Probabilidade

1. Probabilidade

2. Definição de Probabilidade Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1

3. Probabilidade • A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza. • A utilização da probabilidade indica a incerteza, quanto a ocorrência ou não de um dado resultado. • Exemplo: • Tempo de vida de uma lâmpada, • A altura da próxima pessoa que entrou na sala de aula; • Preço das ações da petrobrás; • Número da face exposta para cima no lançamento de um dado; • etc

4. Probabilidade • Surgiu com o objetivo de determinar melhores estratégias em em jogos de azar; Exemplo1: Considere o lançamento de um dado honesto. Ganha quem acertar o valor da face exposta. Qual seria a sua Aposta? Exemplo2: Considere agora o lançamento de dois dados honestos. Ganha quem acertar o valor da soma das duas faces expostas. Qual seria a sua Aposta? Nos dois casos, no que se baseou a sua escolha?

5. Probabilidade Para apostar “ fazer uma escolha” é preciso identificar todos osresultados possíveis. Exemplo 1: Face de um dado: S1={1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: Soma das faces de dois dados : S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} O conjunto de todos os resultados possíveis é denominado Espaço Amostral (S)

6. Probabilidade Um subconjunto do espaço amostral S é denominado evento. Exemplo 1: A = a face do dado voltada pra cima é igual a 5; A={5}  evento simples; B = a face do dado voltada pra cima é menor que 5; B = {1, 2, 3, 4}; Evento Simples: Evento que consiste de um único resultado.

7. Probabilidade EXERCÍCIO: Considere o seguinte experimento aleatório: Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima. Descreva os conjuntos associados aos seguintes eventos e determine quais deles são eventos simples. A = a soma das faces é maior que 9; B= a soma das faces é igual a 7; C = a soma das faces é maior que 12;

8. número de resultados em E P(E)= número total de resultados no espaço amostral Modelo de Probabilidade Se todos os elementos de S tem a mesma chance de ocorrer  S é um conjunto equiprovável!!! Nesse caso: • Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos. • Evento A: obter um 3. • Evento B: obter um 7. • Evento C: obter um número menor do que 5.

9. OPERAÇÃO COM EVENTOS • Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral • AB: União dos eventos A e B. • Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B • AB: Intersecção dos eventos A e B. • Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

10. Probabilidade EXERCÍCIO: Considere o seguinte experimento aleatório: Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima. Calcule a probabilidade dos eventos abaixo: A = a soma das faces é maior que 9; B= a soma das faces é igual a 5; C = a soma das faces é maior que 12;

11. 1) Determine o espaço amostral Início Dois dados são jogados. Descreva o espaço amostral. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} Todos os resultados sao Equiprovaveis?

12. Espaço amostral e probabilidades Dois dados são jogados e sua soma é anotada. 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 3/36 = 1/12 = 0,083 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. 2/36 = 1/18 = 0,056 Determine a probabilidade de que a soma seja 11.

13. Eventos complementares O complemento do evento Eé o evento E´.E´consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E. P(E´ ) = 1 – P(E)

14.  A Operações com eventos não A

15. Teorema da adição Se A e B são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos A e B é igual a adição das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto A e B. P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

16.  A B A  B Operações com eventos

17. OBSERVAÇÃO Se A e B forem dois eventos tais que a realização de A exclui a realização de B. Estes eventos são denominados Mutuamente exclusivos (ou disjuntos). Nesse caso, a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais. P(A  B) = P(A) + P(B)

18. Exemplo: Lançamento de um dado • = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. • Calcule as Probabilidades abaixo: P(A  C) • P(A) • P(B) • P(C) • P(A  B) P(A  B) P(A  C) P(AC)

19. Eventos independentes são aqueles que não exercem ação entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da maneira que lhe é própria. A condição necessária e suficiente para que dois eventos sejamindependentesé que a probabilidade do produto seja igual ao produto das probabilidades. P(A  B) = P(A)  P(B)

20. Exemplo: Lançamento de um dado • = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. • Calcule as Probabilidades abaixo: P(A  C) • P(A) • P(B) • P(C) • P(A  B) P(A  B) P(A  C) P(AC) Os eventos A e B são independentes? A e C? e B e C?

21. Sortear 2 bolas com reposição Construção de distribuições de probabilidades X = número de bolas pretas na amostra

22. Sortear 2 bolas com reposição 3/5 2/5 3/5 3/5 2/5 2/5 • Calcule a Probabilidade de: • 2 bolas pretas; • 2 bolas brancas; • 1 bola de cada cor; • 2 bolas pretas ou 2 brancas; • Os eventos a, b, c são independentes? (10) (20)

23. Sortear 2 bolas sem reposição 2/4 2/4 3/5 3/4 2/5 1/4 X = número de bolas pretas na amostra • Calcule a Probabilidade de: • 2 bolas pretas; • 2 bolas brancas; • 1 bola de cada cor; • 2 bolas pretas ou 2 brancas; • Os eventos a, b, c são independentes? (10) (20)

24. Probabilidade condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido, é definida por P(B/A) e é denominada probabilidade condicional de B, depois de A ter ocorrido.

25. Probabilidade Condicional e Independência Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é dado por: (1) • Exemplo2.:Considere o exemplo anterior com e sem reposição; • Qual a probabilidade da segunda bola ser branca dado que a primeira foi preta? • O que acontece quando A e B São independentes?

26. Probabilidade condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?

27. Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?

28. 1) Evento complementar: = - P ( A ) 1 P ( A ) 2) Propriedade da soma: È = + - Ç P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) 3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos: È = + P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 4) Propriedade do produto: Ç = × P ( A B ) P ( A ) P ( B / A ) 5) Propriedade do produto para eventos independentes Ç = × P ( A B ) P ( A ) P ( B ) Probabilidades de eventos

31. Variáveis aleatórias Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

32. Variável aleatória • “Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral. • X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

33. Exemplos de variáveis aleatórias • Vida útil (em horas) de um televisor; • Número de peças com defeito em um lote produzido; • Número de veiculos que passam num pedágio num determinado dia; • Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

34. Tipos de variáveis aleatórias • Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. • Ex: número de mulheres em uma sala de aula; 2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado. Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

35. Variáveis aleatórias variável aleatória discreta contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 1 2 3 4 0 0 ... número de defeitos em ... tempo de resposta de ...

36. Modelos de Distribuição de Probabilidade Distribuição Binomial:modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas Distribuição Normal:modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas