LFA: Unidade 02 – Parte A

1. LFA:Unidade 02 – Parte A Engenharia/Ciência da Computação Prof. François profrancois@yahoo.com.br

2. CONJUNTOS • 1.1: CONJUNTOS • Um conjunto é uma coleção de zero ou mais elementos. Conjuntos podem conter qualquer tipo de objeto incluindo (números, símbolos e outros conjuntos). Os objetos no conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto. • Um conjunto finito de objetos pode ser representado pela listagem de seus objetos entre colchetes

3. CONJUNTOS • Exemplos: {0,1} representa o conjunto formado pelos números 0 e 1. • Outros exemplos: • a) {a, b, c, d} • b) {#,@,%,A,B,C} • c) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} • d) {a,1,2,3,c, #,@,$}

4. CONJUNTOS • Os símbolos  e denotam respectivamente que um elemento pertence ou não pertence a um conjunto. • Exemplos: • a) a  {a, b, c, d} e f  {#,@,%,A,B,C} • b) #  {#,@,%,A,B,C} e 0  {1,2,3,6,7,8,9,10} • Quando se utiliza conjuntos, a ordem em que os elementos são apresentados e a repetição destes não são importantes.

5. CONJUNTOS • Considere os seguintes exemplos: • a) {a, b, c} é equivalente a {c, b, a} • b) {#,@,%} é equivalente a {@,%,#,@,%} • Costumeiramente não se costuma representar os elementos repetidos de um conjunto.

6. CONJUNTOS • Um conjunto é dito ser infinito quando possui uma quantidade infinita de elementos. Como é impossível listar todos os elementos de um conjunto infinito, utiliza-se a notação “...” que significa “continue a seqüência eternamente”. • Exemplos: • a) ℕ = { 1, 2, 3, ... } NATURAIS • b) ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} INTEIROS • c) ℚ = números da forma i/j , i, j  ℤ, j  0 RACIONAIS

7. ℙ primos ℕ ℤ ℚ I ℝreais ℂ complexos CONJUNTOS

8. CONJUNTOS • O conjunto com zero elemento é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo símbolo  ou {} • A notação utilizada até agora se torna pouco prática quando se tenta representar um conjunto finito com uma grande quantidade de elementos. Além disso, esta notação não permite especificar um conjunto onde os elementos seguem uma determinada regra. Em situações como esta se utiliza a notação: { x | regra sobre x}

9. CONJUNTOS • Exemplos: • a) {x| x = m2 para qualquer m  ℕ}= {1, 4, 9, 16, 25, ...} conjuntos dos números naturais elevados ao quadrado • b) {i | i é um inteiro positivo e existe j tal que i = 2j }= {2, 4, 6, 8, 10, ...} conjuntos dos números inteiros pares. • c) {x | x = 2y para qualquer y  ℕ e y < 11}= {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024}

10. CONJUNTOS • Os conjuntos podem ser representados graficamente através do diagrama de Venn. Assim o conjunto do exemplo c) seria representado graficamente por:

11. B A PROPRIEDADES DE CONJUNTOS • 1.2: Cardinalidade: número de elementos do conjunto (A) • 1.3: Igualdade: A = B x  A x  B • 1.4: Subconjunto: • A  B , se a  A  a  B • [caso contrário: A  B]

12. PROPRIEDADES DE CONJUNTOS • Obs 1: A  B A está contido em B • B / A B contém A • Obs. 2: Subconjunto próprio: A  B (A é subconjunto de B, mas AB) • Obs. 3: A = B  A  B e B  A • Obs. 4 : A   A e A  A

13. PROPRIEDADES DE CONJUNTOS • 1.5: Conjunto Potência ou Conjunto das Partes: Conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A. Representação: 2A. • Ex.: A = {1, 2, 3} então 2A = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} , {1,2,3} } • Obs.: A = {a1, a2, ..., an} e #2A = 2n • 1.6: Complemento. ~A (A/) = {u | u  A}. Obs: u  U (conjunto universo)

14. A B B B A A A U U U U OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS • 1.7: União • A  B = {u | u  A ou u  B} • 1.8: Intersecção • A  B = {u | u  A e u  B } • 1.9: Diferença relativa: • A - B = {a | a  A e a  B }

15. OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS - TUPLAS • 1.10: Conjuntos disjuntos: • A  B =  (A e B são disjuntos) • 1.11: R-tupla • Seqüência ordenada escrita na forma (a1, a2, ..., ar). O i-ésimo termo  i-ésima coordenada. Se r = 2  par ordenado

16. PRODUTO CARTESIANO • 1.12: Produto Cartesiano: • Se A1, A2, ..., Ar conjunto com r elementos • Produto cartesiano: todas as r-tuplas (a1, a2, ..., ar) tal que a1  A1, a2  A2, a3  A3, ..., ar  Ar • Representação: A1 x A2 x .... x Ar • Se os A1 são idênticos então A1 x A2 x .... x Ar = Ar

17. PRODUTO CARTESIANO • Ex.:A = {0, 1} e B = {1, 2, 3} • A  B = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3) } • B  A = { (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1) } • A  A = A2 = { (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) }

18. OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS • 1.13: Idempotência • A  A = A e A  A = A • 1.14: Comutatividade • A  B = B  A e A  B = B  A • 1.15: Associatividade • A  (B  C) = (A  B)  C) e A  (B  C)= (A  B)  C

19. OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS • 1.16: Distributiva • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) • e A  (B  C)= (A  B)  (A  C) • 1.17: Duplo complemento • ~(~A) = A • 1.18: Leis de Morgan • ~(A  B) = ~A  ~B • ~(A  B) = ~ A  ~ B

20. RELAÇÕES • 1.19. Relações • Uma relação binária R de A em B é um subconjunto de um produto cartesiano AxB, ou seja, R  AxB sendo que • A é domínio, origem ou conjunto de partida • B é contradomínio, codomínio, destino ou conjunto de chegada

21. RELAÇÕES • A relação R  AxB é constituída de três partes: A é domínio, B contradomínio, e o conjunto de pares R. • A relação R é denotada também R: A  B e um elemento (a,b) R é denotado aRb. • Ex.: A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6} • Seja R de A em B: a R b  a divide b, ou seja resto(b/a) = 0. • R = { (2, 2), (2,4), (2,6), (3,3) , (3,6), (4,4) }

22. PROPRIEDADES DE RELAÇÕES • 1.20: Endorelação ou Auto-relação (quando o domínio e o contradomínio no mesmo conjunto), ou seja, R: A  A e denotada por (A, R) • 1.21: Relação conexa • Sejam um conjunto A e uma relação R; R é conexa quando para elementos distintos x e y (x ≠ y) temos xRy ou yRx. • Ela não é convexa, se existe ao menos um par de elementos distintos x e y (x ≠ y) para os quais temos x R/ y e y R/ x.

23. PROPRIEDADES DE RELAÇÕES • Exemplos: • R = {(1,1), (1,2), (3,1),(3,2)} em A={1,2,3} é conexa pois: 1≠ 2 e 1R2; 1≠3 e 1R3; 2≠3 e 3R2; • R = {(1,1), (3,2), (2,3)} em A={1,2,3} não é conexa pois: para 1≠3 temos 1 R/ 3 e 3 R/ 1; para 1≠2 temos 1 R/ 2 e 2 R/ 1.

24. PROPRIEDADES DE RELAÇÕES • 1.22: Reflexiva: se para todo aA, aRa • 1.23: Simétricas: se a R b, então b R a • 1.24: Antissimétricas: se a R b e b R a, então a = b • 1.25: Transitivas: se a R b e b R c, então a R c

25. Relações de Ordem • Sejam A um conjunto e R uma relação em A. Então R é uma: • Ordem, se é transitiva; • Ordem Parcial, se é reflexiva, antissimétrica e transitiva; • Ordem Total, se é uma relação de ordem parcial e conexa. • Exemplos: • As relações (N, ), (2A, ), (Z, <), (Q, =) são de ordem. As relações (N, ), (2A, ), (Q, =) são de ordem parcial. A relação (N, ) é de ordem total

26. Relações de Equivalência • Relação de Equivalência: reflexiva, transitiva e simétrica; • Exemplo: • R = {(a, b) N2 | a MOD 2 = b MOD 2} onde MOD é o resto de uma divisão inteira. • Uma relação de equivalência induz um particionamento do conjunto para o qual a relação é definida em subconjuntos disjuntos e não vazios denominados classes de equivalência.. A relação acima induz uma partição de N em classes de equivalência [0] (dos números pares com resto 0) e [1] (dos números impares com resto 1).

