Insiemi Numerici

1. GLI INSIEMI NUMERICI

2. INSIEMI NUMERICI INSIEME DEI NUMERI NATURALI N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 . . . . } INSIEME DEI NUMERI RELATIVI Z = { ... -3, -2, -1, 0, +1 , +2 , +3 , +4 . . . . .}  INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI Q = { ..., -3/4,..., -2,..., -1,..., -1/3,...,+1/2,...+2/3,...+1,…,+3/2,...,+2,...,+15/7...} = ={ con n, m Z  m 0 } INSIEME DEI NUMERI REALI R presentano dopo la virgola una successione qualunque di cifre eventualmente anche infinita e non periodica es. 0,1011011101111011111... numero irrazionale

3. INCLUSIONI TRA GLI INSIEMI NUMERICI N Z Q  R R\Q = irrazionali

4. STRUTTURA ALGEBRICA UN INSIEME DOTATO DI UN’OPERAZIONE ossia di una organizzazione si dice STRUTTURA ALGEBRICA ESEMPI  in aritmetica si considerano N, Z, Q con l’addizione, la moltiplicazione…  in geometria si considerano il piano con le figure in esso contenute e delle applicazioni quali parallelismo, congruenza, traslazione, rotazione…  Se una struttura algebrica  è definita da un’operazione associativa  possiede l’ elemento neutro  per ogni elemento c’è il simmetrico  Se vale anche la proprietà commutativa GRUPPO ABELIANO  GRUPPO

5. PROPRIETÀ ELEMENTARI DEI NUMERI RAZIONALI • R1 È definita in Q un’operazione detta ADDIZIONEo SOMMA con le seguenti proprietà: •  a, b a + b = b + a (p. commutativa) •  a, b, c (a + b) + c = a + (b + c) (p. associativa) •  elemento 0 :  a a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro) •  a  un elemento (a) : a + (a) = 0 (elemento opposto) • R2 È definita in Q un’operazione detta MOLTIPLICAZIONE o PRODOTTO con le seguenti proprietà: •  a, b a b = b a (p. commutativa) •  a, b, c (a b) c = a (b  c) (p. associativa) •  elemento 1 :  a a  1 = 1  a = a (elemento neutro) •  a0  un elemento (1/a) : a  (1/a) = 1 (elemento inverso) •  a, b, c (a + b) c = a  c + b  c (p. distributiva) • Un insieme con le proprietà R1e R2 si dice CAMPO •  Q è un campo

6. PROPRIETÀ ELEMENTARI DEI NUMERI RAZIONALI • dalle proprietà R1 e R2 segue la possibilità di eseguire le quattro operazioni: • addizione e moltiplicazione • sottrazione ponendo a  b = a + ( b) • divisione ponendo a  b = a  (1/b) con b  0

7. STRUTTURA DELL’INSIEME Q • è definita una relazione d’ordine (  ) tra coppie di elementi di Q tale da verificare le proprietà: •  a a a (p. riflessiva) •  a, b se a b  b a  a = b (p. antisimmetrica) •  a, b, c se a  b b c  a  c (p. transitiva) •  a, b  Q si ha a  b o b a → comunque si prendano due numeri in Q è sempre possibile confrontarli con una relazine d’ordine  • si dice che l’ordinamento in Q è totale o Q è TOTALMENTE ORDINATO

8. PROPRIETÀ DELL’ORDINAMENTO IN Q • R3 È definita in Q una relazione d’ordine  compatibile con la struttura algebrica: •  a, b, c se a  b  a + c  b + c •  a, b, c se a  b  a  c  b  c • Da R1, R2 e R3 discendono tutte le regole del calcolo algebrico : • i principi di identità per la soluzione delle disequazioni → R3 • le procedure per la risoluzione delle disequazioni discendono dagli assiomi menzionati e dalle proprietà algebriche della somma e del prodotto espresse da R1e R2 • Se vale la proprietà R3 l’insieme è detto CAMPO ORDINATO •  Q è un CAMPO ORDINATO

9. RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DI Q • Si associa ad ogni numero razionale un punto della retta euclidea fissando: • l’origine al quale si associa il valore 0 • un punto arbitrario e distinto dal primo al quale si associa il valore 1, individuando il segmento orientato 01 che rappresnta l’unità di misura • un verso o orientazione • si ottiene una CORRISPONDENZA tra • i punti della retta che sono • numeri razionali  gli estremi dei segmenti orientati • OP commensurabili con il segmento 01 -5/2 +2/3  | | | | || | | | | -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

10. L’insieme R ha le stesse strutture di Q → verifica le relazioni R1, R2 e R3 Se Q e R hanno proprietà simili, in cosa si differenziano?

