Retour sur la notion de taux d’intérêt

Retour sur la notion de taux d’intérêt Taux d’intérêt composés actualisation

1. Taux d’intérêt réel / nominal

Supposons que je prête 100€ pour un an… X1=X0+X0 x i X1 = X0 (1+i) Avec i=5%=5/100=0,05 • Le taux d’intérêt est de 5 % • Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par… Les prix ont été multipliés par 1,03, la valeur de la monnaie a été divisée par 1,03 1,05 • L’inflation est de 3 % • Donc la valeur de l’euro aura été divisée par… 1,03

En prêtant 100€ me suis-je vraiment enrichi de 5 % ? • On m’a remboursé 5% d’euros en plus : je suis 1,05 fois plus riche. X1 en euros constants / x0 = 101,94/100 = 1,0194 • Mais ces euros se sont dépréciés de 3% : ils valent 1,03 fois moins Au total on m’a remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94 • Donc le taux d’intérêt est en réalité de… 1,94%

Rappelez la définition du taux d’intérêt réel et du taux d’intérêt nominal : internet • Quel est le taux d’intérêt réel dans l’exemple précédent ? Tx nominal – Tx d’inflation = 5-3 = 2% • Que signifie un taux d’intérêt réel négatif ? Tx nominal < Tx d’inflation

Retenons la formule(approximative) Tx d’int. réel (ir) =Tx d’int. nominal (in) – tx d’inflation (t) Etes vous capable d’écrire la formule rigoureuse ? ir=[(1+in)/(1+t)] - 1

Quizz… • L’inflation favorise… lescréanciers lesdébiteurs • Quand les anticipations d’inflation sont fortes les prêteurs vont proposer… des taux plus élevés des taux plus bas

2. Taux d’intérêt composés

Supposons le taux d’intérêt égal à 3% • Je prête 100 euros pour une période de 10 ans. (on néglige ici l’inflation) • De quelle somme serai-je remboursé ?

D’où la formule Xn=Xo (1+i)n Avec Xola somme initialement prêtée, Xnla somme rendue après n années, i le taux d’intérêt en vigueur

Compliquons un peu • Je prête 200 € pour 12 ans • Le taux d’intérêt nominal est de 6% • Le taux d’inflation moyen est de 2% • Combien aurai-je gagné en € courants ? en € constants ?

En euros courants La somme rendue sera égale à 200 x (1+0,06)12 = 402,44 Remarquons au passage qu’un taux d’intérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroit la somme, non pas de 6x12= 72 % mais de 101,22 %

En euros constants Première méthode (rigoureuse) Calculons rigoureusement le taux d’intérêt réel Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06 Mais la valeur de l’euro est divisée par 1,02 1,06 / 1,02 =1,0392 (taux d’intérêt réel = 3,92 %) 200 x 1,0392 12 = 317,32 €

En euros constants Deuxième méthode (approximative) Calculons approximativement le taux d’intérêt réel Taux d’intérêt réel = taux d’intérêt nominal – taux d’inflation = 6% - 2% = 4% 200 x 1,04 12 = 320,21 €

En euros constants Troisième méthode (rigoureuse) Puisqu’on me rembourse 402,44 € en euros courants Je n’ai qu’à les ramener à des euros constants Le résultat est le même qu’avec la première méthode Les prix ont été multipliés par 1,02 12 Le pouvoir d’achat de l’euro a été divisé par 1,02 12 402,44 / 1,02 12 = 317,32 €

3. Actualisation

Supposons que je prête 100 euros à 3% pour 10 ans (en négligeant l’inflation) • Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par… 1,0310=1,34 • Inversement si on me propose de me verser 134 € dans 10 ans… • A combien suis-je prêt à renoncer aujourd’hui pour cela ? 100 €

Par le biais des intérêts, une somme actuelle est multipliée dans n années par (1+i)n • Donc pour calculer la valeur actuelle d’une somme perçue dans l’avenir on la divise par (1+i)n

C’est la même opération inversée multiplier par(1+i)n somme dans n années somme actuelle diviser par(1+i)n

Un investissement va rapporter… • 10000 euros l’an prochain • 15000 euros l’année suivante • 8000 euros l’année d’après • et c’est tout. • Quel est le montant qu’on peut y engager si le taux d’intérêt est de 7% ?

Actualisons le revenu futur • 10000 € l’an prochain = 10000 / 1,07 aujourd’hui • 15000 € dans deux ans = 15000 / (1,07)2 aujourd’hui • 8000 € dans 3 ans = 8000 / (1,07)3 aujourd’hui 10000 / 1,07 + 15000 / (1,07)2 + 8000 / (1,07)3 = 28977,76

Que signifie ce résultat ? • La valeur actualisée des annuités futures de ce projet représente 28977,76 € • Si j’avais 28977,76 € et que je les plaçais au taux d’intérêt courant (7%) je pourrais obtenir 10 000 dans un an, 15 000 dans deux ans et 8000 dans 3 ans (en retirant progressivement les fonds placés) • Et cela, sans rien faire ni courir de risque Moins, car la valeur actualisée des annuités futures diminue quand le taux d’intérêt augmente. Et si le taux d’intérêt augmentait, serais-je prêt à y engager plus ou moins de fonds ? Il n’est donc pas rationnel d’engager plus de 28 977, 76 € dans ce projet.

Quizz… • Si le taux d’intérêt augmente une somme future représente en valeur actualisée…  plus qu’avant moins qu’avant • Plus le taux d’intérêt est élevé, plus les agents économiques préfèrent les revenus actuels aux revenus futurs préfèrent les revenus futurs aux revenus actuels 

Quizz… • Si le taux d’intérêt diminue, un titre qui rapporte 1000€ par an vaudra Quand les taux baissent les cours des obligations augmentent Quand les taux augmentent les cours des obligations baissent  plus cher qu’avant moins cher qu’avant Ce principe gouverne l’évolution du marché obligataire : les obligations sont des titres de créances porteurs d’un intérêt fixe.

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