Sumy i działania na nich

1. Sumy i działania na nich Sumy występują w całej matematyce, musimy więc mieć podstawowe narzędzia do radzenia sobie z nimi. Oto wprowadzenie do notacji oraz ogólne techniki, które sprawiają, że sumy stają się bardziej przyjazne.

2. Co o sumach? • Notacja. • Sumy i rekurencje. • Przekształcenia sum. • Sumy wielokrotne. • Metody ogólne. • Rachunek różnicowy i różniczkowy.

3. Notacja. Istnieją dwa sposoby wyrażania sumy zadanych wyrazów: • Notacja wielokropkowa. We wzorach z notacją ‘…’ jesteśmy zmuszeni do wypełnienia kropek liczbami zgodnymi z wzorcem ustalonym przez okalające elementy. • Notacja Sigma. Notacja wprowadzona przez Josepha Fouriera (1820), której nazwa pochodzi od greckiej litery. Notacja każe nam włączyć do sumy dokładnie te wyrazy ak, których indeks k, jest liczbą całkowitą zawierającą się pomiędzy 1 a n włącznie.

4. Mamy do czynienia z sumami ogólnej postaci: , gdzie każde z ak jest liczbą, która została jakoś określona oraz każdy element sumy nazywamy wyrazem bądź składnikiem. Notacja wielokropkowa często podsuwa użyteczne przekształcenia, w szczególności kombinacje sąsiadujących składników. Bywa bowiem, że zauważymy upraszczający pomysł dopiero wtedy, gdy zobaczymy przed oczyma całą sumę. Zbyt wiele szczegółów może być jednak denerwujące.

5. Oznaczenie jest notacją Sigma oznaczoną, której zmienna indeksowa k nazywana jest zmienną związaną ze znakiem sumy. Obok formy oznaczonej funkcjonuje również notacja Sigma uogólniona, uważana za bardziej użyteczną. W celu określenia zakresu indeksów, które zmienna k może przyjąć, możemy po prostu napisać jeden lub więcej warunków pod znakiem, . W ogólnym przypadku nie ma dużej różnicy między obiema formami notacji Sigma, ale postać uogólniona pozwala nam rozważać sumy względem zbiorów indeksów niekoniecznie będących kolejnymi liczbami całkowitymi. Możemy na przykład wyrazić sumę kwadratów wszystkich nieparzystych liczb naturalnych mniejszych niż 100:

6. Największą zaletą uogólnionej notacji Sigma jest to, że jest ona wygodniejsza przy przekształcaniu niż postać oznaczona. Przypuśćmy, że chcemy na przykład zmienić zmienną indeksową k na k+1. W postaci uogólnionej mamy i łatwo jest dostrzec o co chodzi - możemy dokonywać podstawień niemal w ciemno. Natomiast w postaci oznaczonej mamy i nie jest już tak łatwo dostrzec, co się stało, a ponadto możemy łatwiej popełnić błąd. Z drugiej strony postać oznaczona jest ładniejsza, a jej zapis jest krótszy.

7. Sumy i rekurencje. Jedną z metod wyliczania wartości sumy jest zauważenie subtelnego związku między sumami a rekurencjami. Suma jest równoważna rekurencji , dla n>0.

8. Na przykład, jeśli an jest równe stałej plus pewna wielokrotność n, to odpowiednia rekurencja przybiera ogólną postać , dla n>0. Otrzymujemy, że , , itp. W ogólności rozwiązanie tej rekurencji przedstawia się w postaci Gdzie A(n), B(n) i C(n) są współczynnikami zależącymi od ogólnych parametrów α, β oraz γ. Metoda repertuaru każe nam spróbować wykorzystać jako R(n) w tej rekurencji proste funkcje zmiennej n w nadziei, że uda się nam znaleźć stałe parametry α, β i γ w przypadkach, w których rozwiązanie jest szczególnie łatwe.

9. Przyjęcie wymusza , więc α=1, β=0, γ=0, Przyjęcie wymusza , więc α=0, β=1, γ=0, Przyjęcie wymusza , więc α=0, β=-1, γ=2, skąd ostatecznie Jeśli więc chcemy wyliczyć to odpowiednia rekurencja sprowadza się do podstawienia α=β=a, γ=b, a rozwiązaniem jej jest .

