Temel Istatistik Terimleri ve Dagilimlar

1. Temel Istatistik Terimleri ve Dagilimlar

3. Temel tanimlar Yigini tanimlayan bir nicelikle �rneklemi tanimlayan bir nicelik birbirinden farklidir. Istatistik: Yigini temsil ettigi d�s�n�len verileri kullanarak hesaplanmis nicelikler Parametre: Yiginla �zdeslestirilen idealize edilmis nicelik. Parametreler direkt olarak �l��lemezler ve bu nedenle istatistikle tahmin edilirler. Parametreler Yunan harfleriyle istatistikler ise Roma harfleriyle g�sterilir.

4. Yigin ve �rneklem

5. Yigin ve �rneklem

6. Yigin ve �rneklem

7. Ortalama ve Standard Sapma Verilen degerlerin ortalamasi en az bir daha fazla anlamli basamakla g�sterilmelidir. Standard sapma ise en az �� anlamli basamaga kadar hesaplanmalidir. �rnek: NO3 �l��mleri = 6.9, 7.8, 7.9,7.1 Ortalama = 7.42 mg/l s = 0.499

8. Hassasiyet, Yanlilik ve Dogruluk

9. Yanlilik Yanlilik = y-m Yigin ortalamasinin (m) 8 mg/l oldugunu biliyorsak, yanlilik �l��m sonu�larinin ortalamasi (y) ile 8 mg/l arasindaki farktir. Yanlilik sistematik hataya isaret eder. Eger kaynagi tespit edilirse ortadan kaldirilabilir. Soru: Daha fazla sayida �l��m yapmak yanliligi ortadan kaldirir mi?

10. Hassasiyet Hassasiyet: Tekrar edilen �l��mler arasindaki farklara g�re belirlenir. �l��mler arasi farklardan kaynaklanan bu sa�ilmalar deneydeki rasgele (deneysel) hatalar ile ilgilidir. Eger hassas bir �l��m s�z konusuysa bu hatalar k���kt�r. Hata b�y�kl�g� daha fazla sayida �l��m yapip ortalamasi alinarak saglanabilir. Soru: Deneysel hatalar tamamen ortadan kaldirilabilir mi?

11. Deneysel Hatalar (g�r�lt�) Ger�ek deger m ve �l��len deger yi ise Yi = m + ei ei: hata payi, g�zlemlerdeki dalgalanma ya da bir deneyden digerine degisen fark. Bir yanlislik, yanlilik, bir gaf degil, istatistiksel �l�menin ka�inilamaz bir sonucudur. Aletin durumu Kullananin becerisi Numune alma sirasindaki hatalar Ortam sartlarindaki farkliliklar

12. Normallik,Rastsallik ve Bagimsizlik

13. Rastsallik Rastsal, bir yigina ait g�zlemlerden rasgele birinin �ekilmesi durumunda, yigindaki her bir elementin esit �ekilme sansi olmasi demektir. Rastsallik terimi aksi s�ylenmedigi takdirde, genellikle yanlilik veya bir korelasyonun olmadigi anlamina gelir.

14. �rnek

15. �rnek,Devam

16. �rnek Ancak rastsalligin kontrol�nde deneye etki eden t�m fakt�rler g�z �n�ne alinmalidir. �rnegin nitrat �rneklerinde deneyi yapan kisilere g�re veri �izildiginde sekildeki gibi bir durum �iktiginda verilerin rastsalligindan s�z edemeyiz.

17. Bagimsizlik Bir dizi g�zlemden bilinmeyen nedenlerden deneysel hatalarin bir s�re etkin olarak kaldigini varsayalim. �yle ki birinci g�zlem y1 y�ksekse ikinci g�zlem y2 de y�ksek oluyor. Bu durumda y1 ve y2 istatistiksel olarak bagimsiz degildir. Bir veri setinin bagimsiz olmamasi hesaplanan varyans degerini ciddi sekilde bozar ve normal ya da t dagilimina bagli olarak yapilan �ikarimlar hatali olabilir.

