Riemann: un gigante sulle spalle dei giganti

1. Riemann: un gigante sulle spalle dei giganti Rossana Tazzioli Université de Lille 1

2. Scopo : • Mostrare i forti legami che intercorrono tra i lavori di Riemann in matematica « pura » e quelli in matematica « applicata » • Mostrare che i suoi lavori di matematica e di fisica fanno parte di un ampio programma di ricerca che si prefigge di fornire un’interpretazione unitaria dei fenomeni fisici.

3. Bernhard Riemann (1826-1866) • Riemann nacque a Breselenz (Regno di Hannover) nel 1826; suo padre era un pastore protestante • Dal 1840 al 1842 frequentò il Liceo a Hannover • Alla morte della nonna, si trasferì al Liceo di Lüneburg, molto vicino a Quickborn dove viveva la sua famiglia. Ebbe in questo periodo i suoi primi problemi di salute.

4. Nel 1846 si iscrisse alla Facoltà di Teologia dell’Università di Gottinga. Molto presto passò alla Facoltà di Filosofia che comprendeva anche la matematica. Gauss fu tra i suoi insegnanti. • Nel 1847 si trasferì all’Università di Berlino, dove incontrò Jacobi, Dirichlet, Steiner e Eisenstein, che ne influenzarono le future ricerche. • Nel 1848 ci furono disordini a Berlino contro il re. Riemann si schierò a difesa del sovrano. • Nel 1849 torno all’Università di Gottinga, seguendo i consigli del padre. Cominciò a frequentare i seminari di fisica matematica di Gauss e Weber. • Nel 1851: Inauguraldissertation (analisi complessa)

5. Nel 1853: Habilitationsschrift (analisi reale) (pub.1868) • Nel 1854: Habilitationsvortrag (principi della geometria) (publ. 1868) • Nel 1855 Gauss morì; Dirichlet si trasferì all’Università di Gottinga • Nel 1857 Riemann divenne professore straordinario all’Università di Gottinga • Nel 1859 andò a Parigi dove incontrò Bertrand, Biot, Bouquet, Hermite, Puiseaux e Serret. Divenne professore ordinario all’Università di Gottinga. Pubblicò il suo celebre lavoro di teoria dei numeri (ipotesi di Riemann) • Nel 1862 sposò Elise Koch • Dal 1863 al 1865 fu a Pisa con Enrico Betti • Nel 1866 tornò in Italia dove morì il 20 luglio a Selasca (Lago Maggiore)

6. Riemann: un vero “gigante”….. • Analisi complessa (superfici di Riemann, condizioni di Cauchy-Riemann …) • Analisi reale (integrale di Riemann, uso dei contro-esempi …) • Topologia (connessione, “Querschnitte”,…) • Geometria differenziale (varietà Riemanniane, tensore di curvatura di Riemann) • Teoria dei numeri (ipotesi di Riemann) • PDE • Teoria delle curve algebriche • Teoria delle funzioni abeliane

7. Matematica pura e applicata I • La teoria di Riemann delle funzioni di variabile complessa ha uno stretto legame con la teoria del potenziale in due dimensioni. In effetti, Riemann aveva seguito le lezioni del celebre fisico Wilhelm Weber, a Gottinga, nel 1849 e l’anno successivo i seminari di fisica tenuti da Gauss e Weber. • Il “problema di Dirichlet”, centrale nella matematica del XIX secolo, riguardava sia l’analisi sia la fisica matematica (in particolare la teoria del potenziale). Per dimostrare il suo celebre teorema di rappresentazione conforme, Riemann risolve un particolare problema di Dirichlet.

8. Matematica pura e applicata II 3. L’idea di “Querschnitte” si trova in una sua nota di elettrostatica (pubbl. 1876). Tale idea gli era venuta in seguito a delle discussioni con Gauss su questioni di fisica matematica (lettera di Riemann a Betti). 4. In un lavoro dedicato alla propagazione delle onde (1860) Riemann ha introdotto uno strumento fondamentale per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali: la funzione di Green generalizzata. Facendo riferimento a questo lavoro, numerosi matematici hanno utilizzato questo stesso metodo per risolvere equazioni differenziali di tipo parabolico (Helmholtz, Betti) e con diverse condizioni al contorno (problema di Neumann o di Dirichlet).