11. Q vs R La struttura di campo ordinato dei numeri razionali assolve alla maggior parte degli scopi pratici del calcolo algebrico, tuttavia esistono in Q grandezze non commensurabili tra loro esempio 1 la diagonale di un quadrato e il lato dello stesso

12. Q vs R • esempio 2 • il rapporto tra circonferenza e suo diametro è costante ma: • - è formato da una sequenza infinita di cifrenon periodiche

13. Q vs R esempio 3 due rettangoli hanno lati proporzionali se: la soluzione dell’equazione è : sezione aurea

14. Q vs R dopo aver disposto su di una retta i numeri razionali si è osservato che rimangono dei posti vuoti : dagli esempi è emerso che 2, , , e…  Q Vista l’inadeguatezza dell’insieme Q, è possibile ampliare tale insieme in modo da ottenere un campo ordinato i cui elementi siano in corrispondenza biunivoca con i punti della retta euclidea? Il candidato ideale sembra essere l’insieme R: R può essere messo in corrispondenza biunivoca con i punti della retta euclidea ?

15. INSIEMI LIMITATI o ILLIMITATI MAGGIORANTI – MINORANTI ESTREMO SUPERIORE – INFERIORE MASSIMO – MINIMO (DIGRESSIONE)

16. MAGGIORANTE DI UN INSIEME • DEFINIZIONE • Sia A ⊂ R. Diciamo che un numero b ∈ R è un maggiorante di A se è maggiore o uguale di ogni elemento di A, cioè: • b ≥ x, ∀x ∈ A • ESEMPI • A = {x ∈ R : − 1 ≤ x < 1}. b = 1, b = 5, b = 1000 sono maggioranti di A. Qualunque b ≥ 1 è maggiorante di A. •  A = [−1, 1) ∪ {2}. Tutti i b ≥ 2 sono maggioranti di A, b = 1.6 non è maggiorante di A.

17. INSIEME SUPERIORMENTE LIMITATO DEFINIZIONI Sia A ⊂ R. Diciamo che A è superiormente limitato se ammette dei maggioranti. Ovvero: se  M : x  M  x A ESEMPI  A = {x ∈ R : x < 1} è superiormente limitato.  B = [−1, 1) ∪ {2} è superiormente limitato.  C = {x ∈ R : x > 1} NON è superiormente limitato, non ammette maggioranti

18. MINORANTE DI UN INSIEME • DEFINIZIONI • Sia A ⊂ R. Diciamo che un numero a ∈ R è un minorante di A se è minore • o uguale di ogni elemento di A, cioè: • a ≤ x, ∀x ∈ A. • ESEMPI • A = {x ∈ R : − 1 ≤ x < 1}. • a = −1, a = −3, −5, a = −100 sono minoranti di A • Qualunque a ≤ −1 è minorante di A • B = [−1, 1) ∪ {2} • Qualunque a ≤ −1 è minorante di B

19. INSIEMI INFERIORMENTE LIMITATI • DEFINIZIONI • Sia A ⊂ R. • Diciamo che A è inferiormente limitato se ammette minoranti. • Ovvero • se  k : x  k  x A • ESEMPI • D = [−1, 1) ∪ {2}. D è inferiormente limitato • G = (−∞, 1). G è superiormente limitato, ma non inferiormente limitato: • tutti i numeri reali x ≥ 1 sono maggioranti di G, mentre non esistono • minoranti di G •  N ⊂ R èinferiormente limitato, ma non superiormente • Qualunque a ≤ 0 è un minorante di N, ma: • non esiste b ∈ R maggiorante di N

20. INSIEME LIMITATO DEFINIZIONI Sia A ⊂ R. Si dice che A è limitato se è contemporaneamente superiormente e inferiormente limitato. Ovvero: se  M, k :k  x  M  x A ESEMPIO L’intervallo [−5, π) è limitato. I suoi minoranti sono tutti i numeri reali x ≤ −5 Isuoi maggioranti sono tutti i numeri reali x ≥ π

21. MASSIMO DI UN INSIEME DEFINIZIONE Chiamiamo massimo dell’insieme A ⊂ R (e lo denotiamo maxA) un maggiorante xM dell’insieme A che appartiene all’insieme stessoOvvero xM= maxA  xM x  x ∈ A  xM∈ A. ESEMPIO A = (−5, 2]. Ogni x ≥ 2 èmaggiorante di A, xM= 2 è maggiorante di A xMappartiene ad A,  maxA= 2.

