180 likes | 329 Views
Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach. Mirosław Kowaluk Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski.
E N D
Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach Mirosław Kowaluk Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski
Niech P = {p1, ... , pn} będzie zbiorem punktów na płaszczyźnie. Dla każ-dego z punktów należących do S określamy obszar Voronoi zawierający punkty płaszczyzny, dla których dany punkt jest najbliższy spośród punktów z S, tzn.: VD(pi) = {x: ij d(pi,x) d(pj,x)}. Podział płaszczyzny na obszary Voronoi nazywamy diagramem Voronoi.
Triangulacją Delaunay dla zbioru punktów P (DT(P)) nazywamy graf dualny do diagramu Voronoi, którego wierzchołkami są punkty z P, a krawędzie łączą wierzchołki należące do sąsiednich obszarów Voronoi.
Minimalnym drzewem rozpinającym dla zbioru punktów P (MST(P)) nazywamy drzewo o wierzchołkach w punktach z P, którego suma długości krawędzi jest minimalna.
1. Dla = 0, R(x,y,) jest odcinkiem xy . x y = 0,8 = 0,95 Dla danego zbioru P zawierającego n punktów w Rm-skeletonami nazywamy rodzinę grafów o wierzchołkach z P, parametryzowaną przez wartość , takich, że dwa punkty x,y P są połączone krawędzią, gdy żaden inny punkt z P nie należy do obszaru R(x,y,), gdzie: 2. Dla 0 < < 1, R(x,y,) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu d(x,y)/2, których brzegi zawierają oba punkty x i y.
= 1 = 2 = x y 4. Dla = , R(x,y,) jest nieskończonym pasem prostopadłym do prostej przechodzącej przez x i y, którego brzeg zawiera x i y. 3. Dla 1 < , R(x,y, ) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu d(x,y)/2 i środkach odpowiednio w punktach (1-/2)x+(/2)y oraz (/2)x+(1-/2)y.
Zastosowania. Modelowanie powierzchni. (http://www.iah.bbsrc.ac.uk/phd/gisruk95.html)
Analiza zdjęć medycznych. (http://noodle.med.yale.edu/~robinson/)
z z y y x x w Własności -skeletonów. -skeleton dla zbioru punktów P i = 1 nazywamy grafem Gabriela (GG(P)) (Gabriel,Sokal 69), a dla = 2 nazywamy grafem relatywnego sąsiedztwa (RNG(P)) (Toussaint 80). Twierdzenie (Kirkpatrick,Radke 85). MST(P) RNG(P) GG(P) DT(P)
Konstrukcja –skeletonów. Twierdzenie (Supowit 83). RNG(P) w R2 można znależć w czasie O(n log n). Twierdzenie (Matula,Sokal 84). GG(P) w R2 można znaleźć w czasie O(n log n). Twierdzenie (Jaromczyk,Kowaluk 87) –skeletony (dla 1 2) w R2można wyznaczyć z DT(P) w czasie O(n).
Twierdzenie (Chazelle,Edelsbrunner,Guibas,Hershberger,Seidel,Sharir 90). GG(P) w R3 może mieć (n2) krawędzi. Fakt. RNG(P) w Rm dla m > 3 może mieć (n2) krawędzi.
L(u,v) D(u,v) Niech L(u,v) oznacza długość najkrótszej ścieżki w grafie łączącej wierz-chołki u i v spójnego grafu G w R2, a D(u,v) oznacza odległość między u i v. Współczynnik rozpięcia S grafu G definiujemy jako S = max (u,v) G L(u,v)/D(u,v) . Twierdzenie (Keil,Gutwin 92). Współczynnik rozpięcia DT(P), gdzie |P| = n, wynosi O(1). Twierdzenie (Bose,Devroye,Evans,Kirkpatrick 02). Współczynnik rozpięcia RNG(P), gdzie |P| = n, wynosi (n). Współczynnik rozpięcia GG(P), gdzie |P| = n, wynosi O(n1/2). u v
grafy bez czworokątów grafy bez trójkątów grafy acykliczne grafy planarne Grafy definiowane przez różne obszary.
Uogólnienie dla dowolnych grafów. Niech G = (V, U, E) będzie grafem, w którym V oznacza zbiór wierzchołków, U V jest wyróżnionym zbiorem wierzchołków, E oznacza zbiór krawędzi. Krawędzie grafu G mają dodatnie wagi. Niech MG(p,q) oznacza zbiór środków najkrótszych ścieżek łączących wierzchołki p i q. Możemy zdefiniować różne nowe rodzaje grafów.
Załóżmy, że najkrótsze ścieżki w G są jednoznacznie określone (zbiory MG są jednoelementowe). GGf(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj) F wtedy i tylko wtedy, gdy w U nie istnieje punkt (różny od ui i uj), który leży bliżej punktu p = MG(ui, uj) niż ui, uj. Załóżmy, że żadne dwie najkrótsze ścieżki w G nie są równe. GGc(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj) F wtedy i tylko wtedy, gdy domknięte koło DG(v, r), gdzie v V i r = minv V {r: DG(v, r) zawiera ui i uj}, nie zawiera żadnego innego wierzchołka należącego do U. Otrzymujemy następującą zależność: MST RNG GGc GGf DTc DTf
Inicjatywa EuroCORES – European Collaborative Research Program EuroGIGA – Graphs in Geometry and Algorithms Projekt – Spatial Decompositions and Graphs (VORONOI) Ośrodki uczestniczące w projekcie: • Berlin, • Bonn, • Bruksela, • Graz, • Linz, • Lugano, • Sevilla, • Warszawa.
Otwarte problemy. • Rozmiar RNG(P) w R3. • Wartość , dla której dana krawędź przestaje należeć do -skele-tonu. • Wartość , dla której -skeleton przestaje mieć rozmiar liniowy. • Oszacowanie współczynnika rozpięcia dla 1 2. • Sposoby dekompozycji dużych grafów. • Kompresja dużych grafów. • Obliczenia rozproszone.