Funciones de conversión interoperacional y constantes asociadas

1. Funciones de conversión interoperacional y constantes asociadas • Elaborado por Jaime Erwin Blanco Niño

2. Resumen • Las funciones de conversión operacional entre funciones de sumatoria y factorial se generan por el producto funcional de interconversion reciproca dada la proporcionalidad de las cantidades comparadas. Aqui se estudian constantes numéricas asociadas a la recta de su caída o pendiente, los números áureos y ecuaciones cuadráticas áureas. Algunas de estas funciones son semiexponenciales o semilogaritmicas. Las funciones de conversión de sumatoria a factorial pueden ser amplificadoras y las de factorial a sumatoria reductoras.

3. Abstract • Operational Conversion functions between summation and factorial functions are generated by the reciprocal interconversion of functional product given the proportionality of the quantities compared. Here we study numerical constants associated with the line of fall or slope, and quadratic equations Golden Numbers aureus. Some of these functions are semiexponenciales or semi-logarithmic. The conversion functions for factorial sum may be amplifying and reducing summation of factorial.

4. Funciones de conversión entre valores de sumatoria y factorial en x Estudio de la función k-funcional entre dos funciones asociadas a x Y entre funciones de producto: potencial de 2, factorial y cuadrado de x, con estudio de valores de pendiente en recta de linealizacion, ecuacioncuadratica de numerosaureos y raices, contantes varias relacionadas a la conversion y/0 linealizacion asociada.

5. Convertibilidad interfuncional

6. Imagen de la función sumatoria a partir de valores del factorial de x

7. Introducción • Concebir relaciones entre funciones de adición y multiplicación y procurar un expresión o interpretación de las mismas a nivel grafico es un desafío poco corriente pero quizá hoy disponible gracias a los alcances de los nuevos sistemas de comunicación y graficación en Excel particularmente. • Aquí se pretende demostrar que es posible interpretar algunas relaciones entre funciones de tipo aditivo o sumatorio y funciones multiplicativas de tipo factorial por ejemplo.

8. Noción de función sumatoria o “aditiva” • Básicamente se podría definir la función sumatoria como el resultado de sumarle los números de sucesión natural a un guarismo determinado según su magnitud…así por ejemplo la función sumatoria o aditiva de 3 seria 1 + 2 +3…en forma análoga a como se procede calculando el producto numérico con los factoriales según el valor del numero calculado …

9. Tabla de la función sumatoria La función sumatoria o aditiva va creciendo porque a cada numero le suma los anteriores según el orden natural, a semejanza de como opera la función factorial en cada numero. Es creciente y continua en este rango.

10. Grafica de la función sumatoria o “aditiva” La función sumatoria de x aparece como una cuerda y es creciente o continua en su rango…su recta tangente asociada le curta en dos puntos y tiene una pendiente de 3,5 , es decir 7/2.

11. Interpretación de esta función • Σx =x¡ Es una función de sumatoria Σx o aditiva en x que crece con el valor de x de manera casi exponencial…la pendiente asociada de la recta tangente a la cuerda vale m= 3,5 por lo que la curva asemeja en proporcionalidad bastante una recta. Pero los cálculos de esta función siguen la forma: • Σm =m ¡= ….( m-2 ) + (m – 1 )- m según el numero de sumandos que alcance a cubrir el numero calculado en cuestión.(Donde m=x)

12. Relación de la sumatoria con el potencial de 2. • Siendo m= 7/2 se tiene que la función es casi lineal aunque hablando estrictamente no lo es. Un calculo aproximado de esta función sumatoria seria para ∑x = 1 • x¡ = 2ⁿ ̄¹ ( 6 – n ) ( siendo n = - 2 ) • Para ∑x=3 se tendría la formula : x¡ = 2ⁿ( 6 – n ) - 2ⁿ o • X¡ = 2ⁿ ( 5 – n ) ( siendo n = - 1 ) • Para ∑x=6 y ∑x=10 se tendría la ecuación: • X¡ = 2ⁿ( 6 – n )( siendo n un valor N entre [ 0 , 1 ] ) • Para x¡ = 15 y x¡ = 21 o subsiguientes se usaría el algoritmo: • X¡= 2ⁿ( 6 – n ) - 3ⁿ̄ ̄ ² ( para n ≥ 2 estando n=N entre [ 2,3] ) y así sucesivamente se agregan sumandos en cada calculo de función sumatoria…verbigracia sumando s = 5 para n=4 . Así asumiendo que hay sumandos potenciales aquí se deduce que ∑x =x¡ =2ⁿ( 6 – n )⁺₋s.

13. Tabla de relación sumatoria a potencial de 2

14. Grafica de función potencial reflejo de sumatoria con pendiente m= 3.

15. Función factorial ( x! )

16. Datos de la función factorial • Los valores de x reflejados en la función factorial nos llevaran a una función creciente quizá de tipo exponencial o potencial que mostrara continuidad y incremento paulatino según el aumento de los valores de x.Una analogía podría establecerse con lo que sucede en la progresión geométrica respecto de la aritmética si se compara esta función con la sumatoria. • Así aunque esta es una función especial poco abordada en los textos es útil para describir el comportamiento numérico y aumentar la comprensión del cosmos.

17. Grafica de la función factorial

18. Interpretación de la pendiente asociada a la recta que corta la curva en 2 puntos • La grafica muestra una función creciente que empieza siendo constante y al curvarse genera una concavidad en ángulo ,pero la función tiende de manera continua hacia sus mayorantes cada vez mas…no obstante presenta una gran punta de arco o giba en ángulo…la pendiente de la recta promedio asociada a ella tiene un valor de 19,086 que concuerda justamente con πe√5. • Es decir m = πe√5

19. Tabla de valores de potencial de 2 reflejada desde factorial de x.

20. Grafica de potencial imagen de factorial de x.Forma semilogaritmica

21. Pendiente de la relación factorial aplica a potencial, m= 0,0813.

22. Pendiente de la recta asociada a la curva en esta función factorial aplica a potencial • La pendiente de la recta de linealizacion asociada a la curva vale 0.0813 y al multiplicarla por π genera como resultado 0.25541148273685 que es aproximadamente ¼ • Con un delta ∆ = 0.00541148273685005. Es decir mπ =¼ , de donde m= 1/ 4π.

23. Tabla de valores de potencial reflejada o aplicada en factorial

24. Función factorial de forma semi-potencial

25. La pendiente de esta función =4e • L a grafica tiene una forma semi exponencial o semi potencial y es función factorial o gamma con una recta asociada de pendiente m= 10.931 que equivale a 4e pues m/e = 4.02129017144504

26. Tabla de datos de función conversora para a(x) desde x=0

27. Tabla de datos de función conversora amplificados por 100

28. Grafica de función conversora a(x)

29. Examen de la pendiente de linealización en esta función: • La pendiente m= 1.3661 dividida en π genera el numero: • m/π = 0.434843135515677, valor muy similar a log e que solo difiere de este en ∆ = 0.000548653612425287,es decir m/ π – log e = 0.000548653612425287, pues • z= log e =0.434294481903252.Esto es m=πz,que equivale a m = π log e. Pero a su vez • π – e = 0.423310825130748, existiendo escasa diferencia entre m/π - (π – e ) = 0.0115323103849292 y entre : • Log e – (π - e )= 0.0109836567725048. Así e – π +m/π = 0 equivale a e – π + log e = 0. Si se examina m= π ( π – e ) + π ( 11 / 1000) aproximadamente, de donde se infiere que:

30. El valor de la pendiente de lineal asociada a función de conversión a(x) en función cuadrática de π • π² - e π + (11/1000 ) π – m = 0 de lo cual se deduce que: • π² - ( e - 11/1000 ) π – m = 0 que generaría Las raíces: • π₁ = [ ( e - 11/1000 ) + √ (( e - 11/1000 ) ² + 4 m ) ] / 2 π₂ = [ ( e - 11/1000 ) - √ ( ( e - 11/1000 ) ² + 4 m )] / 2, En donde si obviamos el decimal de la fracción 11 milesimales tendríamos una expresión como : π₁ = [ e + √ ( e ² + 4 m ) ] / 2 π₂ = [ e - √ ( e ² + 4 m )] / 2, donde m es la pendiente de linealización de una función de conversión para función potencial que aplica en factorial . Y donde m estaría en la ecuación cuadrática: π² - e π - m = 0 , esto es m= π² - e π.

