (mise en situations) un exemple de mise en œuvre : les situations de communication séance 2 La géométrie dynamique : la valeur ajoutée de l'outil informatique Présentation des outils logiciels Mise en situation : construire un fichier de géométrie (la figure et son programme) Thierry Dias janvier 2007

3. La géométrie • géo : la terre • metrikos : mesure Thierry Dias janvier 2007

4. L ’école élémentaire contenus des textes officiels espace géométrie repérage orientation relations et propriétés solides figures planes compétences et savoirs : mathématiques compétences et savoirs : pluri-disciplinaire Thierry Dias janvier 2007

5. deux géométries : empirique et théorique référence aux travaux de Salin et Berthelot L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement : d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sontcontrôlés par la perception à une géométrie où ils le sontpar explicitation de propriétés et recours à des instruments. Thierry Dias janvier 2007

6. deux géométries : empirique et théorique de je vois à je sais du dessin à la figure de l'objet au concept Thierry Dias janvier 2007

7. d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique illustration : Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? Thierry Dias janvier 2007

8. L ’école élémentaire retour aux textes officiels Les activités du domaine géométrique : ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles, utiles pour résoudre des problèmesdans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. Thierry Dias janvier 2007

9. L ’école élémentaire programmes : progression Les apprentissages se déroulent de manière continue de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivement mis en place. Le principe est de partir du réel (et donc d’objets matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans l’espace. Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un début d’apprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures. Thierry Dias janvier 2007

10. L ’école élémentaire Structuration de l'ensemble des concepts :aspects notionnels Vergnaud • Objets : • point, droite, segment, angle, milieu • carré, rectangle, losange, parallélogramme, triangles, cercle • cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet • Relations : alignement, égalité de longueurs, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale • Mesures : longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du rectangle, longueur du cercle. Thierry Dias janvier 2007

11. en SEGPA : garder des exigences fortes en appui sur les programmes du collège l'adaptation doit principalement porter sur l'organisation des situations , sur l'étayage de l'enseignant et pas sur les contenus. Thierry Dias janvier 2007

12. Le collège FIGURES PLANES Propriétés des quadrilatères et des triangles usuels. Reproduction, construction de figures usuelles, de figures complexes. Médiatrice d’un segment. Bissectrice d’un angle. Cercle. Vocabulaire et notations. Parallélogramme (propriétés caractéristiques) Caractérisation angulaire du parallélisme. Triangle : somme des angles, construction et inégalité triangulaire, cercle circonscrit, médianes et hauteurs. Triangles : milieux et parallèles. Triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes. Triangle rectangle : théorème de Pythagore et sa réciproque, cosinus d’un angle aigu, cercle circonscrit. Distance d’un point à une droite. Tangente à un cercle. Bissectrices et cercle inscrit. Triangle rectangle : relations trigonométriques. Théorème de Thalès et sa réciproque. Angle inscrit, angle au centre. Polygones réguliers. 6° 5° 4° 3° Thierry Dias janvier 2007

13. Le collège TRANSFORMATIONS Symétrie orthogonale par rapport à une droite Construire le symétrique de différents objets Symétrie centraleConstruire le symétrique de différents objets Agrandissement et réduction Images de figures par une translationTranslation etvecteur, égalité vectorielleImages de figures par une rotation. 6° 5° 4° 3° Thierry Dias janvier 2007

14. Le collège GRANDEURS ET MESURES Longueurs, masses, durées : comparaison, calcul, changements d'unitésAngles : comparaison, rapporteurAires : mesure, comparaison et calcul d’aires (figures élémentaires)Volume du parallélépipède rectangle : approche et calculs simplesLiaisons unités de volume et de contenance, changements d'unités Longueurs, masses, durées : calculsAngles (mesure)Aires : parallélogramme, triangle, disque, changements d'unitésVolumes : prisme, cylindre de révolution Calculs d’aires et volumes (pyramide et cône)Grandeurs quotients courantes, vitesse moyenne Aire de la sphère, volume de la bouleEffet d’une réduction, d’un agrandissement sur des aires, des volumesGrandeurs composées (changement d’unités) 6° 5° 4° 3° Thierry Dias janvier 2007

15. L ’école élémentaire quatre mots-clés (types de tâches) : • Reproduire: des figures, y compris la réalisation pratique de solides • Décrire: des figures, pour les identifier ou les représenter • Représenter: notamment des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons • Construire: des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas Thierry Dias janvier 2007

