Interpretarea datelor statistice prin parametri de pozitie (practic)

1. Interpretarea datelor statistice prin parametri de pozitie(practic) De David Ardeleansi Ali 1.Valoarea medie a unei serii statistice Valoarea medie a unei serii statistice Se numeste valorea medie sau media variabilei statistice X,media aritmetica a tuturor valorilor variabilei statistice calculata pentru toate unitatile populatiei statistice. p xi ni x1n1 x2 n2 ...... x p n p i 1 x n1 n2 .... n p N Valoarea medie x¯reprezinta media aritmetica ponderata a valorilor x1….xp ale variabilei statistice cu ponderile n1…np Exemplu: Sa calculam media variabilei statistice a seriei statistice din urmatorul tabel:Nota(xi) 4 5 6 7 8 9 10Frecventa 1 4 5 7 13 14 6absoluta(ni) Avem: x 4 *1 5 * 4 6 * 4 7 * 7 8 *13 9 *14 10 * 6 393 7,86 1 4 5 7 13 14 6 50 Asadar, concentrarea notelor la teza se realizeaza in jurul numarului 7,86. - Daca variabila statistica X este cantitativa de tip continuu,atunci in locul valorilor xi din formula se vor lua mediile aritmetice ale extremitatilor claselor de valori(valorile centrale ale claselor de valori). Exemplu: Sa consideram seria statistica data de urmatorul tabel: Inaltime Numar de Frecventa Frecventa tineri absoluta absoluta cumulata cumulata crescatoare descrescato are [155,160) 5 5 63 [160,165) 12 17 58 [165,170) 15 32 46 [170,175) 20 52 31 [175,180) 8 60 11 [180,185] 3 63 3

2. - Pentru calcularea valorii medii a variabilei cantitative de tip continuu,vom scrie mai intai seria statistica ( xi* , ni ) ,i=1.6 unde x i* este valoarea centrala a clasei [ xi , xi 1 ) Xi* 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5 ni 5 12 15 20 8 3 Valoarea medie a variabilei statistice este: 157,5 * 5 162,5 *12 167,5 *15 172,5 * 20 177,5 * 8 182,5 * 3 10667,5 x xi 5 12 15 20 8 3 63 Se obtine ca: x 169 ,32 Asadar,tendinta valorilor variabilei statistice este aceea de grupare in jurul valorii 169,32. Diferenta xi x reprezinta abatarea de la medie a valorii x i .Suma abaterilor de la medie a valorilor variabilei este 0.

3. Mediana seriei statistice. • Mediana seriei statistice Fie seria statistica ( xi , ni ) , i 1, p ,ordonata xk xk 1 , k 1 si N efectivul total al populatiei statistice. Mediana undei serii statistice ordonate este valoarea Me care imparte sirul ordonat al valorilor variabilei in doua parti,fiecare parte continand acelasi numar de valori. •  Exemplu: 1.Daca o caracteristica ia urmatoarele 11 valori asezate in ordine crescatoare:1,3,3,3,4,5,6,6,7,8,8 atunci Me=5. 2.Fie sirul crescator de valori ale unei caracteristici numerice distincte:1,3,3,3,4,6,7,8,8,9.Sirul valorilor are 10 elemente.In acest caz se alege drept mediana a seriei numarul 4 6 Me= 2 5 •  Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa discreta se obtine astfel:se aseaza cele N valori ale variabilei in ordine crescatoare sau descrescatoare;daca N este numar impar atunci Me x N 1 2 ,iar daca N este numar par(N=2k) atunci Me x x k k 1 2 • Observatie! Daca valorile variabilei sunt numeroase ,se recomanda determinarea frecventelor absolute cumulate, apoi se cauta valoarea variabilei care corespunde unitatii statistice situata la mijlocul seriei,sau intervalul care cuprinde acea unitate statistica. Nota la teza 5 6 7 8 9 10 Frecventa absoluta 16 16 62 12 10 8 Frecventa absoluta 16 32 64 76 86 94 cumulata crescatoare Efectivul notal al populatiei este 94.Pozitia centrala a sirului ordonat al valorilor variabilei este 94/2=47.Unitatea statistica situata pe pozitia 47 corespunde celei de- a treia secvente cumulate crescatoare.Asadar Me=7.