31. Ecuación cuadrática para π con 10 a la contante z y la pendiente m de la función conversora de a(x) a x! • Y dado que z = log e se tiene : 10ᶻ = e, pero como log e = π – e aproximadamente entonces : z = (π – e ), es decir: • π² - e π - m = 0 se transforma en : π² - 10ᶻ π - m = 0 (ecuación cuadrática para π con potencia de 10 en coeficiente de variable) con soluciones : • π₁ = [10ᶻ + √ (10²ᶻ + 4 m )] / 2 • π₂ = [10ᶻ - √ (10²ᶻ + 4 m )] / 2 , pero log z = -w y log w = -z, donde z y w son los únicos números inversos que cumplen con las formulas z = 10 ̄ᵂ y w = 10 ̄ᶻ…entonces

32. Valor de π desde potencia de 10ᶻ. • z = 1 / 10 ᵂ y en consecuencia z 10 ᵂ = 1 es decir • 10 ᵂ = z ̄¹ de donde w = log ( 1 / z )….a su turno • w= |log z |= 0.362215688699463 similar a • 1/e =0.367879441171442 pues hay solo una diferencia ínfima de ∆ = • w = 10 ̄ᶻ , lo que significa que w = 1/ 10 ᶻ , es decir • W 10 ᶻ = 1, de donde 10 ᶻ = 1/w que sugiere que z= log w ̄¹ = log (1/w) entonces 10 ᶻ = 10ᶦᵒᶢ ¹∕ ᵂ = 1/w = w ̄¹ De donde π²- 10ᶻπ - m = 0 se convierte en π² -w ̄¹π -m = 0 0.00566375247197931

33. Valor de π desde w y m • Que genera las soluciones : • π₁ = [w ̄¹ + √ ( w ̄² + 4 m )] / 2 • π₂ = [w ̄¹ - √ (w ̄² + 4 m )] / 2 , donde siendo e = 10 ᶻ = w ̄¹ = 1/ 0.367879441171442 la ecuación de e bien podría transformarse en: • ( 10 ) ⁽ ̄ᵂ ⁾ • e = 10 , (siendo loge + logw =0 ) • π = [w ̄¹ ± √ (w ̄² + 4m) ]/ 2…si se reemplaza e = w ̄¹ , • 10 ⁽̄ᵂ⁾ 2 [ 10 ⁽̄ᵂ⁾ ] • π = [10 ± √ ( 10 + 4m ) ] / 2

34. Progresión de adición y producto factorial- teorema sumatorio • Existe una manera de convertir una cantidad aditiva en otra factorial mediante la constante de conversión apropiada. • Teorema 1: • De manera general se tendría para n₁>o ,o, n₁ positivo o natural : • Σx = n ₀+ 2 ( n₁ – 1 ) para n₁< 3 ; 0¡ = 1 v Σ0 = 1; 1¡ = 1 v Σ1=1; • Así n₀ = 1, n₁= 1, n₂=3, n₃= 6, n₄= 10, n₅= 15, etc. • En donde para n₁>3 se debe añadir un sumando de potencia de 3ᵐ así: • Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + 3ᵐ ( aquí m=0 y m=1 hasta n₅ = 15 )…En general: • Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + [ (n-1) (n-2) (n-3) ] ⁽ ⁿ¯⁴ ⁾⁽ⁿ¯⁵⁾ 3ᵐ y así sucesivamente en cadena según el grado de complejidad en n o enésimo.(Formula general hasta n₅)

35. Deducción de la función conversión por despeje de la formula x!=fv ∑x (donde fv será la función de conversión o función variante )

36. Tabla de la relación de funciones sumatoria y factorial

37. Proporcionalidad interfuncional

38. Proporcionalidad interfuncional

39. Interpretación de la proporcionalidad o relación interfuncional y su recta asociada • La pendiente de la recta tangente asociada es 28,052 pero existe patrón de función antes que de proporcionalidad lineal estricta , además se observa una curva con bastante vejiga lo que muestra una gran fluctuación de la función y un patrón irregular antes y después del valor de 2 en que la coordinación de progresividad de los valores de ambas funciones se altera ya que si bien factorial es mayorante respecto de sumatoria antes del valor de 2 no lo es, sino que se muestra como minorante mientras sumatoria parecería mayorante..este punto de inflexión hace verificar que la proporcionalidad varia y no se mantiene constante y que por tanto quizá las funciones asociadas de conversión tendrán esta fluctuación de manera inmanente a su comportamiento numérico . Y ello marcara el cambio decisivo en las relaciones de proporcionalidad interfuncional .

