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Fasi del Problem Posing

Fasi del Problem Posing. Accettare il dato Elencare gli attributi E - se - non Elenco delle alternative Fare composizione. A cura di Alberta De Flora. Applicare la metodologia sopra descritta al seguente esempio: 1 X 2 X 3 = 6 2 X 3 X 4= 24 3 X 4 X 5 = 60 4 X 5 X 6 = 120

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Fasi del Problem Posing

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Presentation Transcript

  1. Fasi del Problem Posing • Accettare il dato • Elencare gli attributi • E - se - non • Elenco delle alternative • Fare composizione A cura di Alberta De Flora

  2. Applicare la metodologia sopra descritta al seguente esempio: 1 X 2 X 3 = 6 2 X 3 X 4= 24 3 X 4 X 5 = 60 4 X 5 X 6 = 120 5 X 6 X 7 = 210 6 X 7 X 8 = 336

  3. OSSERVAZIONI / DOMANDE 1. I risultati sono multipli di 6 2. Sono numeri in colonna e crescenti. 3. Come si fa a ricavare le regola che ci sta sotto? 4. A cosa serve? C'è qualche applicazione interessante? 5. Rappresenta un fenomeno naturale? 6. Sono forse catene di operatori? 7. A chi è venuto in mente? 8. Si può insegnare ai nostri allievi?

  4. OSSERVAZIONE 1 (01) ( Fase: Accettare il dato) 0 X 1 X 2 = 13 - 1 1 X 2 X 3 = 23 - 2 2 X 3 X 4 = 33 - 3 3 X 4 X 5 = 43 - 4 4 X 5 X 6 = 53 - 5 5 X 6 X 7 = 63 - 6 … più in generale: (n - 1 ) X n X ( n + 1 ) = n3 - n per n = 1, 2, 3, ...

  5. 0 X 1 X 2 = 0 6 = 6 X 1 = 6 X 1 X 1 1 X 2 X 3 = 6 18 = 6 X 3 = 6 X 3 X 1 2 X 3 X 4 = 24 36 = 6 X 6 = 6 X 3 X 2 3 X 4 X 5 = 60 60 = 6 X 10 = 6 X 5 X 2 4 X 5 X 6 = 120 90 = 6 X 15 = 6 X 5 X 3 5 X 6 X 7 = 210 126= 6 X 21 = 6 X 7 X 3 6 X 7 X 8 = 336 168 = 6 X 28 = 6 X 7 X 4 7 X 8 X 9 = 504 OSSERVAZIONE 2 (02) ( Fase: Accettare il dato )

  6. E’ possibile prevedere come continuerà ? Facciamo la seguente congettura 6 X 9 X 4 6 X 9 X 5 6 x 11 X 5 6 X 11 X 6 6 X 13 X 6 6 X 13 X 7

  7. OSSERVAZIONE 3 Nello schema lieto, ci sono configurazioni particolari ? Come si presentano all'interno bello schema i fattori uguali ? 1 X 2 X 3 = 6 2 X 3 X 4 = 24 3 X 4 X 5 = 60 4 X 5 X 6 = 120 5 X 6 X 7 = 210 6 X 7 X 8 = 336 Cosa accade se ai inverte l'ordine dei fattori ?

  8. DOMANDA 1 C'è una configurazione particolari se i fattori si pensano come numeri pitagorici?

  9. ELENCARE GLI ATTRIBUTI A1. Ci sono tre numeri naturali A2. I tre numeri sono consecutivi A3. I numeri sono collegati dall'operazione di moltiplicazione A4. Il secondo e il primo fattore di ogni riga, così come i1 terzo fattore e il secondo differiscono di 1 A5. I1 terzo fattore e il primo di ogni riga differiscono di 2 A6. I risultati sono multipli di 6 A7. I fattori presi in colonna differiscono di 1 a partire de 1, quelli delle prima colonna: differiscono dì 1 a partire da 2 quelli della seconda, ecc. A8. Si hanno diagonali di numeri pari alternate a diagonali di numeri dispari A9. Nella prima riga ci sono due fattori dispari, nella seconda ci sono due fattori pari e così via. A10. In ogni riga c'è almeno un fattore pari.  … Quali domande, osservazioni e congetture suggeriscano gli attributi sopra elencati?