16. Le collège cinq mots-clés (types de tâches) : Reproduire Réaliser une copie de l’objet à l’identique. L’élève doit : analyser la figure, mobiliser les propriétés de la figure pour définir une chronologie des tracés, faire un choix d’instruments, mettre en place des contrôles. Compléter Une partie de la figure est déjà reproduite, l’élève doit poursuivre la reproduction. Il doit pour cela, en plus des compétences sollicitées pour reproduire une figure, identifier les éléments déjà reproduits. Construire A partir d’un programme de construction. L’élève doit maîtriser : le vocabulaire et sa signification, les propriétés des objets, la syntaxe spécifique de la géométrie, le code dans le cas d’un schéma A partir d’un schéma coté. L’élève doit : connaître les conventions de codage, analyser une figure, distinguer la figure du dessin Thierry Dias janvier 2007

17. Le collège cinq mots-clés (types de tâches) : Représenter,dans le cas d’un objet de l’espace. L’élève doit alors : faire abstractions de certaines propriétés de l’objet, connaître les conventions Décrire Pour reconnaître une figure parmi d’autres. L’élève doit : identifier les caractéristiques des figures, maîtriser le vocabulaire Pour reproduire une figure. L’élève doit : analyser la figure, communiquer les différentes étapes de la construction, ce qui nécessite de définir une chronologie, de choisir le vocabulaire adapté, de se décentrer pour contrôler que le message est recevable par un tiers. Thierry Dias janvier 2007

18. Où se trouvent les principales difficultés des élèves... de l’école au collège : une transition difficile ? Deux modes de construction des connaissances qui peuvent s’opposer : • 1. Un mode de type empirique basé sur l’intuition et l’expérimentation • géométrie science expérimentale • 2. Un mode de type théorique s’appuyant sur la déduction et qui trouve son aboutissement dans la démonstration • géométrie platonicienne Thierry Dias janvier 2007

19. Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Dans le mode de type empirique Ceci est un carré… et un carré n’est pas un rectangle ! Dans le mode de type théorique Les propriétés de cette figure (4 angles droits, 4 côtés isométriques) définissent un carré… et un carré est aussi un rectangle !! Thierry Dias janvier 2007

20. Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Dans le mode de type empirique Les problèmes spatiaux relèvent d’une solution validée empiriquement. Dans le mode de type théorique Les problèmes de géométrie relèvent d’une solution prouvée mathématiquement. Thierry Dias janvier 2007

21. Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Pour aider les élèves à franchir cette difficulté, il faut aménager des situations dans lesquelles on permet aux élèves de faire progressivement la différence entre : réalité spatiale et modèle géométrique Thierry Dias janvier 2007

22. Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? En instaurant une transition entre ces deux modes de construction des connaissances : l’utilisation des instruments. monde réel - outils perceptifs : la vue, le toucher espace spatio-géométrique - outils d ’aide à la perception : les instruments espace géométrique - outil de validation : la théorie Thierry Dias janvier 2007

23. donc... • Pour quoi enseigner la géométrie : • 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement • 2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace • 3. Apprendre aux élèves à raisonner • Comment enseigner la géométrie : • 1. Mettre en œuvre des situations de recherche • 2. Mettre en œuvre des situations de communication • 3. Faire une place aux nouvelles technologies • 4. Lier la géométrie aux autres disciplines Thierry Dias janvier 2007

24. Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication • Analyser, reproduire et décrire une figure • Donner du sens à un programme de construction Thierry Dias janvier 2007

25. La spécificité du vocabulaire mathématique est assez rebutante. Par ailleurs dès lors que sont abordées des tâches de construction ou d’argumentation la précision des termes employés, des arguments proposés (nécessaires et suffisants), leur structuration (chronologie ou enchaînement discursif) paraissent souvent arbitraires aux élèves. Pour autant le langage est indissociable de l’action (ainsi verbalise-t-on des actions peu familières). Au delà de toute ambition géométrique, on ne peut donc se satisfaire de la difficulté à verbaliser certaines actions simples. Thierry Dias janvier 2007

26. Rédaction de programmes de construction de figures géométriques qui seront reconstruites par des tiers. D’abord activité en groupe avec une planification hebdomadaire. Les groupes ont pour charge de reproduire les figures puis de se mettre d’accord sur un programme. L’enseignant intervient beaucoup comme médiateur et pour apporter une aide sémantique. Les programmes lus à haute voix sont enregistrées dans chaque groupe . Lors de la réécoute la nécessité de les reformuler apparaît. Une aide tutorielle sur les propriétés et les caractéristiques des figures en jeu est fournie. Les programmes sont communiqués à une autre classe de SEGPA . Thierry Dias janvier 2007

