Clase Logica proposicional I

1. LÓGICA MATEMÁTICA CONTENIDOS Proposiciones Valor de verdad Clasificación de las proposiciones Cuantificadores lógicos Conectivos lógicos Tablas de verdad

2. Lógica La lógica es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento es válido. El tema que nos ocupa es el de la lógica usada en matemática. Aquí trabajamos con elementos básicos llamados proposiciones. proposición • Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez. Valor de verdad • La veracidad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad.

3. Proposiciones Ejemplos: • Un triangulo tiene tres lados. Verdadero (V) • Verdadero (V) • 10 es múltiplo de 3 Falso (F) El carácter de verdadero o falso de una proposición se llama “Valor de verdad” lo representamos con (F) o (V) Representación de proposiciones Toda proposición puede representarse generalmente con letras minúsculas. “p”, “q”, “r”, “s”, “t”. Ejemplos: p: Los números pares son divisibles entre 2. q: e es un numero impar.

4. Clasificación de las proposiciones Las proposiciones pueden ser: • Simples o moleculares: Es la expresión que indica un solo hecho u enunciado. Cerradas: Son las que se puede determinar su valor de verdad. ejemplos: 1. Fumar es dañino para la salud. 2. Guatemala es un país Centroamericano. Abiertas: Son las que no podemos determinar su valor de verdad a menos que se asigne un valor a la variable. ejemplos: 1. y es divisor de 18. 2. x es un numero par digito. • Compuestas o atómicas: Es la unión de dos o mas proposiciones simples. ejemplo 1. Juan fue el Apóstol y Jesús fue el Mesías.

5. Cuantificadores lógicos Son signos que modifican a las proposiciones. Estos pueden ser: • Existenciales o particulares : se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto que cumplen con la condición o propiedad determinada. Además de “algunos”, se puede utilizar “hay, “existe o “algún. Es verdadera cuando hay por lo menos un elemento del conjunto universo que cumple con la condición establecida. Ejemplo: 1. es verdadera porque de 24 a + cumple la condición de ser mayores que 23. 2. Existe una figura que tiene tres lados. • Universales o absolutos : se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una condición o propiedad determinada. Además de “todos”, se puede utilizar “cualquiera o “cada. Es verdadero cuando todos los elementos de conjunto universo con la condición establecida. Ejemplo: 1. 5, x є N es falso porque no todos los números naturales son mayores a 25. 2. Todos los humanos tienen cerebro.

6. Conectivos lógicos Son símbolos o expresiones que se usan para unir proposiciones simples.

7. Ejemplos: Dadas las proposiciones: p: Los triángulos tienen tres lados. q: Los triángulos son polígonos regulares. Dada la proposición: p: Guatemala en un país de C.A. q: El volcán mas alto de Guatemala es el Pacaya. r: Una semana tiene 7 días. • pᴧq Los triángulos tienen tres lados yson polígonos regulares. • pѵq • Los triángulos tienen tres ladososon polígonos regulares. p→q • Silos triángulos tienen tres lados entoncesson polígonos regulares. p↔q • Los triángulos tienen tres lados si y solo sison polígonos regulares. • (p → q) ᴧ r • SiGuatemala es un país de C.Aentoncesel volcán mas alto es el Pacayayuna semana tiene 7 días.

8. Tablas de verdad Es la forma ordenada de presentar las proposiciones compuestas y sus posible valores de verdad. Para determinar la cantidad de valores de verdad de una proposición se utiliza la expresión. Ejemplo: Sean dos proposiciones p y q. ?Cuantos valores son posibles? Por lo tanto: Cantidad de proposiciones Cantidad de valores de verdad V o F

9. Operaciones lógicas Los conectivos nos permiten unir proposiciones simples. Al hacerlo se dice que estamos operando en lógica simbólica. Las tablas de verdad permiten visualizar los valores de verdad correspondientes. • Negación: Es la transformación de una proposición a otra con valor de verdad contrario. La negación de una proposición se representa “p”. Ejemplo: p: Mixco es un municipio de Guatemala. p: Es falso que Mixco es un municipio de Guatemala. Los valores de verdad de una proposición y su negación se muestran en la siguiente tabla:

10. Conjunción: la conjunción solamente es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. Ejemplo: para aprobar el grado hay que estudiar y Realizar tareas. p: estudiando apruebo el grado. q: Realizando tareas aprueba el grado.

11. Disyunción: la disyunción solo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas. Ejemplo: Javier dice que se va de viaje a Chiquimula o a Escuintla. p: Javier visito Chiquimula. q: Javier visito Escuintla.

12. Implicación o Condicional: la implicación de dos proposiciones solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo: Si Leonardo tiene buena salud entonces camina 2 horas diarias. p: tiene buena salud. q: camina 2 horas diarias.

13. Doble Implicación o Bicondicional (Equivalencia): Solo es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: Sergio es un buen deportista si y solo si practica deporte. p: buen deportista. q: practica deporte.

14. Valor de verdad de una proposición compuesta ~ {(p ᴧ q)→(p → q)} p: El agua tiene oxigeno. V q: Los seres vivos necesitan oxigeno. V Determine el valor de verdad de la proposiciones: ~ p→(q ν p) V V V V V V V V V V F V F V

15. Valor de una tabla para una proposición compuesta • Tautología: al resultado final de una tabla en la cual todos los valores son verdaderos. Ejemplo: • Contradicción: al resultado final de una tabla en la cual todos los valores son falsos. Ejemplo: • Contingencia: al resultado final de una tabla en la que existen valores verdaderos y falsos. Ejemplo:

16. ~ p→(q ν p) Contingencia ~ {(p ᴧ q)→(p → q)} Contradicción