  10. E-SE-NON (~A1)1 I numeri naturali implicati sono solo due. Si ha allora il seguente schema: 1 X 2 = 2 2 X 3 = 6 3 X 4 = 12 4 X 5 = 20 5 X 6 = 30 6 X 7 = 42

  11. Vale ancora l'01? Come si modifica? 1 X 2 = 2 = 22 - 2 2 X 3 = 6 = 32 - 3 3 X 4 = 12 = 42 - 4 4 X 5 = 20 = 52 - 5 5 X 6 = 30 = 62 - 6 6 X 7 = 42 = 72 - 7

  12. 0 X 1 = 0 2 – 0 = 2 1 X 2 = 2 6 – 2 = 4 2 X 3 = 6 12 – 6 = 6 3 X 4 = 12 20 – 12 = 8 4 X 5 = 20 30 – 20 = 10 5 X 6 = 30 42 – 30 = 12 6 X 7 = 42 Cosa accadrà alla 02?

  13. Si generalizzerà nella: [( n-1 ) X n]-[n X (n+1)] = 2n

  14. 1 X 3 X 5 = 15 33 2 X 4 X 6 = 48 24 = 6 X 4 57 3 X 5 X 7 = 105 30 = 6 X 5 87 4 X 6 X 8 = 192 36 = 6 X 6 123 5 X 7 X 9 = 315 42 = 6 X 7 165 6 X 8 X 10 = 480 … (n -2) X n X (n+2) ... 6 X (n-1) ALTERNATIVE DI A2 (~A2)1: i fattori di ogni riga differiscono di 2 uno dall'altro Si ha allora:

  15. 1 X 4 X 7 = 28 52 2 X 5 X 8 = 80 30 = 6 X 5 82 3 X 6 X 9 = 162 36 = 6 X 6 118 4 X 7 X 10= 280 42 = 6 X 7 160 5 X 8 X 11 = 440 48 = 6 X 8 208 6 X 9 X 12= 648 (~A2)2: I fattori di ogni riga differiscono di 3 uno dell'altro:

  16. 1 X 3 X 5 = 15 90 3 X 5 X 7 = 105 120 210 48 5 X 7 X 9 = 315 168 378 48 7 X 9 X 11 = 693 216 594 48 9 X 11X13 = 1287 264 858 11 X 13 X 15 = 2145 Come generalizzare? … (~A2)3: 1 tre numeri sono numeri dispari consecutivi

  17. Altri esempi di alternative. (~A1)2: I numeri implicati sono quattro. 1 X 2 X 3 X 4 = 24 2 X 3 X 4 X 5 = 120 3 X 4 X S X 6 = 360 4 X 5 X 6 X 7 = 840 5 X 6 X 7 X 8 = 1680 6 X 7 X 8 X 9 = 3024

  18. Analizzare le modificazioni in 01 e 02. (~AI)3: I numeri implicati sono cinque. Si lascia da studiare al lettore. (~A3)1: L'operazione che li unisce è l'addizione 1 + 2 + 3 = 6 2 + 3 + 4 = 9 3 + 4 + 5 = 12 4 + 5 + 6 = 15 5 + 6 + 7 = 19 6 + 7 + 8 = 21

  19. La 01 diviene: 3 X 2 3 X 3 3 X 4 3 X 5 3 X 6 3 X 7 Quali congetture si possono fare sulla decima riga? E sulla n-esima ? La 02 diviene:

  20. … = 6 3 … = 9 3 … = 12 3 … = 15 3 … = 18 3 … = 21

  21. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 4 2 + 3 + 4 + 5 = 14 4 3 + 4 + 5 + 6 = 18 4 4 + 5 + 6 + 7 = 22 4 5 + 6 + 7 + 8 = 26 4 6 + 7 + 8 + 9 = 30 FARE COMPOSIZIONE Componiamo (~A3)1 con (~Al)2 Si ha: Cosa accade se gli addendi sono cinque, cioè (~Al)3 ° (~A3)1?

  22. Quali previsioni o congetture si possono fare? Altri esempi di composizione. (~A2)3 ° (~A3)1 1 + 3 + 5 = 9 = 3 X 3 2 + 4 + 6 = 12 = 3 X 4 3 + 5 + 9 = 15 = 3 X 5 4 + 6 + 8 = 18 = 3 X 6 5 + 7 + 9 = 21 = 3 X 7 6 + 8 + 10 = 24 = 3 X 8

  23. (~A2)3 ° (~A3)1 Sì ha allora: 1 + 4 + 7 = 12 = 3 X 4 2 + 5 + 8 = 15 =3 X 5 3 + 6 + 9 = 18 = 3 X 6 4 + 7 + 10 = 21 = 3 X 7 5 + 8 + 11 = 24 = 3 X 8 6 + 9 + 32 = 27 = 3 X 9

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