4. Sa determinam acum mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa de tip continuu.Pentru aceasta,sa consideram distributia unui lot de piese dupa diametrul lor masurat in mm.Diametrul(m [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)m)Frecventa 10 15 12 15 8absolutaFrecventa 10 25 37 52 60cumulatacrescatoare Jumatate din efectivul total al • populatiei este 60/2=30. Clasa de valori din seria frecventelor absolute cumulate careia ii corespunde cel putin jumatate din efectivul total al populatiei se numeste clasa mediana. In cazul seriei date clasa mediana este [30,40).Presupunand ca pentru aceasta serie cresterea efectivului este proportionala cu cresterea valorilor variabilei,avem: La cresterea efectivului cu (37-25) piese,corespunde cresterea valorilot variabilei cu (40- 30)=10 mm; La cresterea efectivului cu (30-25) de piese ,ce crestere a valorilor variabilei corespunde? •  Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa de tip continuu se calculeaza cu formula: C N Me L M n i 1 *k ,unde: i L=limita inferioara a clasei mediane; CM =cota medianei (daca N este par,atunciCM =N/2,iar daca N este impar,atunci Ni-1=frecventa absoluta cumulata crescatoare pana la clasa mediana; C N2 1 M n i =frecventa absoluta corespunzatoare clasei mediane; k=amplitudinea clasei mediane: xi 1 xi •  Me=30+[(30-25)/12]*10=34,17 Se poate calcula si cu regula de trei simpla: (37-25)…………….(40-30)mm (30-25)…………....X mm X=(30-25)*(40-30)/(37-25)=25/6=4,17 mm→Me=30+4,17=34,17mm. Concluzie:Mediana seriei statistice este un indicator al pozitionarii valorilor xi ale acesteia.Aceasta este utila in realizarea ierarhizarii valorilor.

5. 3.Modulul unei serii statistice • Modulul unei serii statistice In multe activitati economico-sociale prezinta interes acele aspecte care survin cel mai frecvent in derularea lor. De exemplu,compararea numarului de apeluri telefonice pe intervale mici de timp da posibilitatea determinarii perioadei din zi cand o centrala telefonica este cel mai mult solicitata si, in consecinta,da posibilitatea determinarii capacitatii optime a centralei. Astfel de probleme se rezolva folosind parametrul statistic de pozitie numit modul sau dominanta. •  Modulul sau dominanta unei serii statistice ( xi , ni ),1 i p ,reprezinta valoarea sau clasa de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.Asadar,modulul sau dominanta este parametrul ce evidentiaza valoarea variabilei care apare cel mai frecvent in multimea datelor. Exemplu: 1.Fie distributia unui grup de tineri dupa inaltimea masurata in cm: Inaltimea [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190) (cm) Numarul 4 14 27 35 14 6 de tineriClasa mondiala este[175,180) careia ii corespunde cea mai mare frecventa.Modulul sriei poate fi exprimat prin valoarea centrala a clasei mondiale: Mo 175 180 177 ,5 . 2 •  Pentru determinarea unei valori mai exacte a modulului unei serii statistice cu date grupate in clase de valori,sa consideram o secventa a diagramei structurale a acesteia care sa contina si valorile din clasa modala [1,L). Notam: 1 =diferenta dintre frecventa clasei modale si aceea a clasei anterioare ei. =diferenta dintre frecventa clasei modale si aceea a 2 clasei urmatoare. k=amplitudinea clasei modale,k=L-1Conform graficului se obtine urmatoarea relatie de proportionalitate: 1 Mo 1 ,relatie din care se obtine 2 Mo L *k 2 L Mo 1 2Daca intervalul anterior clasei modale are frecventa mai mare decat a intervalului urmator clasei modale , atunci : Mo 1 1 *k 1 2Pentru seria statistica din exemplu de mai sus se aplica formula a 2 –a si se obtine: 1 (35 27 )Mo 1 * k 175 * (180 175 ) 176 ,38 1 2 (35 27 ) (35 14 )

6. Observatii: 1. In cazul formulei a 2a Mo este mai este mai apropiata de 1. In cazul primei formule Mo este mai apropiat de L. 2.Mo coincide cu o valoare a variabilei statistice,reprezentand cea mai frecventa valoare a repartitiei. 3.Mo nu e influentat de valorile foarte mici sau foarte mari ale variabilei. 4.O serie statistica poate avea mai multe module.Modulul prezinta interes daca este unic.

