Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 4: V.A. MúLTIPLE Material de partida:

1. Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 4: V.A. MúLTIPLE Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 3) Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3 Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 26 Bartolo@dmae.upm.es http:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html

2. Variable aleatoria mútiple • V.A. BIDIMENSIONAL (v.a. Vectorial; “vector aleatorio” ) X : W --------> R (Xv.a.) Y : W --------> R (Yv.a.) (X,Y) v.a bidimensional X : W1 --------> R (Xv.a.) Y : W2 --------> R (Yv.a.) W=W1xW2

3. V.A. BIDIMENSIONAL (v.a. Vectorial; “vector aleatorio” ) Variable aleatoria mútiple X : W --------> R (Xv.a.) Y : W --------> R (Yv.a.)(X,Y) v.a bidimensional Espacio muestral de Rango Espacio muestral W WX,Y (NOTA: Transformación v.a múltiple)

4. Función de Distribución Conjunta {Xx, Y  y}={wR| X(w)x, Y(w)  y} FXY : R2 --------> R (x,y) -------> FXY(x,y)=P(Xx, Y  y)

5. Función de Distribución Conjunta (Ej. X,Y v.a discretas)

6. Función de Distribución Conjunta (Ej. X,Y v.a discretas)

7. X,Y v.a discretas Función de Distribución Conjunta

8. X,Y v.a continuas Función de Distribución Conjunta

9. “Casos particulares” de rangos de v.a. bidimensional X,Y v.a discretas: Rango conjunto de puntos X,Y v.a continuas: Rango superficie WX,Y Y X

10. Casos: Rango conjunto de líneas

11. Casos: Rango conjunto de líneas

16. f.d.p. Conjunta para (x,y) v.a’s discretas f.d.p. Conjunta para N v.a’s

18. Para N v.a’s

22. FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Definiendo como suceso condicionante B:

23. FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Para v.a.’s continuas, como:

24. FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Para v.a.’s continuas: Y diferenciando con respecto a x, tenemos las f.d.p:

25. FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y)

26. FD y fdp condicionales a un punto (X/Y=y) Para v.a.’s discretas: X={x1,.. xi. ..xN} e Y={y1, ... yj ..yM}

28. FD y fdp condicionales a un intervalo

29. Ejercicio fdp marginales y condicionales: Dada la fdp conjunta de las v.a.’s X e Y: 1.- Obtener las fdp marginales de X e Y 2.- Obtener la fdp condicional

30. Ejercicio fdp marginales y condicionales: Dada la fdp conjunta de las v.a.’s X e Y: 1.- Obtener las fdp marginales de X e Y

31. 2.- Obtener la fdp condicional

39. SUMA de v.a’s

40. SUMA de v.a’s

41. SUMA de v.a’s

42. SUMA de v.a’s

43. SUMA de v.a’s INDEPENDIENTES La f.d.p de la suma de dos v.a’s independientes es la convolución de sus f.d.p. individuales

49. Dos Funciones de Dos variables aleatorias (Z,W) será una v.a bidimensional si y sólo si: Caracterización de la v.a. Bidimensional (Z,W) DZ,W lugar geométrico de los puntos (X,Y) que se transforman en

50. Dos Funciones de Dos variables aleatorias Caracterización de la v.a. Bidimensional (Z,W) DZ,W lugar geométrico de los puntos (X,Y) que se transforman en W Y DZ,W Z X