27. Fecho de uma relação • Seja R uma relação e P um conjunto de propriedades. Então, o Fecho de R em relação a P, denotado por FECHO-P(R) é a menor relação que contém R e que satisfaz às propriedades em P

28. Fecho Transitivo • O fecho de R em relação ao conjunto de propriedades {transitiva}, denominado Fecho transitivo de R é definido como: R+ • Se (a, b)  R, então (a, b)  R+ • Se (a, b)  R+ e (b, c)  R+ então (a, c)  R+ • Os únicos elementos de R+ são obtidos assim.

29. Fecho Transitivo e Reflexivo • O fecho de R em relação ao conjunto de propriedades {transitiva, reflexiva}, denominado Fecho transitivo-reflexivo de R: R* • R* = R+  {(a,a) | a  R} • Exemplo: Seja R = {(1,2), (2,2), (2,3) } uma relação do conjunto {1,2,3}. Então: • R+ = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3)} • R* = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3), (1,1), (3,3)}

30. GRAFOS • Uma relação pode ser representada por um grafo e árvores. • Grafos • Um grafo, denotado por G=(V, E), consiste de um grupo finito de vértices (V) ou nós, e um conjunto de pares E chamados de arestas (edges). Os vértices são representados graficamente por círculos enquanto que as arestas são representadas por linhas conectando dois vértices.

31. GRAFOS • Exemplo: Para um grafo G = (V, E) onde V={1,2,3,4,5} e E={n,m} | n+m = 4 ou n+m=7}, a figura abaixo ilustra o grafo:

32. GRAFOS • O grafo acima é composto de 5 vértices identificados pelos símbolos 1,2,3,4,5 e representados pelos círculos. As arestas são representadas por linhas ligando os vértices. Entre os vértices 1 e 3, existe uma aresta (1,3) • Um caminho em um grafo é uma seqüência de vértices v1, v2, ..., vk , k ≥ 1, no qual existe uma aresta (vi, vi+1), para cada i, 1 ≤ i <k. • O tamanho de um caminho é igual a k-1.

33. GRAFOS – GRAFOS DIRIGIDOS DÍGRAFOS • No grafo acima, a seqüência de vértices 1, 3, 4 representa um caminho cujo tamanho é 2. • Quando v1 = vk o caminho é um ciclo. Assim o caminho formado pelo vértice 2 origina em 2 e chega em 2. • Grafos dirigidos • Um grafo dirigido ou dígrafo, é denotado por G = (V, E) onde V representa um conjunto finito de nós e E um grupo de pares de vértices ordenados chamados de arcos.

34. DÍGRAFOS • Um arco de vértice v para o vértice w é representado pela seguinte notação v  w. A figura abaixo representa um dígrafo. • Um caminho em um dígrafo é uma seqüência de vértices v1, v2, ..., vk , k ≥ 1 sendo que cada vi vi+1 é um arco para cada i, 1 ≤ i <k.

35. DÍGRAFOS = ÁRVORES • No exemplo acima, a seqüência de vértices 1  2  3  4 é um caminho do vértice 1 para o vértice 4. • Se v  w é um arco, então v é o predecessor de w e w é o sucessor de v. • Árvores • Uma árvore é um dígrafo com as seguintes propriedades; • a. existe um vértice, chamado de raiz, que não possui predecessor e a partir do qual existe um caminho para cada vértice.

36. ÁRVORES • b. cada vértice, exceto a raiz, possui exatamente um predecessor • c. os sucessores de cada vértice são ordenados da esquerda para a direita. • Uma árvore é desenhada com a raiz no topo e os arcos apontando para baixo. Os sucessores de cada vértice são desenhados da esquerda para a direita. • A figura abaixo apresenta um exemplo de

37. ÁRVORES • árvore que ilustra a estrutura de uma sentença em português para a frase “ a gato faminto agarrou o rato”.

38. ÁRVORES • A seguinte simbologia é adotada para árvores: • a. o sucessor de um vértice é chamado filho e o predecessor é chamado pai. • b. se existe um caminho do vértice v1 para o vértice v2, v1 é dito ser o ancestral e v2 é o sucessor de v2. • c. vértices sem filhos são chamados folhas e os demais são chamados de interiores.

