MATEMATIKOS MOKYMAS – LAIKE ĮSTRIGĘS PASAULIS

1. MATEMATIKOS MOKYMAS – LAIKE ĮSTRIGĘS PASAULIS Rimas Norvaiša 2012m. birželio 11 d.

2. Apie ką šis pranešimas? • Apie atotrūkį tarp mokyklinės matematikos ir universitetinės matematikos (šiuolaikinės matematikos). • Šio atotrūkio priežastį nurodo pranešimo pavadinimas. • Šioje konferencijoje apie atotrūkio problemą jau buvo diskutuota: • A. Apynis ir E. Stankus (2005) • A. Apynis ir J. Šinkūnas (2007) • J. Kaminskienė, D.Rimkuvienė, E.Laurinavičius (2010) (ir kitur ,,Alfa plius omega”)

3. Tai pasaulyje žinoma problema • Felix Klein1907 m. rašo apie ,,dvigubą trūkį”. • Jis išleidžia savo paskaitas (2 tomus) skirtas mokyklinės matematikos mokytojams. • 2007 m. IMU/ICMI pradeda The Klein Project • Tikslas paruošti leidinį su įvairių šiuolaikinės matematikos temų aprašymais skirtais mokytojams. Šiame projekte gali dalyvauti kiekvienas iš mūsų. • Bet tai nesprendžia problemos. Tarptautinės organizacijos, kaip ir nac. šalių vyriausybės, paprastai tik sukuria problemas.

4. Pagrindiniaiargumentai: • Matematikos istorija, ypač 19 a. ir po to. • Matematikos filosofija, ypač matematikos esmės ir prigimties samprata. • Šie argumentai naudojami vertinant mokyklinės matematikos programą. • Nacionalinių mokyklinės matematikos ugdymo sistemų reformų apžvalga paaiškina kodėl problema lieka neišspręsta iki šiol daugelyje šalių. • Svarbiausia siūlomas planas: ką daryti?

5. Matematikos programa teigia: • ,,Matematika - pasaulio pažinimo instrumentas leidžiantis ugdyti ir ugdytis gebėjimus skaičiuoti,logiškai mąstyti ir formalizuoti, analizuoti, įrodyti, kritiškai vertinti, lavinantis vaizdinį,erdvinį ir stochastinį mąstymą. ....” • Pirma problema – matematikos apibūdinimas. • Antra problema - matematinis mąstymas. • Trečia problema – matematikos kurso turinys.

6. Kas yra matematika? • Instrumentas pažinti pasaulį? • Vienu metu (kelis šimtmečius) matematika tokia buvo. • G. Galileo – gamtos knyga parašyta matematikos kalba. • I. Newtonas ir kiti – panašiai galvojo. • Antikoje buvo du priešingi požiūriai: Platono ir Aristotelio. • Mūsų programa perima Aristotelio požiūrį: sąvokos formuojamos apibendrinant realią patirtį.

7. 19 a. pokyčiai matematikoje • Esminiai pokyčiai susiję su B. Riemannu • Argumentai pagrįsti geometrine-vaizdine-jutimine intuicija keičiami loginiu pagrindimu. • Matematinė sąvoka (intensija=savybės, ekstensija=objektų rinkinys) apibrėžia objektą savybėmis vieninteliu būdu. • B.Riemanno ir G.Frege sąvoka, atitinka G.Cantoro aibę. • Joks realios tikrovės daiktas ar reiškinys nebėra tiesioginis matematikos objektas. • Išskyrus mokyklinę matematiką, ji nepakito.

8. Matematinis mąstymas • Psichologijos požiūriu: skirtingi tipai • 1. Rudimentinė aritmetika • 2. Neformalioji matematika – sveikas protas • 3. Formalioji matematika – kartais prieštarauja sveikam protui • Dabartinė mokyklinė matematika moko 2-ojo tipo matematinio mąstymo, be tolydaus perėjimo į trečią tipą (F.Kleino ,,dvigubas trūkis”).