27. Organisation 1 : une seule figure par binôme E/R Dans un premier temps, les élèves élaborent un message écrit (sans dessin), qu’ils transmettent pour exécution à leur correspondant. Dans un second temps, les récepteurs réalisent la production demandée par leur camarade. En cas d’ambiguïté, ils peuvent poser une question aux émetteurs mais par écrit. Dans un troisième temps, émetteurs et récepteurs appariés, se réunissent pour comparer avec l’attendu, débattre des différences et écrire deux messages définitifs qu’ils donnent à l’enseignant*. * Celui-ci peut alors, soit organiser un débat collectif pour valider les messages, soit évaluer chaque message avec le groupe réalisateur de la dernière mouture. Thierry Dias janvier 2007

28. Organisation 2 : deux figures simultanées (une différente pour chaque binôme E/R) • temps 1 : travail en binôme : observation de la figure, reproduction de la figure, description par un message • temps 2 : travail en binômes : échanges des messages : lecture de la description écrite, construction de la figure • temps 3 : mise en commun par regroupement de binômes : comparaison des figures et conclusions sur les écrits, si des différences sont importantes, on peut essayer de corriger le message écrit en tenant compte de ces différences • temps 4 : mise en commun collective : difficultés et réussites rencontrées, dégagement par l'enseignant des invariants (ce qui fonctionne bien), institutionnalisation Thierry Dias janvier 2007

29. Un exemple de séquence A/ règle + équerre : 2 séances B/ règle + équerre + compas : 2 séances Thierry Dias janvier 2007

30. A/ Règle + équerre séance 1 objectif : permettre de découvrir que ce sont les propriétés qui fondent les caractéristiques des polygones particuliers que sont le carré et le rectangle et non pas leur forme. propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle droit. Thierry Dias janvier 2007

31. mots interdits pour les émetteurs : carré, rectangle remarque : l'enseignant veille bien à proposer les figures de façon inclinées afin d'éviter la position prototypique. Thierry Dias janvier 2007

32. séance 2 objectif : prendre conscience que l'orientation d'une figure ne change pas ses propriétés, mais que le programme de construction peut s'en trouver changé. propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle droit, milieu d'un segment, éventuellement diagonales Thierry Dias janvier 2007

33. remarque : même figure, même dimension, mais orientation différente Thierry Dias janvier 2007

34. B/ Règle + équerre + compas séance 3 objectif : découvrir des constructions de figure à partir d'un carré propriétés travaillées : milieu d'un segment; arc de cercle, centre d'un cercle, éventuellement diamètre et rayon d'un cercle Thierry Dias janvier 2007

35. remarque : même base carrée (visible ou non au choix) Thierry Dias janvier 2007

36. séance 3 bis remarque : ces figures peuvent être données en même temps que celles de la séance 3 lors d'un séance plus différenciée Thierry Dias janvier 2007

37. Un exemple de projet de constitution d'un fichier de géométrie. Thierry Dias janvier 2007

38. Une classe de 6ème du collège de la Grange du Bois et les classes de CM2 se sont lancées un défi dans le domaine de la géométrie. Les fiches proposées ont été élaborées par les élèves... http://perso.orange.fr/ecole.pierre.brossolette/geompr.html Thierry Dias janvier 2007

39. Trace un cercle de 8 cm de diamètre. Nomme le centre I. Trace verticalement un segment qui passe par I, nomme-le AB. Trouve le milieu du segment AI et nomme-le E. Mets la pointe de ton compas sur E et la mine sur A. A gauche, trace un demi-cercle. Trouve le milieu du segment BI et nomme-le F. Mets la pointe de ton compas sur F et la mine sur B. A droite, trace un demi-cercle. Maintenant, efface le segment AB et tous les points. Colorie l'un des pétales en noir. Thierry Dias janvier 2007

40. Thierry Dias janvier 2007

41. Thierry Dias janvier 2007

42. D E F A B C H G J K L M Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser Thierry Dias janvier 2007

43. ConceptsVERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170 • "Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S) • S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la référence) • I : ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationalité des schèmes (le signifié) • S : ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)" Thierry Dias janvier 2007

44. BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole primaire, Grand N n°53 (p. 39-56), IREM de Grenoble, 1994 BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, Grand N n°56 (p. 69-116), IREM de Grenoble, 1995 BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001 IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000 HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999 Thierry Dias janvier 2007