22. ESTREMO SUPERIORE DI UN INSIEME DEFINIZIONI Sia  A ⊂ R ,  A   e  A superiormente limitato. Chiamiamo estremo superiore di A il più piccolo dei maggioranti di A e lo denotiamo con supA. PROPRIETÀ Se ∃maxA allora ∃ supA e supA = maxA. Tuttavia può esistere supA senza che esista maxA. ESEMPIO A = (0, 2). x = 2 è supA ma non è maxA. B = (0, 2]. x = 2 è maxBe anche supB. Se un insieme A non è superiormente limitato, diciamo che supA= +∞ L  R  xA : x  L

23. CARATTERIZZAZIONE MATEMATICA DEL sup DEFINIZIONI Il supAè caratterizzato dalle seguenti due condizioni: M = supA  M  x ∀ x ∈ A (ovvero supAè un maggiorante di A)  ∀   0 , ∃ x ∈ A : M    x (ovvero supAè il più piccolo dei maggioranti di A, perché un qualsiasi altro numero reale M minore di supA non è più maggiorante di A) maggioranti di A M R M k’ k’’ k’’’…    | | | | | | | | | | A sup A = k

24. MINIMO DI UN INSIEME DEFINIZIONE Chiamiamo minimo dell’insieme A ⊂ R (e lo denotiamo minA) un minorante xm dell’insieme A che appartiene all’insieme stesso Ovvero xm= minA   xm  x ∀ x ∈ A  xm∈ A ESEMPIO A = [−5, 2) Ogni x ≤ −5 è minorante di A, xm = −5 è minorante di A xmappartiene ad A, minA = xm= −5. Ogni x ≥ 2 è maggiorante di A, x = 2 è maggiorante di A, ma NON appartiene ad A, quindi non ∃ maxA.

25. ESTREMO INFERIORE DI UN INSIEME DEFINIZIONI Sia A ⊂ R. Chiamiamo estremo inferiore di A il più grande dei minoranti di Ae lo denotiamo con infA. PROPRIETÀ Se ∃ minA allora ∃ infA e infA = minA. Tuttavia può esistere infA senza che esista minA. ESEMPIO A = (−√2,√2], inf A = −√2, ma non ∃minA. Se un insieme A non è inferiormente limitato, diciamo che infA = −∞ l  R  x A : x  l

26. CARATTERIZZAZIONE MATEMATICA DEL inf • DEFINIZIONI • L’infA è caratterizzato dalle seguenti due condizioni: • m = inf A   m  x ∀ x ∈ A(ovvero inf A è un minorante di A) •  ∀   0 , ∃ x ∈ A : m   x • (ovvero inf A è il più grande dei minoranti di A, perché un qualsiasi altro numero reale m  maggiore di infA non è piùminorante di A) minoranti di A A R … k’’’ k’’ k’ m  | | | | | | | | | | m + 

27. ESTREMI INFERIORE E SUPERIORE • PROPRIETÀ • Se esistono inf e sup di un insieme, • questi sono unici

28. INSIEME LIMITATO TAVOLA RIASSUNTIVA DEFINIZIONI: Sia i) X un insieme totalmente ordinato ii) E  X  E è LIMITATO SUPERIORMENTE se  M : x  M  x E  E è LIMITATO INFERIORMENTE se  k : x  k  x E  E è LIMITATO se  M, k : k  x  M  x E

29. ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE, MASSIMO - MINIMO TAVOLA RIASSUNTIVA DEFINIZIONI E  X un numero k, h X (k, h non necessariamente  E) si dice:  MAGGIORANTE di E se k  x  x E  MINORANTE di E se h x  x E NBUn insieme superioriormente/inferior. limitato ha molti maggioranti/minor. Si chiama ESTREMO SUPERIORE di E supE il minimo dei maggioranti Si chiama ESTREMO INFERIORE di E infEil massimo dei minoranti  MASSIMO di un insieme E:xME, xxM  xE→ xM è massimo per E MINIMO di un insieme E: xmE, xmx  xE→ xm è minimo per E

30. ESEMPI  A = {x ∈ Q : x2 − 2 < 0} A è limitato in R, ammette infe sup, ma non ha massimo e minimo Infatti si può anche scrivere A = {x ∈ Q : − √2 < x < √2} I maggioranti di A sono tutti i numeri reali x ≥ √2 I minoranti di A sono tutti i numeri reali x ≤ −√2, ma ±√2 Q e quindi ±√2 A. N.B. La scrittura (−√2,√2) è equivalente a {x ∈ R : − √2 < x < √2} e non a {x ∈ Q : − √2 < x < √2}.  B = {x ∈ R : x2 − 2 ≤ 0} = {x ∈ R : − √2 ≤ x ≤ √2}. B è limitato in R ed ha massimo e minimo. Infatti, stavolta ±√2 ∈ B

