1 / 58

PENDAHULUAN

PENDAHULUAN. MATEMATIKA EKONOMI Dr. Luluk Kholisoh. Ruang Lingkup :. Konsep-konsep Dasar, Hubungan Fungsional , Hubungan Nonlinear, Diferensial fungsi, Integral dan Matriks. Sasaran:. Mahasiswa y ang menempuh matakuliah Matematika Ekonomi. Tujuan:

walter-clay
Download Presentation

PENDAHULUAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PENDAHULUAN MATEMATIKA EKONOMI Dr. Luluk Kholisoh

  2. Ruang Lingkup : Konsep-konsep Dasar,HubunganFungsional, Hubungan Nonlinear, Diferensial fungsi, Integral dan Matriks Sasaran: Mahasiswa yang menempuh matakuliah Matematika Ekonomi

  3. Tujuan: Mahasiswa diharapkan mampu memahamiKonsep-konsep Matematika dalam penerapannya pada masalah ekonomi. Kompetensi Lulusan: Mampu menyelesaikan persoalan Matematika permasalahan Ekonomi dan Bisnis.

  4. LITERATUR • Chiang A.C. 1984. Fundamental Methods Of Mathematical Economics. Third Edition. Mc. Graw-Hill Book Inc. New York • Dumairy. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Edisi Kedua belas. BPFE. Yogyakarta • Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia • Suryawati dkk. 2001. Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi YKPN • Weber, Jean E. 1982. Mathematical Analysis: Business and Economics, Aplication, 4th ed. New York: Harper & Row 1982

  5. RENCANA PENILAIAN • Ujian Tengah Semester (UTS) 35 % • Ujian Akhir Semester (UAS)40 % • Tugas Terstruktur 10 % • Kuis10 % • Kehadiran 5 %

  6. MATERI • Himpunan • Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma • Deret dan Fungsi • Fungsi Linier • Fungsi Multivariat • Fungsi Non Linier • Derivatif • Integral • Matriks

  7. SILABUS MATERI HIMPUNAN • Pengertian Himpunan • Penyajian Himpunan • Himpunan Universal dan Himpunan Kosong • Operasi Himpunan • Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

  8. Silabus Materi Sistem Bilangan • Hubungan Perbandingan antar Bilangan • Operasi Bilangan • Operasi Tanda - Operasi Penjumlahan - Operasi Pengurangan - Operasi Perkalian - Operasi Pembagian • Operasi Bilangan Pecahan - Operasi Pemadanan - Operasi Penjumlahan dan Pengurangan - Operasi Perkalian - Operasi Pembagian

  9. Silabus Materi Pangkat, Akar dan Logaritma • Pangkat • Kaidahpemangkatanbilangan • Kaidahperkalianbilanganberpangkat • Kaidahpembagianbilanganberpangkat • Akar • Kaidahpengakaranbilangan • Kaidahpenjumlahanbilanganterakar • Kaidahperkalianbilanganterakar • Kaidahpembagianbilanganterakar • Logaritma - Basis Logaritma - Kaidah-kaidahLogaritma - PenyelesaianPersamaandenganLogaritma

  10. SilabusMateriDeret • Deret Hitung - Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku • Deret Ukur - Suku ke-n dari DU - Jumlah n suku

  11. SILABUS MATERI FUNGSI • Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi • Jenis- jenis fungsi • Penggambaran fungsi Linear • Penggambaran fungsi non linear - Penggal - Simetri - Perpanjangan - Asimtot - Faktorisasi

  12. SILABUS MATERI HUBUNGAN LINEAR • Penggal dan lereng garis lurus • Pembentukan Persamaan Linear - Cara dwi- kordinat - Cara koordinat- lereng - Cara Penggal lereng - Cara dwi- penggal • Hubungan dua garis lurus • Pencarian Akar- akar persamaan linear • Cara substitusi • Cara eliminasi • Cara determinan

  13. SILABUS MATERI HUBUGAN NON LINEAR • Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Menentukan titik maksimum atau minimum permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar - Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan analisis BEP • Fungsi Eksponensial dan aplikasinya - Fungsi ongkos produksi - Perhitungan bunga majemuk

  14. SilabusMateriDiferensial Fungsi Sederhana • Kuosien Diferensi dan Derivatif • Kaidah- Kaidah Diferensiasi • Hakikat Derivatif dan Diferensial • Derivatif dari Derivatif • Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya - Fungsi menaik dan fungsi menurun - Titik ekstrim fungsi parabolik - Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik

  15. SilabusMateriDiferensial Fungsi Majemuk • Diferensial Parsial • Derivatif dari Derivatif Parsial • Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum • Optimisasi Bersyarat - Pengganda Lagrange - Kondisi Kuhn-Tucker • Homogenitas Fungsi

  16. SilabusMateriIntegral • Integral tak tentu • Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu • Integral tertentu • Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu

  17. SilabusMateriMatriks • Pengertian Matriks dan Vektor • Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor • Pengoperasian Matriks dan Vektor • Bentuk- bentuk khas matriks • Pengubahan Matriks

  18. Himpunan Merupakan suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Obyek yang membentuk himpunan disebut anggota/elemen/unsur Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan unsur dilambangkan dengan huruf kecil

  19. Penulisan Matematis p є A A C B A = B p є A A C B A = B

  20. Penyajian Himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing, anjing} A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤ 5} { } atau 0 . Merupakan himpunan kosong. Secara teori, himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun. Notasi U digunakan untuk himpunan universal (yang bersifat besar).