40. Influjo probable de la función de conversión en la relación interfuncional • .Así pues verificamos mas bien una inversión de la proporcionalidad en las relaciones entre funciones especiales que procederían del producto de otras dos funciones , una de las cuales actuaria como constante k- funcional de convertibilidad para generar la otra función de mayorante relativo o minorante relativo según el caso..en esto lo mas interesante será observar el patrón de la función asociada de conversión y su variación o inflexión en valores para generar los mayorantes o minorantes funcionales relativos de orden especial, como parte de estas funciones procedentes del producto de funciones…

41. Valor de la pendiente de la recta asociada a la relación interfuncional • El valor de la pendiente de la recta asociada a la curva de relación interfuncional que es m= 28.052 parece estar relacionado con el duplo del producto de 3 constantes a saber: m= 2 e ϕπ = 28.052 pero en realidad es algo mas del duplo, es 2.03016733312156, que es aproximadamente la raíz sexta de 70, entonces: • m=( ⁶√ 70) πϕe , donde ϕ = 1,61803398874989 ( numero áureo el cual elevado a la 3 y disminuido en 1 configura una constante k que a su vez elevada a la 6 y aumentada en 1 genera el numero e así: ϕᶟ - π = k = 1,09447532390996, de donde k⁶ + 1 = e; además dado que k= ⁶√(e -1) se tiene ϕᶟ =π+k = π + ⁶√( e – 1 ), es decir : ϕ =ᶟ√ [π + ⁶√( e – 1 )] , lo cual

42. La pendiente de la recta en la curva factorial en términos de e y π • Generaría la expresión: • m = ( ⁶√ 70)πeᶟ√ [π + ⁶√( e – 1 )] aproximadamente donde ϕ ya no aparecería pues cantidades como π y e estarían por dentro y por fuera del radical en el calculo de la pendiente. No obstante el relacionar un numero de oro como ϕ presente en la naturaleza y aquí en nuestro mundo ideal de rectas y curvas funcionales resulta un punto mas a favor de la presencia de ϕ en nuestro mundo aparte de que: • ϕ² = ϕ + 1 y consecuentemente: ϕ² - ϕ – 1 = 0, que configura las raíces cuadráticas :

43. Valores hallados del numero áureo • ϕ = [1 + ­ √ 1 + 4 ]/ 2, de donde: ϕ₁ = [1 + √5]/2 y ϕ₂= [ 1 - √5]/2, es decir ϕ₁ = 1.61803398874989 y • ϕ₂= -0.618033988749895, que es igual a –(ϕ – 1 ) , esto es: ϕ₂ = –(ϕ – 1 ) , de donde se genera ϕ₂ + (ϕ – 1 )= 0 lo que equivale a sostener que: ϕ = 1 - ϕ₂ , lo que configura que la suma de estas raíces da 1, siendo una de ellas el numero áureo descrito y evidenciado en los cálculos de los datos de esta curva, así: ϕ + ϕ₂ = 1 , donde ϕ = ϕ₁ que como números de reflexión mutua no son mas que el numero dorado y una de las raíces cuadráticas de la función cuadrática descrita previamente arriba mientras que la segunda raíz difiere del numero áureo pero mantiene cierta simetría aurea con el 1 al ser el sustraendo de la unidad que configura el minuendo áureo, es decir al ser un cierto minorante negativo respecto del mayorante áureo..aquí la suma de este mayorante y minorante configuran la unidad por cuanto uno de los dos números es negativo…es como si el segundo numero fuera el numero antiaureo u opuesto funcional que existe como raíz cuadrática en la función del nombre y que igual anula el valor total al aplicarse como valor variable en la función cuadrática asociada a números áureos así.

