Įvadas

1. Įvadas Paprastai kombinatorika suprantama kaip matematikos sritis, kurioje tiriami klausimai, kiek skirtingų kombinacijų, tenkinančių vienokias ar kitokias sąlygas, galima sudaryti iš turimų objektų. Kombinatorika atsirado 16 amžiuje ir buvo susijusi su azartiniais lošimais. Buvo tiriama, keliais būdais galima išmesti kokį nors akių skaičių, lošiant dviem ar trim kauliukais, arba keliais būdais galima gauti, pavyzdžiui, du karalius, lošiant kortomis. Pastaraisiais metai kombinatorikos vystymasis glaudžiai siejasi su optimizavimo uždavinų sprendimu, šifravimo ir dekodavimo uždavinias bei kitomis informacijos teorijos problemomis.

2. Bendrieji kombinatorikos dėsniai BirutėJarašiūnienė

3. Sumavimo dėsnis Jei kokiam nors objektui A pasirinkti yra m būdų, o kitam objektui B pasirinkti yra n būdų, tai pasirinkti “arba A, arba B” yra m + n būdų Pastaba. Taikant taip suformuluotą sumavimo dėsnį, reikia žiūrėti, kad nei vienas objekto A pasirinkimo būdas nesutaptų su kuriuo nors objekto B pasirinkimo būdu. Jei tokių sutapimų yra k, tai susidaro m + n – k pasirinkimo būdų. Pavyzdys. Pintinėje yra 12 obuolių ir 10 apelsinų. Jonas pasirenka arba obuolį, arba apelsiną.Keliais būdais Jonas gali paimti vaisių.Aišku, kad Jonas obuolį gali pasirinkti 12 skirtingų būdų, o apelsiną – 10 skirtingų būdų. Vadinasi, pasirinkti arba obuolį, arba apelsiną galima 12 + 10 = 22 būdais.

4. Sandaugos dėsnis Jei objektui A pasirinkti yra m būdų, o po kiekvieno tokio pasirinkimo objektą B galima pasirinkti n būdais, tai porą (A, B) pasirinkti nurodytąja tvarka galima m  n būdais. Pavyzdys. Pintinėje yra 12 obuolių ir 10 apelsinų. Jonukas pasirenka arba obuolį, arba apelsiną, o paskui Onutė ima ir obuolį, ir apelsiną. Kada Onutei didesnė pasirinkimo laisvė: ar kai Jonukas paima obuolį, ar kai apelsiną?Tarkime, Jonukas pasirinko obuolį. Tada Onutei galimų pasirinkimo būdų yra 11  10. Jei Jonukas būtų pasirinkęs apelsiną, tai Onutei paimti ir obuolį, ir apelsiną būtų galima 12  9 būdais. Kadangi 11  10 > 12  9, tai Onutei didesnė pasirinkimo laisvė bus tada, jei Jonukas pasirinks obuolį.

5. Priskirties ir išskirties dėsnis Sakykime, kad kai kuriems iš N turimų daiktų būdingos savybės1,2,…,n. SimboliuN(i,j,…,k) pažymėkime skaičių daiktų, turinčių savybes i,j,…,k (į kitas tų daiktų savybes nekreipiame dėmesio). Jei reikės pabrėžti, kad imami tik tie daiktai, kurie neturi kurios nors savybės, tai tą savybę rašysime su brūkšneliu. Pavyzdžiui,N(1,2,4') žymi skaičių daiktų, turinčių savybes 1, ir2,bet neturinčių savybės4. Tada priskirties ir išskirties dėsnis bus užrašomas taip:

6. Pavyzdys. Pasinaudodami priskirties ir išskirties formule, apskaičuokime, kiek tarp natūraliųjų skaičių nuo vieneto iki 100 yra skaičių, kurie nesidalo nei iš 2-jų, nei iš 3-jų, nei iš penkių. Tarkime, 1– tai skaičiaus savybė dalintis iš 2-jų, 2 – tai skaičiaus savybė dalintis iš 3-jų, o 3 – tai skaičiaus savybė dalintis iš 5-ių. Tada Vadinasi