18. Bagimsizlik, �rnek Verilen nitrat verilerinin bagimsiz olup olmadigi hakkinda ne diyebilirsiniz?

19. Bagimsizlik �evresel veriler s�z konusu oldugunda, aritma tesisi giris �ikis konsantrasyonlari , irmaktaki su kalitesi degerleri, bunlarin bir �nceki �l��m degerinden etkilenmemesi m�mk�n degildir. �ikis kalitesi �ok k�t� ise bu bir s�re devam edecektir. O nedenle bu tip verileri degerlendirirken otomatik olarak bagimsizdir varsayimini yapamayiz. Veri setinde bagimsizliktan s�z edilemiyorsa, bu durumda �zel y�ntemler kullanilmalidir.

21. Standartlastirilmis Normal Dagilim

22. �rnek

23. t dagilimi (Student�s t) Herhangi bir normal degiskeni standartlastirmak i�in m ve s�yi bilmemiz gerekir. z = (y-m)/s s = s t = (y-n)/s

24. t dagilimi Eger �rneklem b�y�kl�g� sonsuz ise (N ? ?) t dagilimi normal dagilima esittir. Eger �rneklem b�y�kl�g� k���k ise kuyruklar daha yayilmis hale gelir ve t degerleri kullanilir. t tablosunu kullanirken serbestlik derecesi(sd) gerekir. Sd (Tabloda df, degree of freedom = N-1)

26. �rnek 20 birimli bir �rneklem i�in verinin %5�nin b�y�k olacagi t degeri ka�tir? Normal dagilimda karsilik gelen z degeri ka�tir? t = 1.724 (Tablodan). Excel�de =tters (2*olasilik;Serbestlik derecesi) = tters(0.1;19) z = tablodan = 1.64 Excel�de =normsters (1-olasilik) = normsters(0.95)

27. Ortalama ve Varyansin Dagilimi T�m istatistikler rastsal degiskenlerdir ve ortalama ve bir varyansi olan bir olasilik dagilimi ile tanimlanabilirler. Ortalamanin �rnekleme dagilimini incelemek i�in n birimli rastsal �rneklemleri aldigimizi varsayalim ve her birinin ortalamasini hesaplayalim. Bir �ok farkli ortalama y degeri elde ederiz ve olasilik dagilimi seklinde y dagilimini �izebiliriz. Bu ortalamanin �rneklem dagilimini verir. Eger g�zlemlerin (y) ortalama civarindaki sapmalari rastsal ve bagimsizsa o zaman y��nin dagilimini ortalamasi m ve varyans s2/n olacaktir.(s2/n ortalamanin varyansi. )

28. Ortalamanin Varyansi

29. �rnek 27 adet nitrat numune �l��m�n�n ortalamasi 7.51 mg/l. s = 1.383. Ortalamanin standart hatasi ka�tir? sy = s/ vn=0.266 mg/l

30. Karsilastirmalar Eger yigin varyansi bilinmiyorsa, ki �ogunlukla b�yledir, normal dagilimi karsilastiracagimiz referans dagilim olarak kullanamayiz. Bunun yerine sy yerine sy�yi yerlestirip t dagilimini kullaniriz. �rnek: Nitrat verisi (n=27) i�in y�= 7.51 mg/l m = 8 mg/l. Eger ger�ek ortalama 8 mg/l ise 7.51 gibi d�s�k bir �l��m ortalamasi �ikma olasiligi nedir?

31. �rnek, devam

32. �rnek t referans dagilimi bir olayin sirf sans eseri olma olasiligini verir. Dagilimin kuyruk b�lgesine d�sen bir olay siradisi olarak d�s�n�lebilir. Eger olay siradisi bulunmuyorsa buna �istatistiksel olarak anlamli� denir.

33. Anlamlilik Testleri ve G�venlik Araligi Istatistiksel t�mevarim: Bilinmeyen yigin parametreleri hakkinda deneysel veriye dayanarak degerlendirme yapmak Diyelim ki ger�ek yigin ortalamasinin degerini bilmiyoruz. Eger nitrat numunesi �l��mlerinin ortalamasini 7.51 bulduysak, yiginin ger�ek ortalamasinin 8.00 mg/l olma olasiligi nedir? Bu degerlendirme i�in anlamlilik testleri ve g�venlik araligi kullanilan en yaygin iki metottur.