7. 4. Dispersia, abaterea medie patratica • Dispersia.Abaterea medie patratica Sa consideram urmatoarele seturi de date: {1,2,3,3,4,5} si {2,40;2,50;2,60;2,70;2,80;5} Se constata ca ambele siruri de date au valoarea medie egala cu 3,sunt disticte ,iar datele primului sir sunt mai raspandite in raport cu media fata de cele ale setului al 2 lea. Pentru a masura gradul de imprastiere a datelor unei serii statistice fata de medie se folosesc urmatorii parametri de pozitie: dispersia si abaterea medie patratica. •  Fiind data seria statistica ( xi , ni ),1 i p ,dispersia valorilor x1, x2 ,..., xp este media aritmetica ponderata a patratelor abaterilor de la medie ale valorilor variabilei. Se noteaza: p ( xi x) 2 ni ( x1 x) 2 * n1 ( x2 x) 2 * n2 ... ( x p x) 2 * n ps2 i 1 n1 n2 ... n p N In cazul datelor grupate in clase de valori,se considera abaterile centrelor claselor de valori de la medie. Compararea dispersiilor a 2 serii statistice capata semnificatie in cazul cand sirurile de date sunt exprimate in aceeasi unitate de masura. Fiind data seria statistica ( xi , ni ),1 i p , se numeste abatere medie patratica a valorilor variabilei numarului s 2 , unde s 2 este dispersia seriei. p ( xi x) 2 * ni i 1 Asadar, . N •  Abaterea medie patratica da posibilitatea caracterizarii dispersiei valorilor variabilei statistice.Astefel,o serie care este putin dispersata,adica prezinta valori ce sunt strans grupate in jurul valorii medii, conduce la o abatere medie patratica mica. Problema: Distributia unui lot de autoturisme noi,dupa consumul de carburant la 100km parcursi,se prezinta astfel: Consu 6,2- 6,6-7 7-7,4 7,4- 7,8- 8,2- 8,6-9 9-9,4 9,4- mul(L) 6,6 7,8 8,2 8,6 9,8 Nr,aut 4 12 44 90 107 86 36 15 6 oturis me n i Sa se caracterizeze seria statistica folosind dispersie si abaterea medie patratica. Fie x i* valoarea centrala a clasei de valori [ xi , xi 1 ) ,i≥1

8.  Pentru concentrarea calculelor vom atasa la tabelul de date de mai sus urmatoarele rubrici: 6,4 6,8 7,2 7,6 8,0 8,4 8,8 9,2 9,6 Total: * x i - xi* ni 25,6 81,6 316,8 684 856 722,4 316,8 138 57,6 3198,8 * 2 10,24 17,28 28,16 14,40 0 13,76 23,04 21,60 15,36 143,84 ( x x) ni i 9 xi*ni i 1 3198,8 x 7,998l ni 400 9 ( xi* x) 2 * ni 143,84 s2 i 1 0,3596 ni 400 0,3596 0,5997l •  Se observa ca pentru esantionul de 400 de autoturisme consumul mediu la 100 km este de aproximativ 8 litri. Dispersia valorilor consumului de carburant in jurul valorii medii 8 este de 0,3596 litri.Valoarea mica a acesteia sugereaza faptul ca valorile consumului de carburant sunt destul de stranse in jurul mediei. Dispersia valorilor consumului de carburant in jurul valorii medii,masurata prin abatarea medie patratica este de 0,5997 litri.Aceasta arata ca valorile consumului de carburant se abate in medie cu aprozimativ 0,6 litri(in plus sau in minus) de la consumul mediu. Definitie: Raportul dintre abaterea medie patratica si valoarea medie a unei serii statistice se numeste coeficient de variatie.Se noteaza: CV (x) Acest indicator da posibilitatea aprecierii gradului de omogenitate a unei serii statistice.Un coeficient de variatie sub 15% indica o omogenitate buna a repartitiei unui fenomen si ca valoarea medie este reprezentativa. •  Pentru seria statistica din tabelul 0,5997 anterior se obtine: CV 7,5% (x) 8