10. Na odwrót, wiele rekurencji można sprowadzić do sum. Specyficzne metody wyliczania sum, pomogą nam rozwiązywać rekurencję, które w inny sposób byłyby trudne. Taką właśnie rekurencją jest Wieża z Hanoi: , dla n>0. Można przedstawić ją w szczególnej postaci po podzieleniu obu stron przez 2n , dla n>0. Teraz dla otrzymamy Stąd wynika A zatem

11. W poprzednim wprowadzeniu zastąpiliśmy Tn przez Sn na mocy prostej obserwacji, że równanie można z powodzeniem podzielić obustronnie przez 2n. Chwyt ten jest szczególnym przypadkiem ogólnej metody, która pozwala uprościć dowolną rekurencję postaci do sumy. Pomysł polega na przemnożeniu obu stron przez czynnik sumacyjny sn: . Czynnik jest tak sprytnie dobrany, aby spełnić . W tym przypadku, uwzględniając, że otrzymamy rekurencję Zatem A rozwiązaniem wyjściowym rekurencji jest:

12. Przekształcenia sum. Kluczem do sukcesu przy działaniu na sumach jest zdolność zamiany jednej sumy na inną prostszą lub bliższą celu. Nietrudno jest do tego dojsc, jeśli poznamy pewne podstawowe prawa transformacji. Niech K będzie dowolnym skończonym podzbiorem zbioru liczb całkowitych. Sumę elementów zbioru K można przekształcać za pomocą trzech następujących prostych praw: • Prawo rozdzielności • Prawo łączności • Prawo przemienności

13. Prawo rozdzielności pozwala wyciągać stałe przed znak Sigma lub wprowadzać je pod ten znak. Prawo łączności pozwala rozbić znak Sigma na dwie części. Prawo przemienności gwarantuje nam możliwość przegrupowywania składników w dowolny sposób (tutaj p(k) oznacza dowolną permutację zbioru wszystkich liczb całkowitych. Jeśli na przykład K={-1,0,1}, natomiast p(k)=-k, to nasze prawa gwarantują prawo rozdzielności prawo łączności prawo przemienności

14. Wśród operacji na sumach funkcjonuje ważna reguła łączenia dwóch zbiorów Indeksów. Jeśli K i K’ są dowolnymi zbiorami liczb całkowitych, to Wynika to z ogólnych wzorów Zwykle stosuje się taki zabieg w celu połączenia dwóch prawie rozłącznych Zbiorów, tak jak w , dla Albo w celu wydzielenia pojedynczego elementu z sumy, tak jak we wzorze , dla

15. Operacja wydzielenia wyrazu poza sumę stanowi podstawę metody zaburzania, która często pozwala wyliczyć sumę w postaci zwartej. Pomysł polega na oznaczeniu niewiadomej wartości sumy przez Sn: Następnie przypisujemy Sn+1 na dwa sposoby: wydzielając pierwszys i ostatni wyraz sumy Na koniec pozostaje popracować nad ostatnią sumą i postarać się wyrazić ją za pomocą Sn. Jeśli się nam to uda, to otzrymamy równanie, którego rozwiązanie jest szukaną sumą.

16. Sumy wielokrotne. Składniki sum mogą być indeksowane niekoniecznie jedną, ale również dwoma lub więcej zmiennymi. Oto przykład sumy dziewięciu składników, określanych przez dwie zmienne indeksowe j oraz k: Stosujemy tu te same konwencje notacyjne i metody, jak w przypadku sum indeksowanych pojedynczo. Jeśli więc P(j,k) jest własnością zależną od j i k, to suma wszystkich wyrazów aj,k takich, że P(j,k) jest prawdziwe, może być zapisana w dwojaki sposób. Sumujemy względem wszystkich par liczb całkowitych j i k:

17. Dla sum wielokrotnych również wprowadzamy podstawowe prawo nazywane zamianą porządku sumowania, które uogólnia prawo łączności . Dla sum wielokrotnych zostało udowodnione również uogólnione prawo Rozdzielności . Zachodzące dla wszystkich zbiorów indeksów J i K.

18. Metody ogólne. • Znaleźć gdzieś rozwiązanie. • Zgadnij odpowiedź, udowodnij ją przez indukcję. • Zaburz sumę. • Skonstruuj repertuar. • Zamień sumy na całki. • Skomplikuj i uprość. • Zastosuj rachunek skończony. • Wykorzystaj funkcje tworzące.

19. Rachunek różnicowy i różniczkowy. Poznaliśmy wiele sposobów postępowania z sumami. Kolejną istniejącą możliwością, którą należy rozpatrzeć dokładniej jest rachunek różnicowy będący odpowiednikiem tradycyjnego rachunku różniczkowego. Rachunek różniczkowy opiera się na właściwościach operatora pochodnej D, zdefiniowanego jako Rachunek różnicowy oparty jest na własnościach operatora różnicy Δ, zdefiniownego jako

20. Jest to skończony odpowiednik pochodnej, w którym ograniczamy się do dodatnich całkowitych wartości h. W związku z tym h=1 jest najbliższe temu, co moglibyśmy otrzymać, gdyby rozważać „granicę” przy h→0, a Δf(x) jest Wartością dla h=1. Symbole D i Δsą nazywane operatorami, gdyż operując funkcjami dają nowe funkcje, są więc funkcjami funkcji produkującymi funkcje. Jeśli f jest odpowiednio gładką funkcją ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, to Df jest również funkcją ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych. Tak samo, jeśli f jest jakąkolwiek funkcją z liczb rzeczywstych w liczby rzeczywiste, to Δf też będzie taką funkcją. Wartości funkcji Df i Δf w punkcie x są określne przez podane wyżej definicje.

21. KONIEC Natalia Kosiarz