320 likes | 515 Views
MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE. ETUDE ET MODELISATION. ETUDE DE MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES. OBJECTIFS : Étudier la chute verticale à partir d’une vidéo Faire l’étude dynamique du mouvement
E N D
MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE ETUDE ET MODELISATION
ETUDE DE MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES OBJECTIFS : • Étudier la chute verticale à partir d’une vidéo • Faire l’étude dynamique du mouvement • Modéliser le mouvement par deux méthodes numériques (méthode d’Euler, Range Kutta d’ordre 2).
1-PROBLEME POSE • On désire étudier dans un référentiel terrestre, supposé galiléen, le mouvement d’un corps (A) de masse m, constitué d’un matériau de masse volumique rs. A est lâché sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique rl. • On pourra faire varier : • La masse du corps A, • La masse volumique de A, • Le fluide dans lequel on lâche la bille.
1-PROBLEME POSE Comment décrire le mouvement de la bille ?
2-DEMARCHE UTILISEE • On étudie le mouvement de chute d’une bille dans un fluide. • On applique le théorème du centre d’inertie, au système « bille ». • On utilise la méthode d’Euler et Runge-kuttad’ordre 2 pour simuler le mouvement de la bille, et on compare les résultats aux résultats expérimentaux.
ETUDE EXPERIMENTALE On étudie le mouvement avec avimeca
THEOREME DU CENTRE D’INERTIE • Référentiel : terrestre supposé galiléen • Système étudié : la bille de masse m • Forces appliquées au système: p Le poids de la bille La poussée d’Archimède ( ) Les forces de frottement visqueux du liquide sur la bille ( ) f P
O f P y 2- Modèle n°2 FORCES APPLIQUEES REMARQUE : On travaille maintenant avec un axe orienté vers le bas ce qui permet d’avoir des valeurs positives pour v et y. p
O f P y 2- Modèle n°2 FORCES APPLIQUEES • POIDS : • POUSSEE D’ARCHIMEDE : • FORCES DE FROTTEMENT FLUIDE (direction du mouvement, sens opposé au déplacement) : (avec n = 1 ou n=2) p
O f P y 2- Modèle n°2 THEOREME DU CENTRE D’INERTIE m a = P + p + f m a = m g - rfV g - m k vn a = g - rfV/m g - k vn Or m = rsV donc a = g - rf/ rs g - k vn a = (1- rf/ rs )g - k vn a = A- B.vn avec A= (1- rf/ rs)g
THEOREME DU CENTRE D’INERTIE a = A- B vn • L’accélération de la bille dépend de sa vitesse l’accélération dépend du temps • On ne résout pas cette équation facilement
III- LA METHODE D’EULER PRINCIPE ET MISE EN OEUVRE
1- LA METHODE D’EULER : PRINCIPE • Méthode numérique utilisée pour résoudre pas à pas une équation différentielle à partir des conditions initiales (en mécanique : position et vitesse, en électricité : tension et intensité du courant) • Basée sur les propriétés de la dérivée
EULER : MISE EN OEUVRE • On cherche, par exemple à résoudre par cette méthode l’équation différentielle suivante : • Condition initiale : • v(t=0) = vo
EULER : MISE EN OEUVRE La définition de la dérivée donne : • Le problème posé est donc le suivant : • On connaît à ti: V(i) • On cherche à ti+1 =ti+h : V(i+1)
III-LA METHODE D’EULER 3-Chute d’une bille dans un fluide
3-Chute d’une bille dans un fluide CONDITIONS INITIALES DU MOUVEMENT Lorsqu’on lâche la bille : • Son accélération est a0 = A • Sa vitesse est nulle : V(1) = Vo • La bille est à l’origine du repère donc : y0 = 0
3-Chute d’une bille dans un fluide ITERATIONS Pour i=1:N+1 • V(2)=V(1)+h(A-BV(1)) • V(3)=V(2)+h(A-BV(2)) • ………………………………… • V(N)=V(N-1)+h(A-BV(N-1)) • V(N+1)=V(N)+h(A-BV(N))
La méthode de runge-kutta consiste à discrétiser l’équation de cette forme: • À • Tel que K1=h*f(V(i))=h ( A-BV(i) • Et K2=h*f( V(i) + hf(v(i)) ) =h( A- B ( V(i) +h (A-BV(i) )
Après calcul on aboutit à l’expression suivante : • V(i+1)=V(i)+(h/2)* (A-B*V(i)+A- B*(V(i)+h*(A-B*(i)))) ;
3-Chute d’une bille dans un fluide Programmation sur matlab de l’équation d’euler
Résultats trouvé par matlab Comparaison des résultats numérique trouvé avec ceux trouvé analytiquement