Modeliranje kinetike razširjanja radiofarmacevtikov pri slikanju s pozitronsko tomografijo

1. Modeliranje kinetike razširjanja radiofarmacevtikov pri slikanju s pozitronsko tomografijo Urban Simončič mentor: doc. dr. Robert Jeraj

2. Kaj sploh je pozitronska tomografija • PET; Positron Emission Tomography • Biomedicinska slikovna tehnika za določanje metaboličnih parametrov in vivo • Molekularno in funkcionalno slikanje • Slikamo fiziološke in molekularne procese • Nasprotje anatomskemu slikanju, kjer slikamo strukturo oziroma gostoto (elektronsko, protonsko)

3. Kaj sploh je pozitronska tomografija • PET; Positron Emission Tomography • Lokalna sprememba fizioloških parametrov je značilna za: • Rak, Infarkt, Alzheimerjevo bolezen, Parkinsonovo bolezen, … • Onkologija, kardiologija, nevrologija

4. Kako poteka preiskava s PET • Produkcija radioizotopov • Pozitronski sevalec • Sinteza radiofarmacevtikov • Biološko aktivna spojina • Vnos v pacienta • Praviloma vbrizg • Fiziološka pot po telesu • Slikanje 3D porazdelitve

5. Kako poteka slikanje s PET • Slikanje • Detekcija koincidenčnih žarkov  • Rekonstrukcija 3D slike • Statično slikanje • Iz vseh koincidenčnih dogodkov rekonstruiramo eno samo 3D sliko • Dinamično slikanje • Proces slikanja razdelimo na več časovnih oken • Rekonstruiramo zaporedje 3D slik

6. Kaj dobimo kot rezultat slikanja • Rezultat slikanja • Aktivnost na volumsko enoto • Odvisnost od kraja in časa • Povezava med sliko in fiziološkimi parametri • Odvisna od uporabljenega radiofarmacevtika • Sliko moramo še interpretirati • Modeliranje razširjanja radiofarmacevtika

7. Karakteristike radiofarmacevtikov • Prek ožiljaserazširja po telesu • Prek kapilar se razširja vmedcelični prostor in od tam v celice • Povsod lahko prihaja do kemijskih interakcij radiofarmacevtika z okolico • Kemijsko spremenjen radiofarmacevtik ima drugačno fiziološko pot

8. Karakteristike radiofarmacevtikov • Radiofarmacevtik je zasnovan tako, da pove nekaj o študiranem fiziološkemprocesu • Radiooznačena verzija naravne biološke spojine (npr. z 11C zamenjan ogljikov atom v neki spojini) • Analognaravne biološke spojine (npr. hidroksilna skupina je zamenjana s 18F) • Povsemizvirna bioaktivna spojina (npr. radiooznačena zdravilna učinkovina).

9. Vnos radiofarmacevtika v tkivo • Enostavna kinetika • En parameter relativno natančno ocenimo s statičnim slikanjem • Zapletena kinetika • Posnamemo dinamičnoPET sliko • Modeliramo razširjanja radiofamacevtika po telesu (nekaj prostih parametrov) • Prileganje modela meritvam z optimizacijo prostih parametrov

10. Modeliranje razširjanjaradiofarmacevtikov • Razširjanja na makroskopskem nivoju ne modeliramo • Izmerimo časovno odvisnost aktivnosti krvne plazme • Privzamemo enako plazemsko aktivnost po celotnem krvnem obtoku • Modeliramo prehod radiofarmacevtikov iz kapilar v tkivo

11. Modeliranje prehoda iz kapilar v tkivo • Vhodni podatki za model • Časovna odvisnost plazemske aktivnosti • Kinetični (fiziološki) parametri • Rezultat modela • Časovna odvisnost aktivnosti tkiva

12. Inverzno modeliranje • Kinetični parametriniso znani • Časovna odvisnost aktivnosti tkiva je znana • Problemobrnemo • Iščemooptimalne parametre • Model naj najbolje ustreza meritvam

13. Modeliranje prehoda iz kapilar v tkivo • Več različnih pristopov • Vsi pristopi predpostavljajo ohranitev mase • Stohastično(neoddelčno) modeliranje • Zelo malo osnovnih predpostavk o fiziološki potiradiofamacevtika • Omogoča določitev nekaj preprostih fizioloških parametrov • Distribuirani modeli • Zelo natančen opis fizične lokacijo in kemijskega stanja radiofarmacevtika ter gradientov koncentracij • Oddelčno modeliranje • Srednje kompleksen pristop • Definira nekajdetajlov glede fiziološke poti radiofarmacevtika • Ne definira gradientov koncentracij