9. ..... sulle spalle dei giganti Nei suoi appunti sulla “filosofia naturale” (circa 1853) Riemann spiega qual è il suo “lavoro principale”: si trattava di fornire una nuova interpretazione delle leggi della natura atta a spiegare le mutue interazioni tra gravitazione, calore, luce, magnetismo e elettricità. E aggiungeva: “Sono stato condotto a questo principalmente dallo studio dei lavori di Newton, Eulero e, d’altra parte, di Herbart.”(publ. 1876).

10. Un passo indietro (Newton)….. Newton, Principia (1726), « quello spirito sottilissimo che pervade i grossi corpi » Lettera a Bentley: « E’ inconcepibile che materia bruta e inanimata possa […] operare e influire su altra materia senza reciproco contatto. […] Che la gravità possa essere innata, intrinseca ed essenziale alla materia […] è per me una tale assurdità che io credo che nessun uomo capace di pensare in modo coerente in materia di filosofia possa accettarla. »

11. Un passo indietro (Euler)… Eulero, Nova theoria magnetis (1751): « Non ho mai dubitato che tutti gli effetti della natura derivino da cause meccaniche e ho sempre preferito confessare apertamente la mia ignoranza piuttosto che dire che qualcosa accade senza causa. » Eulero, Nova theoria lucis et colorum (1746): « i moti luminosi sono dovuti al moto vibratorio dell’etere; i fenomeni elettrici sono causati dalla compressione e rarefazione del mezzo etereo che fluiva all’interno del corpo. » Eulero, Lettere a una principessa tedesca (1746): la propagazione dei fenomeni gravitazionale sono dovuti al moto dell’etere.

12. Un passo indietro (Herbart) ….. Johann Friedrich Herbart (1776-1841), uno dei maggiori filosofi anti-idealisti. Professore a Gottinga, fu succeduto da Lotze di cui Riemann seguì le lezioni e che apprezzava e insegnava la filosofia di Herbart. “Atto psichico” (o “rappresentazione”): un atto di autoconservazione che l’io oppone alle perturbazioni del mondo esterno. Un flusso continuo di rappresentazioni passa dall’io alla coscienza e viceversa. Le relazioni tra le rappresentazioni seguono le leggi della meccanica. Riemann cita esplicitamente la psicologia di Herbart in vari scritti filosofici: “Neue mathematische Principien der Naturphilosophie”, redatto in marzo 1853; vedi anche la sua lettera al fratello Wilhelm del dicembre 1853.

13. Un passo indietro (Herbart) ….. Riemann: « Quando la nostra conoscenza del mondo è vera? ». Quando « la connessione delle nostre rappresentazioni corrisponde alla connessione delle cose », e la connessione delle cose si deduce « dalla connessione dei fenomeni », in accordo con la filosofia di Herbart. Riemann identifica l’io con il mondo spirituale, la coscienza con il mondo fenomenico, l’atto psichico con il mezzo etereo. E’ dunque condotto a supporre che « lo spazio sia riempito da una sostanza che scorre con continuità attraverso gli atomi e da qui scompaia dal mondo dei fenomeni (mondo materiale) per entrare nel mondo spirituale ».

14. Riemann, Neue math. Prinzipien der Naturph. I Sulla base della filosofia di Herbart, Riemann costruisce il suo modello di etere. Le deformazioni di questo mezzo, supposto un fluido omogeneo e isotropo, possono studiarsi con le leggi della teoria dell’elasticità (Cauchy e Navier, anni 1820). Riemann fissa una particella di etere che è individuata al tempo t e al tempo t’ rispettivamente dalle coordinate

15. Riemann, Neue math. Prinzipien der Naturph. II Riemann calcola poi la variazione della sua particella di etere dal tempo t al tempo t’ che denota con δ(ds). Ipotesi fondamentale : ogni variazione (della forma differenziale) della particella è dovuta a un fenomeno fisico che tende a modificare la particella stessa. Tale particella si oppone a questa variazione con una forza uguale e contraria, ed è questa forza che le consente di propagare il fenomeno attraverso lo spazio. Vi sono diversi tipi di forze che provocano differenti variazioni della particella: gravitazione, attrazione (o repulsione) elettrostatica, luce, calore, attrazione (o repulsione) elettromagnetica.