  21. Operasi Himpunan Gabungan (Union): A U B = {x; x є A atau x є B} Irisan (Intersection): A ∩ B = {x; x є A dan x є B} Selisih: A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B} Pelengkap (Complement): A = { x; x є U tetapi x є A} = U- A

  22. 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Matematika Ekonomi 22

  23. Kaidah-kaidah Matematika Kaidah Indempoten: a) A U A = A b) A ∩ A = A Kadiah Asosiatif: a) (A U B) U C = A U (B U C) b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Kaidah Komutatif: a) A U B = B U A b) A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif: a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C) b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)

  24. Kaidah – kaidah Matematika (lanjut) Kaidah Identitas: a) A U 0 = A b) A ∩ 0 = 0 c) A U U = U d) A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan: a) A U A = U b) A ∩ A = 0 c) (A) = A d) U = 0, 0 = U Kaidah De Morgan: ( A U B ) = A ∩ B b) ( A ∩ B) =A U B

  25. Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir S A B • Sifat-sifat gabungan • A U B = B U A  Hukum komutasi • b. A (A U B) dan B (A U B) Matematika Ekonomi 25

  26. Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B Matematika Ekonomi 26

  27. Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩B) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: S B A Matematika Ekonomi 27

  28. Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus Matematika Ekonomi 28

  29. Komplemen A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A’ A Matematika Ekonomi 29

  30. Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A c) A ∩ B d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’ Matematika Ekonomi 30

  31. Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € Matematika Ekonomi 31

  32. Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y} Matematika Ekonomi 32

  33. Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X 1 2 3 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Y Matematika Ekonomi 33

  34. Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y 3 • • • • 2 • • • • 1 • • • • 0 1 2 3 4 X PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar H4 H1 Terdapat 4 himp bag H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg mengerti} H3 = {rajin ttp krg ngerti} H4 = {rajin dan pintar} H2 H3 Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah Matematika Ekonomi 34

  35. Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: Wh = {1, 2, 3} Matematika Ekonomi 35

  36. Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan Dh = { x / x € X} Wilayah hubungan: Wh = { y / y € Y} Matematika Ekonomi 36

  37. SISTEM BILANGAN

  38. SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan 2; -2; 1,1; -1,1 Nyata + dan - Khayal Akar negatip √(-4) = ± 2 Rasional Irrasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan Bulat ½; 2/7 dsb Matematika Ekonomi 38

  39. Penggolongan Bilangan (lanjut) Bilangan nyata dapat positif maupun negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif. Bilangan rasional= bilangan bulat, pecahan terbatas Bilangan irrasional adalah bilangan pecahan yang tak terbatas.

  40. Jenis-jenis Bilangan Lainnya Bilangan asli: bilangan bulat positif tidak termasuk nol Bilangan cacah: bilangan bulat positif atau nol Bilangan prima: bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.

  41. 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Matematika Ekonomi 41

  42. Operasi Bilangan Kaidah Komutatif: a + b = b + a a x b = b x a Kaidah Asosiatif: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a x b ) x c = a x ( b x c ) Kaidah Pembatalan: Jika a + c = b + c jika ac = bc (c = 0) maka a = b maka a = b Kaidah Distributif: a ( b + c ) = ab + ac

  43. Operasi Bilangan (lanjut) Unsur Penyama: a ± 0 = a a x 1 = a a : 1 = a Kebalikan: a + (-a) = 0 a x 1/a = 1

  44. Berbagai Operasi Tanda Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian

  45. Operasi Bilangan Pecahan Operasi Pemadanan a/b = (axc)/(bxc) a/b = (a:c)/(b:c) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Operasi Perkalian (a/x) x (b/y) = (ab)/(xy) Operasi Pembagian: a/b : c/d = a/b x d/c a/b : c/d = x/z : y/z = x/y z = habis dibagi b dan d a/b : c/d = (a/b x z) : (c/d x z)

  46. PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

  47. PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali Contoh: * 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 46 * 100.000 dapat diringkas menjadi 105 * 1/100.000 dapat diringkas menjadi 10-5 * 35.000.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 109 * 4.500.000.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 109 * 0,000.000.34 dapat diringkas menjadi 3,4 x 10-8

  48. Kaidah-Kaidah Pemangkatan Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu x0 = 1 ( x ≠ 0) Contoh: 50 = 1 Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri x1 = x Contoh: 51 = 5 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol 0x = 0 Contoh: 05 = 0 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali (multiplicativeinverse) dari bilangan itu sendiri x-5 = 1/x5 Contoh: 2-5 = 1/25 = 1/32 = 32-1

  49. Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya, sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan Contoh: Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi suku-suku berpangkatnya Contoh:

  50. Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut) Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya (xa)b = xab Contoh: (22)3 = 22x3 = 26 =64 Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya dalam hal ini c = ab Contoh:

More Related