31. TORNIAMO ALLA STRUTTURA DELL’INSIEME R DEI NUMERI REALI

32. PROPRIETÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE R4  E  X con E   e :  xE  M x  M   sup E  X ovveroogni insieme E contenuto in X, non vuoto e limitato superiormente,  possiede un estremo superiore in X

33. ASSIOMA DI DEDEKIND La proprietà R4 dell’estremo superiore è detta anche ASSIOMA DI DEDEKIND o ASSIOMA DI CONTINUITÀ o DI COMPLETEZZA Siano A e B due classi contigue, ovvero due sottoinsiemi non vuoti e disgiunti di R (A,B  R; A ∩ B = ∅) la cui unione dà R, (A ∪ B = R ) e tali che ogni elemento di A sia minore di ogni elemento di B:  aA   bB → a < b Per ogni sezione A, B di R,  sR, detto ELEMENTO SEPARATORE delle classi , tale che a  s  b  aA e  bB ( → supA = s = inf B )

34. ASSIOMA DI DEDEKIND Geometricamente, la completezza significa che ovunque io tagli in due la retta reale R, il punto di confine s tra le due semirette rappresenta un numero reale La retta R è un continuo di punti Al contrario Q non è rappresentabile con una retta, perché è un sottoinsieme infinito ma con lacune R = Q ∪ (R \ Q) reali = razionali ∪ irrazionali

35. PROPRIETÀ DI R 1. Le operazioni aritmetiche definite su Q si estendono a R con analoghe proprietà (R1 e R2)  struttura algebrica 2. Su R c’è un ordinamento totale (R3)  campo ordinato 3. I numeri razionali sono densi tra i numeri reali (R4), ovvero tra due numeri reali qualsiasi esistono infiniti numeri razionali  è un insieme continuo di numeri 4. L’insieme dei numeri reali è completo: geometricamente vuol dire che ogni punto della retta è associato ad un unico numero reale. Questa proprietàpermette di risolvere equazioni come x2− 2 = 0 che non hanno soluzione in Q

36. DEFINIZIONE ASSIOMATICA DI R R, insieme dei numeri reali, è un insieme che soddisfa le proprietà R1, R2, R3e R4 ossia si tratta di un campo ordinato che soddisfa la proprietà dell’estremo superiore: i numeri reali sono continui, nel senso che non ci sono lacune L’insieme Q, insieme dei numeri razionali, soddisfa R1, R2 e R3 ma non R4 : esistono lacune , vedi incommensurabilità lato e diagonale del quadrato

37. INSIEMI INFINITI • Come si può confrontare la «numerosità» degli insiemi infiniti? • Confrontando gli insiemi numerici notevoli N, Z, Q e R è chiaro che: • ciascuno di questi insiemi possiede infiniti elementi • essendo N  Z Q R i numeri razionali sono più numerosi dei numeri interi e i numeri reali sono più numerosi dei razionali… • Come è possibile confrontare la NUMEROSITÀ di insiemi infiniti? • DEFINIZIONE: Due insiemi A e B si dicono di uguale CARDINALITÀ o POTENZA se possono essere messi in corrispondenza biunivocatra loro, cioè se esiste una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e viceversa • c’è una corrispondenza biunivoca tra N e Z → anche se Z ha più elementi di N, i due insiemi hanno la stessa cardinalità: sono EQUIPOTENTI Z = 0 1  1 2  2 3  3 4  4 5 5... n  n              N = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… 2n-1 2n 

38. INSIEME NUMERABILE • DEF.: • UN INSIEME SI DICE NUMERABILE se ha la stessa cardinalità di N • Z e Q sono numerabili • R non è numerabile

39. A PROPOSITO DI Q: NUMERI DECIMALI LIMITATI Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che si considerano i decimali: 1,4 = 1+ = Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che si considerano i centesimi: 1,41 = 1+ = Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola: 1,414 = 1+ … I numeri decimali limitati sono tutti numeri razionali

40. A PROPOSITO DI Q: NUMERI DECIMALI ILLIMITATI (PERIODICI) Non tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti. Il numero è razionale che si può scrivere come un decimale illimitato le cui cifre dopo la virgola si ripetono all’infinito: = 0,33333…. = (0,). Qua entra il concetto di limite. Si può troncate la successione di 3 ad ogni punto e ottenere: , , ,,….. Questa successione ha un limite e il suo limite è esattamente Ogni numero razionale può essere scritto o come un decimale finito o come decimale infinito periodico

41. FRAZIONI GENERATRICI: TRASFORMARE UN DECIMALE PERIODICO IN UNA FRAZIONE

42. FRAZIONI GENERATRICI: TRASFORMARE UN DECIMALE PERIODICO IN UNA FRAZIONE