9. Universitetinėje matematikoje • Matematikos objektas vienareikšmiškai apibrėžiamas savo savybėmis. • Matematiniai samprotavimai reiškiami teiginiais = sakiniai, kurie yra teisingi arba klaidingi. Tokių sakinių natūralioje kalboje paprastai nėra (pvz. vardai neapibrėžia vienareikšmiškai tikrovės objektų). • Todėl matematikoje yra įmanoma naudoti visas logikos taisykles, pvz. negalimo trečiojo dėsnį (ne tik silogizmus). • Tai būtinos matematinio įrodymo sąlygos.

10. Mokyklinėje matematikoje • Matematinį mąstymą mokiniai parodo kai: • keldami hipotezes probleminėse situacijose ir jas tikrindami; • analizuodami problemą, uždavinį suskaido į lengviau įveikiamas, geriau išnagrinėtas dalis; • nustatydami objektų bei reiškinių sąryšius ir dėsningumus; • įrodydami teiginių teisingumą ir t.t. • Paskutinis nėra įmanomas be minėtų sąlygų, o kiti yra Descarteso (1596-1650) mokslinio metodo principai.

11. Mokyklinės matematikos turinys • Visi bendrojo ir išplėstinio kurso faktai išdėstyti programoje buvo žinomi iki 18 a. • Tokios šiuolaikinės matematikos sąvokos kaip funkcija, begalinė aibė, riba, logikos kvantoriai, jei apibrėžiamos, tai naudojamos ne iš esmės. Sudaro šiuolaikiškumo iliuziją • Pvz. funkcija naudojama tik kaip išraiška (formulėms), t.y. L. Eulerio laikų funkcijos samprata. Riba vadovėliuose neapibrėžiama, tai galima apsieiti ir be logikos kvantorių

12. Mokyklinės fizikos programa • Tikslas – nuodugniau nagrinėti klasikinės ir moderniosios fizikos sritis. • Pastaroji sritis apima šviesos kvantines savybes, atomo sandarą, branduolinę reakciją. • Tarp uždavinių – pasirengti studijoms aukštojoje mokykloje. • Reikalaujama: nusakyti Lietuvos mokslininkų vaidmenį fizikos raidoje, nusakyti fizikos ateities perspektyvas. • Kaip atrodytų, jei ,,fiziką” keisti ,,matematika”?

13. Matematiniai modeliai • Pavyzdžiui, nesant ribos tikslios apibrėžties, funkcijos išvestinė taške suprantama kaip ,,liestinės krypties koeficientas”, arba kaip ,,funkcijos kitimo greitis” . • Kyla klausimas, kaip fizikai moksleiviams paaiškina judančio kūno momentinį greitį? • Universitetinėje matematikoje šie dalykai pateikiami, kaip matematinės sąvokos interpretacija. • Mokykloje matematinio modelio aiškinimas neįmanomas, nes ,,modelis” tapatus realiai tikrovei.

14. Kodėl egzistuoja atotrūkis? • F.Quinn (2012, Notices AMS) paaiškinimas. • Tai, kas įvyko su matematika 19 a. buvo revoliucija. • Skirtingai nuo gamtos mokslų revoliucijų, matematikoje analogiškas reiškinys liko nesuvoktas ir neįvertintas. • Šio matematikų bendruomenės neapsižiūrėjimo kaina – mokyklinė matematika vis dar dėstoma remiantis 19 a. metodologija.

15. Ką daryti? • Pirma: visiems pripažinti ligos diagnozę. • Mokyklinės matematikos programos keitimas yra nepakankamais. Skirtingai nuo F. Kleino laikų, būsimi matematikos mokytojai Lietuvoje nestudijuoja universitetinės matematikos. • Antra: reikia keisti viską kartu, t.y. matematikos mokytojų ruošimą, programas ir vadovėlius. • Dar daugiau, visuomenė turi žinoti, kad yra dar ir ne mokyklinė matematika. • Trečia: imtis matematikos populiarinimo.

16. Ačiū už dėmesį