Využití Hilbertovy báze k ověření shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů

1. Využití Hilbertovy báze k ověření shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů Petr Šimeček (MFF UK) Milan Studený (ÚTIA AV ČR)

2. Motivace – podmíněná nezávislost • Nepodmíněná nezávislost: • Diskrétní n.v. • Spojité n.v. • Podmíněná nezávislost: • Diskrétní n.v. • Spojité n.v.

3. Motivace – podmíněná nezávislost N náhodných veličin X1, X2, …, XN a nějaké jejich rozdělení P Seznam všech podmíněných i nepodmíněných nezávislostí mezi nimi

4. Popis PN pomocí seznamu • Seznam musí splňovat určitá pravidla, např. • Tudíž je zbytečné skladovat v paměti celý seznam! • Neexistuje konečný počet pravidel schopný rozhodnout, zda něco je či není seznam. • Seznam je nepřehledný.

5. Popis PN pomocí grafů X1 X2 X3 X4

6. Popis PN pomocí grafů • Výhody: • Názornost, čitelné i pro laika • Každý graf je pravděpodobnostně reprezentovatelný (dokonce diskrétní n.v.) • Nevýhody: • Ne každé rozdělení je reprezentovatelné pomocí grafů (početní argument)

7. Popis PN pomocí imsetů Seznam PN popíšeme pomocí zobrazení z P({1,2,…,N}) do Z Př. pro N=3 (3 náhodné veličiny)

8. Popis PN pomocí imsetů • Nevýhody: • Méně intuitivní, těžší vyčíst nezávislosti • Ne každý imset je reprezentovatelný • Vyšší paměťová náročnost (oproti grafu) • Výhody: • Libovolný seznam PN reprezentovatelný imsetem • Méně paměťově náročné než seznam PN • Grafovou reprezentaci lze na imsety snadno převést

9. Semielementární imsety A,B,C disjunktní podmnožiny {1,…,N}: Semielementárním imsetem rozumíme zobrazení, jež přiřadí 1množinám a -1 množinám a a nulu ostatním prvkům z potenční množiny

10. Semielementární imsety Příklad: N=3, s.e. imset Odpovídající nezávislosti

11. Elementární imsety EN Elementárním imsetem rozumíme zobrazení, jež přiřadí 1množinám a -1 množinám a a nulu ostatním prvkům z potenční množiny, přičemž {i},{j} a C jsou disjunktní podmnožiny množiny {1,…,N}.

12. Příklad - E3

13. Kombinatorické imsetyCN Kombinatorickým imsetem nazveme každou nezápornou celočíselnou kombinaci elementárních imsetů.

14. Strukturální imsetySN Strukturálním imsetem nazveme každou nezápornou reálnou kombinaci elementárních imsetů, jež je imsetem. Zjevně každý kombinatorický imset je i strukturálním imsetem neboli

15. Platí CN = SN ??? Existuje strukturální imset, který by nebyl kombinatorický? Otázku zodpovíme pro N<5, pro jiná N zatím není známa. Tato otázka je klíčovým problémem reprezentace pomocí imsetů.

16. Příklad na to, že by nemuselo E’ = {[1,2],[2,1]} nezáporná reálná kombinace (S) 1/3*[1,2] + 1/3*[2,1] = [1,1] ovšem [1,1] zjevně nelze získat jako nezápornou celočíselnou kombinaci (C)

17. Stupeň imsetu Stupeň imsetu je součtem koeficientů v kombinaci elementárních imsetů: Př.: u = 1*e1 + 2*e2 + 0,5*e3 deg(u) = 3,5 Platí:

18. Postup ověření: Konvexní kužel generovaný EN lze popsat jako průnik jistých poloprostorů, které pro N<6 spočteme Fourier-Motzkinovou eleminací. Imsety SN jsou celočíselnými body v tomto kuželu. Stačí je tedy (po jednotlivých stupních) projít a ujistit se, že všechny jsou součtem imsetu stupně o 1 nižšího a elementárního imsetu.

19. Trik – celočíselná Hilbertova báze Důkaz v [Schrivjer] nám zaručuje, že pokud nějaký imset v SN- CN existuje, potom alespoň jeden takovýto leží v mnohostěnu:

20. Výsledky • N=3 • Bez problémů v několika sekundách ověříme, že C3 = S3 • N=4 • Je potřeba využít dalších vlastností strukturálních imsetů, opět C4 = S4 • N=5 • Víme pouze to, že pokud existuje prvek Hilbertovy báze mimo E5, pak je jeho stupeň alespoň 5

21. Literatura: • Studený M. (2001): On the mathematical description of probabilistic conditional independence structures, doktorská práce, ÚTIA AV ČR. • Studený M. (2004): On Probabilistic Independence Structures, Springer. • Studený, Bouckhaert, Kočka (2000): Extreme Supermodular Set Functions, výzkumná zpráva, UTIA AV ČR. • Schrijver A. (1998): Theory of Linear and Integral Programming, John Wiley. Děkuji Vám za pozornost