34. Anlamlilik Testleri 1. Hipotez testi seklinde olur: Hipotez testi i�in bir �sifir hipotezi�, bir �alternatif hipotez� ve bir de testin sonucunun belirlenecegi anlamlilik d�zeyi degeri (a) �ya ihtiya� vardir. Test edilecek hipotez: Ho : m = 8 mg/l Ho �sifir hipotezi� veya �ge�ersizlik� hipotezi diye adlandirilir. Ha :m<8 veya m>8 (tek y�nl�) veya Ha: m?8 (�ift y�nl�) H: �alternatif hipotez� Anlamlilik d�zeyi: 0.05 (sifir hipotezinin yanlislikla reddedilme riski)

35. 1. Hipotez Testleri, �rnek Nitrat �l��m sonu�lari i�in ortalamanin 8.0 mg/l oldugunu a =0.05 d�zeyinde test edin. ��z�m: Ho=m=8 mg/l Ha=m<8 mg/l (tek y�nl� test) a=0.05 Hesaplanan t, a=0.05 yani %5 olma olasiligi olan t istatistiginden k���kse, Sifir hipotezi reddedilecektir. Serbestlik derecesi 26 i�in bu kritik t degeri tablodan bulunur. tk=t(26,0.05)=-1.706 t<tk .

36. Hipotez Testleri, �rnek t<tk . -1.842<-1.706. Bu durumda alternatif hipotez lehine sifir hipotezi reddedilir. Yani ortalamasinin 7.51 bulundugu nitrat �l��mlerinin ait oldugu yiginin ortalamasinin %5 riskle, 8 olmadigini s�yleyebiliriz.

37. �ift Y�nl� Test Ho : m = 8 mg/l Ha : m ? 8 mg/l (�ift y�nl� test) a=0.05. Bu durumda t referans dagiliminin hem negatif hem de pozitif kuyruk alanlari dikkate alinir. Simetriden dolayi bu kuyruk alanlari birbirine esittir. 0.05/2 = 0.025. Serbestlik derecesi 26 i�in kritik t degeri tablodan bulunur. tk=t(26,0.025)=�2.056 (excel�de =tters(0.05;26)) t = �1.842 t>tk (-1.842>-2.056). Sifir hipotezini reddetmek i�in yeterli kanit yok.

38. Tek Y�nl� �ift Y�nl�

39. Hangi Test? Genel olarak bir yaniti yok. Problemin i�erigi hangi testin kullanilmasi gerektigini belirler. �rnegin eger pozitif sapma bir sorun ama negatif sapma sorun degilse tek y�nl� test kullanilir. �rnegin y�ksek degerler kanuna uygunlugu ihlal etmek demek oldugu bir durumda uygunlugunu degerlendirmek ya da verimliligi artirilmasi bir bir A maddesi eklediginizdeki durumu degerlendirmek i�in tek y�nl� test diger taraftan �rnegin A maddesinin verimliligi degistirip degistirmedigine bakmak isterseniz �ift y�nl� testi kullanabilirsiniz.

40. 2. G�venlik Araligi Genellikle parametre degerinin hangi degerler arasinda kalacagini belirtmek daha bilgilendiricidir. a = 0.05 ise, yukaridaki ifade bize ger�ek degerin %95 ihtimalle g�venilirlik araligi i�inde oldugunu g�sterir.

41. �rnek Nitrat �l��mleri i�in %95�lik g�venlik araligini hesaplayin.

42. �zet Yigin: m,s,s2 �rneklem, y�,s Yiginin parametreleri �rneklemden elde edilen istatistikler yardimiyla hesaplanir. Istatistikler rastsal degiskenlerdir ve ortalamasi ve varyansi olan bir olasilik dagilimina sahiptirler. T�m deneyler �l��m hatasina sahiptirler. Dogruluk hem yanliligin hem de hassasligin bir fonksiyonudur. Bilimsel arastirmalarda istatistigin g�revi hatayi nicelendirmek ve karar vermek �zere veri kullanildiginda hatayi g�z �n�ne almaktir.

43. �zet Eger normal ana dagilimin ortalamasi m, varyansi s2 ise �rneklem ortalamasi y�, ortalamasi m ve varyansi s2 /n olan normal bir dagilima sahiptir. s2 bilinmiyorsa s2 ile tahmin edilir ve t dagilimi kullanilir. Hipotez testleri istatistiksel t�mevarim i�in kullanilan bir y�ntem olmakla birlikte basit bir karsilastirmayi bile gereksiz yere karmasiklastirirlar. G�venilirlik araligi istatistiksel olarak hipotez testlerinin karsiligi olup daha basit ve anlasilirdir. Yigin parametresinin d�smesi gereken araligi verir.