44. El áureo negativo , inverso de un anti-áureo” • El numero - 1.61803398874989 que es – ϕ₁ surge del inverso de ϕ₂, es decir – ϕ = 1/ ϕ₂, que equivale a : • -ϕ₁ ϕ₂ = 1 , que a su vez seria: - ϕϕ₂ = 1 de donde se obtiene: 1 + ϕ₁ ϕ₂ = 0 que también se expresaría: • 1 + ϕϕ₂ = 0. Por otra parte dado que ϕ + ϕ₂ -1 = 0 se tiene que : 1 + ϕϕ₂ = ϕ + ϕ₂ - 1 de lo cual se infiere que: • 1 + ϕϕ₂ - ϕ = ϕ₂ - 1, y, ϕ (ϕ₂ - 1) - (ϕ₂ - 1) + 1 = 0, por lo cual: (ϕ – 1 ) (ϕ₂ - 1) + 1 = 0,asi: (ϕ₁ – 1 ) (ϕ₂ - 1) + 1 = 0.Y entonces: ϕϕ₂ - ϕ - ϕ₂ + 1 +1 = 0, es decir: • ϕ₁ ϕ₂ - Σ ϕ + 2= 0 que equivale a ϕ₁ ϕ₂ - (ϕ₁+ ϕ₂ ) + 2= 0

45. Numero áureo, relaciones especiales • ϕ ϕ₂ - (ϕ + ϕ₂ ) + 2= 0 de lo que puede deducirse que: • ∑ ϕ - ϕ ϕ₂ = 2.Y factorizando ϕ + ϕ₂ - ϕ ϕ₂ = 2 puede • suponerse que: ϕ ( 1 - ϕ₂ ) = (2 - ϕ₂) y concluirse que: • ϕ =( 2 - ϕ₂ ) / ( 1 - ϕ₂ ) mientras que : ϕ₂ ( 1 - ϕ ) = (2 – ϕ) • Que equivale a : ϕ₂ = ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ )…en todo esto se observaría que aunque no hay sino un solo numero áureo en realidad este se define indirectamente también a partir de la resta de 1 menos ϕ₂ ,la segunda raíz aurea así: ϕ = 1 - ϕ₂ , es decir ϕ = 1 - ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ ), que equivale a : ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ ) + ϕ – 1 = 0 que generaría una nueva ecuación cuadrática aurea de la forma:- ϕ² + ϕ + 1 = 0.

46. Soluciones cuadráticas áureas • Que configura las raíces cuadráticas: • ϕ = [-1 + ­ √ 1 + 4 ]/ - 2 con raíces análogas a las de la anterior ecuación de este tipo ϕ₁ y ϕ₂.Donde • ϕ₁ = [-1 ­ √ 5 ]/ - 2 • ϕ₁ = 1.61803398874989 y en que ϕ₂= = [-1 + √ 5 ]/ - 2 • ϕ₂= -0.618033988749895

47. La presencia del numero áureo • En una segunda instancia tenemos que : • ϕᶟ - π = k , y k⁶ + 1 = e, con lo cual se tiene que: • (ϕᶟ - π )⁶ + 1 = e , lo cual supondría que podemos despejar el numero áureo en termino de otros numero y viceversa o igualar a cero así: (ϕᶟ - π )⁶ - e + 1 = 0 (ecuación para 3 algunas constantes clásicas).Si se despeja la constante π por ejemplo el calculo podría introducirse en ecuaciones en que no figura el numero áureo…en este caso: ϕᶟ -π = ⁶√ (e – 1) de lo cual: • π = ϕᶟ - ⁶√ (e – 1) y al mismo tiempo e = (ϕᶟ - π )⁶ + 1. • Nótese que ϕ = (1 + √ 5 ) / 2 = 1 – [ (1 - √ 5 )/2 ] (numero áureo ) y que esta proporción cabe en estas regularidades.

48. Tabla de datos para la imagen de factorial en sumatoria

49. Imagen de la función sumatoria a partir de valores del factorial de x

50. Variación de la pendiente de la recta promedio de esta proporcionalidad interfunciones • La pendiente de la recta tangente a la curva de proporcionalidad corta en 2 puntos la función y vale 0,0241…no obstante como la relación no es lineal sino funcional nos hallamos ante una función sumatoria que procede del producto de 2 funciones una la factorial y otra quizá la de conversión inversa por cuanto estamos reduciendo de una función de mayor magnitud a otra de menor valor, es decir la función factorial es ordinariamente mayorante respecto de la sumatoria…exceptuando el valor 2! = 2 que altera la coordinación de proporcionalidad ordinaria por cuanto ∑2 = 2¡ = 3 por lo cual observamos una fluctuación de concavidad o protuberancia en la curva que difiere el patrón general antes y después del valor de 2.