Modalna analiza ( angl. Small Signal Stability)

1. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Modalna analiza(angl. Small Signal Stability) PREDMET Dinamični pojavi v EES Urban Rudež Študijsko leto 2013/2014

2. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Uvod Simulacija v časovnem prostoru „Trial-and-error“ Simulacija motnje in opazovanje časovnega poteka veličin sistema Kompleksnost časovnih odzivov (časovni odziv veličin je lahko vsota različnih nihanj) Simulacija v frekvenčnem prostoru Simulacija motnje ni potrebna Lastnosti sistema izvemo preko analize lastnih vrednosti in lastnih vektorjev Sistematično izvedena analiza EES

3. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo „Proetcontra“ Sistematičen pristop k analizi Uporabno za opazovanje majhnih motenj Za vsako stacionarno stanje dovolj en izračun v frekvenčnem prostoru Lineariziran sistem, nekatere elemente je težko linearizirati Postopek je zelo matematične narave (človeku je po naravi bližje analiza v časovnem prostoru) Izračun slabo dušenih oziroma nestabilnih načinov Določitev lokacij optimalne postavitve regulatorjev ali FACTS naprav Izvedba programske opreme za modalno analizo je zapletena Veliki sistemi – izračun zapleten SMISELNO: Izvedba analize kot kombinacijo tako analize v frekvenčnem kot tudi časovnem prostoru.

4. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Linearizacija Taylorjeva vrsta in primerjava členov • LinearDynamicSystem • Residuumiprenosne funkcije Lineariziran dinamični sistem Enačbe stanja x vektor spremenljivk stanja u vektor vhodnih/kontrolnih spremenljivk y vektor izhodnih/opazovanih spremenljivk A matrika stanja B vhodna/kontrolna matrika C izhodna matrika D matrika koeficientov

5. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Lastne vrednosti in lastni vektorji (1) Definicija: Lastni vektor je tisti vektor, ki mu množenje z matriko A ne spremeni smeri (kota), temveč zgolj dolžino. Faktor, za katerega se mu dolžina spremeni se imenuje lastna vrednost. 1. rešitev: x = 0 trivialna rešitev 2. rešitev: (A - λI) = 0 netrivialna rešitev Inverzna matrika (A - λI) -1 ne obstaja v primeru, ko det(A - λI) = 0. n – red sistema Karakteristični polinom λ – realne ali kompleksne vrednosti

6. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Lastne vrednosti in lastni vektorji (2) Desni lastni vektor Levi lastni vektor Realna lastna vrednost – realni lastni vektorji Kompleksna lastna vrednost – kompleksni lastni vektorji Matrična transformacija A in AT imata iste lastne vrednosti Matriki levih in desnih lastnih vektorjev Če AT diagonalna

7. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Časovni odziv (1) Rešitev v Laplace-ovem prostoru • Potrebno za razumevanje fizikalnega pomena lastnih vektorjev in lastnih vrednosti • Zeroinputresponse Zeroinputresponse Zerostateresponse V časovno domeno λj, pj in qj so/vsebujejo kompleksne vrednosti

8. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Časovni odziv (2) Vsota vseh nihajnih načinov • Enačba za i-to spremenljivko stanja xi • Za konjugiran par kompleksnih lastnih vrednosti λk En nihajni način – ustreza λk = σk ± jωk Oscilatorno obnašanje Frekvenca ωk Dušenje σk λk = σk ± jωk Oscilatorni/nihajni način („oscillatory mode“)

9. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Časovni odziv (3) En nihajni način – ustreza λh = σh • Za realno vrednost lastnih vrednosti λh Monotono obnašanje Dušenje σh λh = σh Monotoni način („monotonous mode“)

10. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Pregled λk = σk ± jωk λh = σh • xxx

11. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Fizikalni pomen (1) Izraz „lastna vrednost“ Izraz „način“ Kotna frekvenca Matematični izraz Inženirski izraz • Lastne vrednosti so lahko: • λ = σ ± jω • λ = σ Dušenje Relativno dušenje

12. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Fizikalni pomen (2) • Lastne vrednosti rišemo v kompleksni ravnini • Sklepi • Sistem je stabilen če σ < 0 • Odziv sistema je vsota večjega števila načinov • Desni lastni vektor p Vsebuje informacijo o možnostih opazovanja načina („modeOBSERVALIBITY information“) – SPOZNAVNOST NAČINA. Na kateri spremenljivki je določen način najbolj izrazit, oziroma kje ga je najlepše opazovati. • Levi lastni vektor q Vsebuje informacijo o možnostih vpliva na način („modeCONTROLLABILITY information“) – VODLJIVOST NAČINA. S spreminjanem katere spremenljivke je mogoče na določeni način najbolj vplivati.

13. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Modalna analiza • Osnovni rezultati: lastne vrednosti in lastni vektorji • Nadalje: izpeljava indeksov za analizo • Indeks spoznavnosti načina („Mode observability“) • Indeks vodljivosti načina („Mode controllability“) • Participacijski faktorji • Dušenje: • Absolutno dušenje σ • Časovna konstanta dušenja Tσ • Relativno dušenje ξ Realni del lastne vrednosti Padec amplitude na 37 % začetne vrednosti Analiza nizko-frekvenčnih oscilacij Zaželeno: lastne vrednosti levo od črte ξ= -5 % Nesprejemljivo: lastne vrednosti desno od črte ξ= -3 %

14. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Spoznavnost načina („Mode observability“) MODE SHAPE • Desni lastni vektor p • Relativne vrednosti (množenje lastnih vektorjev s skalarjem!) Izbira izhodnih/opazovanih spremenljivk INDEKSI SPOZNAVNOSTI NAČINA RELATIVNA STOPNJA AKTIVNOSTI POSAMEZNIH SPREMENLJIVK, ČE JE i-TI NAČIN VZBUJEN

15. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Spoznavnost načina - primer y – odstopanja hitrosti generatorjev Način: 0.007 ±j 1.960 (f = 0.312 Hz)

16. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Vodljivost načina („Mode controllability“) • Levi lastni vektor q • Relativne vrednosti (množenje lastni vektorjev s skalarjem!) n motenj za n opazovanih spremenljivk INDEKSI VODLJIVOSTI NAČINA

17. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo „Mode controllability“ primer Dober indeks spoznavnosti ne pomeni nujno tudi dobrega indeksa vodljivosti!

18. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Participacijski faktorji LASTNOSTI • Izračuna se za i-to spremenljivko stanja in j-ti način Kompleksne vrednosti Normiranje OSCILATORNI NAČIN MONOTONINAČIN

19. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Participacijski faktorji - primer

20. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Pregled – modalna analiza Desni lastni vektor p Levi lastni vektor q Participacijski faktor kij MODE OBSERVABILITY MODE CONTROLLABILITY PARTICIPATION FACTORS Elementi pi za λi povedo relativno stopnjo aktivnosti posameznih spremenljivk stanja v vektorju x, če je vzbujen i-ti način. Elementi qi za λi povedo relativen vpliv posameznih spremenljivk stanja v vektorju x na i-ti način. Faktor kij za xi in λj pove amplitudo in kot spremenljivke stanja xipri načinu λj, če je xi vzbujena na vrednost 1. Elementi INDobsi za λi povedo isto, le da za poljubne spremenljivke v vektorju y. Povezava je preko izhodne matrike C. Elementi INDconi za λi povedo isto, le da za poljubne spremenljivke v vektorju y. Povezava je preko izhodne matrike C = B. Vsebujejo informacijo tako levih kot tudi desnih lastnih vektorjev. Ker so v pi in INDobsi relativne (normirane) vrednosti, je primerjava med elementi teh dveh vektorjev nemogoča, saj gre v splošnem za spremenljivke različnega tipa. Ker so v qi in INDconi relativne (normirane) vrednosti, je primerjava med elementi teh dveh vektorjev nemogoča, saj gre v splošnem za spremenljivke različnega tipa. Pri izračunu faktorjev kij se normiranje lastnih vektorjev izniči, zato so kij ustrezni za medsebojno primerjavo različnih tipov spremenljivk.

21. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Matrika prehajanja stanj Φ(t) Silvestrov izrek Razvoj v vrsto, Uporaba Laplaceove transformacije, Metoda Cayley– Hamiltona, Uporaba diagonalne matrike ali Čas

22. Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Laboratorij za preskrbo z električno energijo Implicitne enačbe stanja Spremenljivke stanja • Razširjene ali implicitne (angl. augmented) enačbe stanja Implicitna kontrolna matrika Implicitna matrika stanja Algebraične spremenljivke