14. Oddelčno modeliranje Opazovani sistem razdelimo na množico makroskopskihpodsistemov (oddelkov)

15. Oddelčno modeliranje • Oddelek je lahko • Radiofarmacevtik v določenem fizičnem prostoru, omejenimz membranami • Specifična kemijska forma radiofarmacevtika • Za oddelek predpostavljamo • Homogenost znotraj oddelka • Znane interakcije med oddelki in z okoljem

16. Oddelčno modeliranje - enačbe • Predpostavimo prehode prvega reda • Prehode opišemo z naslednjimi enačbami • cj trenutna koncentracija radiofarmacevtika v j-tem oddelku • ij vhodnafunkcija j-tega oddelka • kj sorazmernostni koeficient, ki opisuje vhod radiofarmacevtika v oddelek • kij parametri interakcij med oddelki.

17. Oddelčno modeliranje - rešitev • Načeloma lahko tak sistem rešimo analitično • Pri nekoliko bolj zapletenih sistemih je rešitevprecej zapletena • Če je preveč prostih parametrov je model nestabilen ali celo nedoločen • Moramo smiselno združiti več oddelkov v enega • V splosnem združimo skupaj tiste oddelke, ki so med seboj dobrosklopljeni (tj., imajo veliko sklopitveno konstanto)

18. Slikanje celične proliferacije • Slikamo jo z FLT • Sfluorom 18F označen timidin (zamenjana OH skupina) • Timidin se porablja pri sintezi DNK • Ne porablja se pri sintezi RNK (kot A, G, C) Fluorotimidin – FLT (3’-deoksi-3’-[18F]fluorotimidin)

19. Fiziološka pot FLT • V začetku enakafiziološki poti timidina • V celici najprej fosforilira s pomocjo encima TK1 • Timidin-trifosfat gre naprej po sintetični poti za DNK • Fiziološka pot za FLT pa se po trikratni fosforilacijiustavi in FLT-trifosfat ostane ujet v celici. • Timidin se lahko razgradi v vodo in CO2, FLT pa ne!

20. Oddelčni model za FLT • Dva oddelka in dva pomembna procesa • Prehod iz ožilja v tkivo • Fosforilacija v tkivu • Prvi oddelek predstavlja kemijsko nespremenjen FLT v tkivu • Drugiodelek predstavlja fosforiliran FLT v celici

21. Oddelčni model za FLT • Enačbe veljajo za koncentracije radiofarmacevtikov • Merimo jih posredno, prek aktivnosti • Enačbam moramo dodati člen za eksponentnopadanje specifične aktivnosti

22. Oddelčni model za FLT • Enačbe veljajo za koncentracije radiofarmacevtikov • Merimo jih posredno, prek aktivnosti • Enačbam moramo dodati člen za eksponentnopadanje specifične aktivnosti

23. Analitična rešitev modela • Sistem kinetičnih enačb rešimo z uporabo Laplaceove transformacije • Po transformacijidobimo algebrajske enačbe ce, cm in if so Laplaceove transformiranke prvotnih funkcij!

24. Analitična rešitev modela • Po preureditvi algebrajskih enačb dobimo:

25. Analitična rešitev modela • Po preureditvi algebrajskih enačb dobimo: S faktorjema a1 in a2 zgolj poenostavimo zapis enačb.

26. Analitična rešitev modela • Nazadnje dobimo sledečo rešitev:

27. Analitična rešitev modela • Inverzno Laplaceovo transformacijo naredimo z upoštevanjem nekaj pravil zanjo Z znakom  smo označili konvolucijo.

28. Analitična rešitev modela • Aktivnosti za oba oddelka seštejemo, ker ju ne moremo meriti ločeno

29. Delež ožilja v tkivu • S pozitronskim tomografom • Ne merimo aktivnosti v posameznih oddelkih • Merimo povprečno aktivnost v volumskih elementih

30. Delež ožilja v tkivu • Volumski element sestavlja • Tkivo ce(t) in cm(t) • Ožilje ib(t); njegov delež je vb

31. Delež ožilja v tkivu • Volumski element sestavlja • Tkivo ce(t) in cm(t) • Ožilje ib(t); njegov delež je vb • S pozitronskim tomografom izmerjena aktivnost je ib…celotna aktivnost ožilja!

32. Metabolizem FLT-ja v krvi • Do razlike med celotno aktivnostjo ožiljaib in aktivnostjo krvne plazmeif prihaja zaradi metabolizma FLT-ja v ožilju • To razliko lahko preprosto zanemarimo • Lahko vzamemo populacijsko povprečje za časovno odvisnost razmerja med ib inif • Lahko vzorčimo kri ter naredimo kemijsko analizo

33. Meritev aktivnosti tkiva s PET • Oddelčni model napove trenutno koncentracijo • PETpa ne meri trenutne koncentracije • PET meri časovno povprečje v nekem časovnem oknu (od t1 do t2) • Zato moramonapoved modela integrirati

34. Meritev aktivnosti tkiva s PET • Denirajmo integralske koncentracije

35. Meritev aktivnosti tkiva s PET • Vstavimo sedaj integralske koncentracije v kinetične enačbe za oddelčni model

36. Meritev aktivnosti tkiva s PET • Kinetične enačbi integriramo po času • Upostevamo, da so ob času t = 0vse koncentracije enake nič • Dobimo sistem enačb, ki je identičen originalnemu sistemu kinetičnih enačb • Tak sistem ima identično obliko rešitev

37. Meritev aktivnosti tkiva s PET • Tako lahko zapisenačbe za izmerek pozitronskega tomografa poenostavimo • Ta zapis bistveno pohitri izračun napovedi za PET izmerke • Integrale v prejšnjem zapisu bi morali računati numerično

38. Optimizacija parametrov • Optimizacijo parametrov za prileganje modela meritvam • Metoda najmanjših kvadratov • Raje začnemo iz bolj osnovnih načel • Izpeljali bomo razširjeno metodo najmanjših kvadratov posebej za naš model

39. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Iščemo zbirko parametrovq, pri kateri je izmerjen časovni potek aktivnosti v tkivu najbolj verjeten • Potrebujemo model za napako posameznih PET izmerkov • Predpostavimo gaussovsko raztresenost izmerkov okrog prave vrednosti • Standardna deviacija pri PET meritvi je (predpostavka o poissonski porazdelitvi razpadov) yi(q)…napoved modela Dti…dolžina časovnega okna

40. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Verjetnost, da PET izmerek yim pade v interval Dyi okrog modelsko napovedane vrednosti yi(q)

41. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Verjetnost za izmerjeno PET sliko yim ob modelsko napovedani sliki yi(q)

42. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Optimizacijo parametrov ter iskanje najverjetnejše meritve začnemo z logaritemsko transformacijo verjetnosti

43. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • V to enačbo vstavimo naš model za napako meritve (ki je odvisna od prostih parametrov)

44. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Sorazmernostni koeficient kv modelu za napako jeneznan • Poznamo njegovo verjetnostno porazdelitev • Imamo N meritev in M = 6 prostih parametrov • c2je v našem primeru deniran kot

45. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Najbolj verjetna vrednost za c2 je N-M • Od tod lahko ocenimo sorazmernostni koeficient

46. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Najbolj verjetna vrednost za c2 je N-M • Od tod lahko ocenimo sorazmernostni koeficient • Le-tega nesemo v enačbo za verjetnost

47. Razširjena metoda najmanjših kvadratov • Definirajmo novo funkcijo F(q), ki je monotona funkcija verjetnostne gostote • Minimum te funkcije ustreza maksimalni verjetnosti in optimalnim parametrom

48. Testiranje algoritma s simulacijo • PET izmerki generirani z izbranimi parametri • Skenirni protokol povzet po kliničnem protokolu • Vhodni funkciji povzeti iz kliničnih podatkov • Dodan gaussovski šum z različnimi amplitudami • Ocenjeni kinetični parametri in nivo šuma Vhodna funkcija za simulacijo.

49. Rezultati simulacije • Ocenjeni kinetični parametri so zelo blizu pravim vrednostim • Od pravih se vedno razlikujejo precej manj kot je standardna deviacija ocene • Ni opaznega sistemskega zamika od prave vrednosti • Ocene za nivo šuma so blizu pravim vrednostim • Ocenjena vrednost se vedno razlikuje od prave občutno manj kot je standardna deviacija ocene • Ni opaznega sistemskega zamika pri oceni parametrov

50. Zaključek • Kinetiko razširjanja radiofarmacevtikov pri slikanju s PET modeliramo zato, ker tako iz dinamičnih PET slik izluščimo kinetične (~fiziološke) parametre. • V tem seminarju je predstavljena izvedba za PET slikanje celične proliferacije z FLT. • Algoritem za optimizacijo kinetičnih parametrov je preverjen na simuliranih podatkih • Pri taki verifikaciji so znani "pravi" kinetični parametri • Taka verifikacija je relativno enostavna in poceni