16. Se δ(ds)=0, ossia se la particella non varia la sua forma dal tempo t al tempo t’, allora essa non propaga alcuna forza poiché lo spazio non subisce alcuna deformazione dovuta al fenomeno. • Se la variazioneδ(ds) è non nulla, allora un fenomeno fisico ha luogo nello spazio e la particella lo propaga meccanicamente. • Riemann cercava di dare la formula corretta per le diverse forze fisiche come la gravità, il calore e la luce. • Riemann spiegava attraverso il suo modello diversi fenomeni fisici.

17. Riemann, « Neue Theorie des Rückstandes… » • L’esperimento di Kohlrausch : Se si caricava una bottiglia di Leyda (condensatore) e poi si scaricava e si lasciava isolata, si osservava una carica residua. Perché? Riemann (1854) : opponendosi al suo stato elettrico, un corpo tendeva a diminuire o ad aumentare la densità di elettricità in esso contenuta a seconda che si trovasse in uno stato elettrico positivo o negativo, con una pressione che dipendeva dalla densità di carica del corpo e dalla sua natura. Il lavoro fu inviato agli Ann. der Physik, ma Kohlrausch (tra gli editors del giornale) gli chiese tali cambiamenti che Riemann decise di ritirare il lavoro.

18. Riemann, “Ein Beitrag zur Electrodynamik” Gauss (1835): “due particelle in moto relativo si attraggono o si respingono non proprio nello stesso modo che se fossero in quiete” ma mediante una certa forza….. Gauss a Weber (1845): l’elettricità si propaga nello spazio non istantaneamente ma “in maniera simile alla luce”. Riemann (1858): “… gli effetti elettrodinamici … si lasciano spiegare se si suppone che l’effetto di una massa elettrica su di un’altra non avvenga istantaneamente, ma si propaghi con una velocità costante (uguale alla velocità della luce nei limiti dell’osservazione). Con questa ipotesi l’equazione differenziale per la propagazione della forza elettrica è la stessa che vale per la propagazione della luce e del calore radiante.” Riemann ritirò l’articolo prima della sua pubblicazione.

19. Riemann, PartielleDifferentialgl. und derenAnwend. aufphysikalischeFragen, 1876 Riemann cerca di descrivere le deformazioni dell’etere nelle immediate vicinanze di due particelle interagenti. A questo scopo, suppone che l’etere possieda delle particolari proprietà fisiche che garantiscano la propagazione dei fenomeni elettrici nello spazio. Riemann perviene allora, usando la classica teoria di Lagrange, a un sistema di equazioni differenziali che esprimono il flusso di etere nello spazio.

20. Fisica e geometria Riemann, “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria” (1854): le forze di interazione tra le particelle sono alla base della geometria stessa dello spazio; esse determinano i fondamenti della geometria. Riemann, “Commentation mathematica…” (1861): la propagazione del calore legata a una variazione di curvatura dello spazio. Questo è in accordo con il modello di etere esposto nei “Fragmente…” per una particella di etere: è lo spazio stesso a propagare i fenomeni fisici variando la propria curvatura.

21. Prima di Einstein… • Beltrami cercava le deformazioni elastiche di un etere in grado di propagare i fenomeni elettromagnetici. • Maxwell cercava un’interpretazione meccanica (attraverso la fluidodinamica) delle sue proprie equazioni del campo elettromagnetico. • Clifford (The common sense of exact sciences, 1885): “se non fosse più semplice per i fisici assumere che lo spazio vari la propria curvatura” e che sia la resistenza a tale variazione la responsabile della propagazione dei fenomeni nello spazio.

22. Riemann, « Fragmente », 1850 « Così per esempio, si può elaborare una vera e propria teoria matematica, in sé compiuta che proceda da leggi elementari valevoli per singoli punti fino ai fatti nello spazio riempito con continuità che ci è effettivamente dato, senza distinguere se si tratta della forza di gravità o dell’elettricità o del magnetismo o del calore …»