39. Funções Parciais • Uma Função Parcial é uma relação f  A x B tal que se (a, b)  f e (a, c)  f, então b = c; • normalmente é denotada por f: A  B. • (a, b)  f é usualmente denotado por f(a) = b. Neste caso, f está definida para a, e b é imagem de a. • O conjunto: { b  B | existe a  A tal que f(a) = b } é denominado conjunto imagem de f e é denotado por f(A) ou Img(f).

40. Funções Totais ou Aplicações • Uma função total é uma função parcial f: A  B onde para todo a  A existe b  B tal que f(a) = b • Exemplos • Função Identidade: Para o conjunto A, a função total IdA: A  A é tal que para todo a A, IdA(a) = a • Adição nos Naturais: A operação ad: N x N N tal que ad(a, b) = a + b é uma função total • Divisão nos Reais: A operação div: R x R R tal que div(x, y) = x/y é uma função parcial pois não é definida para (x, 0), qualquer que seja x  R

41. Composição de Funções • Sejam f: A  B e g: B  C funções. • A Composição de f e g é a função g o f: A  C tal que (g o f)(a) = g(f(a)). • Exemplo: • A composição das funções ad (N x N N) e quadrado (N N) é a função quadrado o ad (N x N N) e, para (3, 1) temos: (quadrado o ad)(3, 1) = quadrado(ad(3, 1)) = quadrado(4) = 16

42. Função Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou Isomorfismo • Uma função f: A  B é dita: • Injetora se, para todo b  B, existe no máximo um a  A tal que f(a) = b; • Sobrejetora se, para todo b  B, existe pelo menos um a  A tal que f(a) = b; • Bijetora ou Isomorfismo se é injetora e sobrejetora.

43. Cardinalidade de Conjuntos • A cardinalidade de um conjunto (#A) é uma medida de seu tamanho e é definida usando funções bijetoras. • Cardinalidade Finita: se existe uma bijeção entre A e o conjunto { 1, 2, 3, ..., n }, para algum n. Neste caso, afirma-se que #A = n • Infinita: se existe uma bijeção entre A e um subconjunto próprio de A.

44. Conjuntos Contáveis e Não Contáveis Um conjunto infinito A é dito: • Contável ou Contavelmente Infinito, se existe uma bijeção entre o conjunto A e um subconjunto infinito de N; • Não-Contável, caso contrário. Obs: A bijeção que define se um conjunto A é contável é denominada enumeração de A. Exemplos: Os conjuntos ℤ e ℚ são enumeráveis e I e R são não-contáveis.

45. Demonstração de Teoremas • Um teorema é uma proposição do tipo p  q a qual prova-se ser verdadeira sempre, ou seja: p  q. • As proposições p e q são denominadas hipótese e tese, respectivamente. • Dado um teorema a ser demonstrado, é fundamental, antes de iniciar a demonstração, identificar claramente a hipótese e a tese.

46. Técnicas de Demonstração • Para um determinado teorema p  q existem diversas técnicas para provar (demonstrar) que, de fato, p  q: • Dedutiva; • Contraposição; • Redução ao absurdo; • Indução.

47. PROVA DEDUTIVA • Consiste em uma seqüência de afirmações cuja verdade nos leva de alguma afirmação inicial, chamada de hipótese, a uma afirmação de conclusão. Com freqüência, a hipótese consiste de várias afirmações independentes conectadas por um e lógico. • Exemplo: prove que a seguinte afirmação “se x é a soma dos quadrados de 4 números inteiros positivos, então 2x ≥ x2

48. PROVA DEDUTIVA

49. PROVA CONTRADIÇÃO • Em algumas situações tem-se de provar uma afirmação do tipo “se H então C”, pode se utilizar a técnica da prova por contradição e provar a afirmação “H e não C implica em falsidade”. Se for provada a segunda afirmação então a primeira é dita ser verdadeira. • Assim, o processo de prova se baseia em supor que a condição é falsa. Então

50. PROVA CONTRADIÇÃO • utiliza-se a suposição como partes da hipótese, para provar o oposto de uma afirmação feita no hipótese. Posteriormente, mostra-se que é impossível que todas as partes da hipótese sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Nesse caso, a única possibilidade é que a conclusão seja verdadeira sempre que a hipótese é verdadeira, ou seja, o teorema é verdadeiro.