Retour sur la notion de taux d’intérêt

1. Retour sur la notion de taux d’intérêt Taux d’intérêt réel, nominal, taux d’intérêt composé actualisation

2. 1. Taux d’intérêt réel / nominal

3. Supposons que je prête 100 € pour un an… x1 = x0 + x0 x i x1 = x0 (1+i) Avec i=5%=5/100=0,05 x0 est la somme initialement prêtée x1 la somme due au bout d’un an • Le taux d’intérêt est de 5 % (i= 5% = 5/100 = 0,05) • Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par… • L’inflation est de 3 % • Donc la valeur de l’euro aura été divisée par… 1,05 1,03 Les prix ont été multipliés par 1,03, la valeur de la monnaie a été divisée par 1,03

4. En prêtant 100 € me suis-je vraiment enrichi de 5 % ? • On m’a remboursé 5% d’euros en plus : je suis 1,05 fois plus riche. • Mais ces euros se sont dépréciés de 3% : ils valent 1,03 fois moins Passer de 100 à 101,94 C’est multiplier par 1,0194 C’est augmenter de 1,94% Au total on m’a remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94 1,94% • Donc le taux d’intérêt est en réalité de…

5. Rappelez la définition du taux d’intérêt réel et du taux d’intérêt nominal : Internet • Quel est le taux d’intérêt réel dans l’exemple précédent ? 1,94% Ou de façon approximative : Tx nominal – Tx d’inflation = 5-3 = 2% • Que signifie un taux d’intérêt réel négatif ? Tx nominal < Tx d’inflation

6. Retenons la formule(approximative) Tx d’int. réel (ir) =Tx d’int. nominal (in) – tx d’inflation (t) Etes vous capable d’écrire la formule rigoureuse ? Ir = [ (1+in) / (1+t) ] - 1

7. Quizz… • Une fois le contrat de prêt conclu, l’inflation favorise… X les créanciers les débiteurs • Quand les anticipations d’inflation sont fortes les prêteurs vont proposer… X des taux plus élevés des taux plus bas

8. 2. Taux d’intérêt composés

9. Supposons le taux d’intérêt égal à 3% • Je prête 100 euros pour une période de 10 ans. (on néglige ici l’inflation et on suppose que chaque année les intérêts s’ajoutent à la somme due) • De quelle somme serai-je remboursé ? On ne peut pas écrire : 3% pendant 10 ans égalent 30 % Car chaque année les intérêts représentent 3% d’une somme un peu plus importante !

10. Calcul d’un taux d’intérêt composé X 1,03 X 1,03 Que se passe-t-il après deux ans ? Départ Somme x0 Au bout de deux ans Somme x2 = x1 x 1,03 = x0 x 1,03 x 1,03 = x0 x 1,032 Au bout de trois ans Somme x3 = x2 x 1,03 = x1 x 1,03 x 1,03 = x0 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = x0 x 1,033 Au bout d’un an Somme x1 = x0 x 1,03 Que se passe-t-il après un an ? Que se passe-t-il après trois ans ? Et ainsi de suite à 10 reprises

11. D’où la formule xn= xo (1+i)n Avec xola somme initialement prêtée, xn la somme rendue après n années, i le taux d’intérêt en vigueur

12. Compliquons un peu • Je prête 200 € pour 12 ans • Le taux d’intérêt nominal est de 6% • Le taux d’inflation moyen est de 2% • Combien aurai-je gagné en € courants ? en € constants ?

13. En euros courants La somme rendue sera égale à 200 x (1+0,06)12 = 402,44 • La somme rendue a augmenté de 101,22% par rapport à la somme prêtée. • Rappel : un taux d’intérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroît la somme, non pas de 6 x 12 = 72 % mais de 101,22 %

14. En euros constants Première méthode (rigoureuse) Calculons rigoureusement le taux d’intérêt réel Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06 Mais la valeur de l’euro est divisée par 1,02 1,06 / 1,02 =1,0392 (taux d’intérêt réel = 3,92 %) 200 x 1,0392 12 = 317,32 €

15. En euros constants Deuxième méthode (approximative) Calculons approximativement le taux d’intérêt réel Taux d’intérêt réel = taux d’intérêt nominal – taux d’inflation = 6% - 2% = 4% 200 x 1,04 12 = 320,21 €

16. En euros constants Troisième méthode (rigoureuse) Puisqu’on me rembourse 402,44 € en euros courants Je n’ai qu’à les ramener à des euros constants Les prix ont été multipliés par 1,02 12 Le pouvoir d’achat de l’euro a été divisé par 1,02 12 Le résultat est le même qu’avec la première méthode 402,44 / 1,02 12 = 317,32 €