Symétrie d’espace temps

1. Symétrie d’espace temps Groupe de Poincaré et groupe de Galilée Daniel Malterre

2. PLAN 1) Quelques notions de théorie des groupes (représentation vraie et projective, groupe et algèbre de lie) 2) Transformation d’espace temps (représentation d’espace temps, relations de commutation) 3) Groupe de Lorentz et de Poincaré (algèbres de Lie et représentations irréductibles) 4) Limite non-relativiste : groupe de Galilée (différences avec le cas relativiste)

3. Représentations d’un groupe opérateurs de symétrie (géométrique) Mais, il faut traduire l’action d’une opération de symétrie sur les quantités physiques Exemple : molécule NH3 Densité de charges : scalaire invariant R Champ électrique : Vecteur d’état :

4. L’ensemble des matrices, de dimension adaptée à la quantité physique considérée, constitue une représentation, elle satisfait la loi de composition du groupe : Représentation vraie En MQ, le vecteur d’état est défini à une phase près! On peut donc avoir pour les représentations dans l’espace de Hilbert Représentation projective

5. Groupe de Lie Groupe continu (par ex. rotations, translations) Générateurs infinitésimaux du groupe Algèbre de lie du groupe (commutateurs) Lien entre propriétés d’invariance et les lois de conservation Invariance par - translation - rotation - transl. temps

6. Exemple : Les rotations géométriques • Rotation de q autour de 0z : • Rotation infinitésimale matrice de représentation dans l’espace géo

7. idem pour les rotations autour de Ox et Oy Ces matrices de rotations infinitésimales satisfont :

8. Pour une rotation finie : une rotation quelconque : est le générateur des rotations l’algèbre de Lie du groupe des rotations

9. Transformations d’espace-temps Galilée : transf. linéaires qui conservent l’intervalle de temps entre 2 évènements et la distance entre 2 évènements instantanés Poincaré : transf. linéaires qui conservent l’intervalle d’univers : 4-transl. 3+3 rot. dans l’esp. de Minkowski

10. Groupe de transformations continues 10 générateurs

11. Transformation par rotation et translation : Matrices de représentation 44

12. On ajoute les translations temporelles et changements de référentiels

13. Construisons les générateurs du groupe - pour les translations - pour les chang. de réf.

14. Dans la représentation de dimension 5, on a pour les générateurs les matrices : Facile de calculer

15. On trouve l’algèbre du groupe de Galilée pour une représentation vraie

16. Dans l’espace de Hilbert : Pour obtenir une représentation projective (terme de phase) on ajoute au 2nd membre un terme proportionnel à l’identité (constantes d’extension) ex On peut les éliminer par une redéfinition des générateurs Sauf pour : d’où : les représentations du groupe de Galilée dans l’espace de Hilbert sont intrinsèquement projectives (comportement de dans changt de réf.)

17. Groupes de Lorentz et de Poincaré Espace de Minkowski dim4=3+1 Groupe de Lorentz = rotation dans l’espace de Minkowski - rotation spatiale (2 dim spatiales) - rotation hyperbol. (1 dim spat+1 dim tempo.) (transf. de Lorentz) SO(3,1)

18. Groupe de Poincaré = Groupe de Lorentz inhomogène (translations spatio-temporelles) Loi de composition inverse de

19. Représentation (projective) dans l’espace de Hilbert unitaire Loi de composition représ. projective terme de phase (peut être éliminé)

20. Générateur du groupe de Poincaré antisym. Transf. infinitésimale Infinitésimales Opérateur unitaire infinitésimal générateurs infin. des 4-rot. et 4-transl. (hermitiques) boost moment cinétique

21. Algèbre de Lie du groupe En prenant pour L une transformation infinitésimale, on obtient l’algèbre de Lie :

22. Ce qui donne en explicitant les et se conservent mais pas

23. Algèbre de Lie du groupe de Lorentz Groupe à 6 paramètres (générateurs ) Opérateur de transformation rot. spatiale Boost (transf. de Lorentz)

24. Représentation du groupe de Lorentz Définissons : permet de découpler les relations de commutation : SU(2)SU(2) (j entier ou demi-entier)

25. Les représentations irréductibles de SO(3,1) sont donc caractérisées par (j1, j2) associés à M2 et N2 Remarque : n’est pas unitaire à cause de l’angle imaginaire des boosts en accord avec la propriété des groupes non-compacts qui n’admettent que des représentations unitaires de dim. infinie Matrices de transformation des champs (scalaires, spinoriels, tensoriels) Matrice de rot. angle complexe

26. Moment cinétique : On appelle spin de la représentation (j1, j2) la quantité J= j1+ j2 (j1, j2) et (j2, j1) sont couplés par parité P : Si la parité est une symétrie de l’interaction, alors (j1, j2) n’est pas une représentation du groupe de Lorentz, on doit considérer :

27. Représentation de Dirac matrices de Pauli Pour rotations pures : matrices de SU(2) : transformation des spineurs à 2 composantes

28. Les matrices de D(1/2,0) et D(0,1/2) forment deux représentations bivaluées de SO(3,1) On a 2 types de spineurs R et R transformant suivant D(1/2,0) et D(0,1/2) Si la parité est une symétrie du problème, un spineur droit se transforme en gauche et vice versa, on considère donc les spineurs à 4 composantes (forment une rep. irréd. du gr. de Lorentz complet) Équation de Dirac

29. Représentation du groupe de Poincaré Les représentations sont caractérisées par des grandeurs qui commutent avec tous les générateurs du groupe MASSE D’après l’algèbre de Lie : Donc commute avec On définit un opérateur

30. commute avec les 10 générateurs du groupe (Casimir) caractérise les représentations du groupe SPIN Construisons l’opérateur C’est un moment cinétique car satisfait :

31. On est tenté de définir le spin comme en M.Q. non relativiste : Mais on aurait : On définit le spin par : (limite non relativiste) Invariant par 4-translations suggère de définir l’opérateur : vecteur de Pauli-Lubanski

32. commute avec les 10 générateurs du groupe (second Casimir du groupe) Pour trouver les valeurs propres de il faut se placer dans le référentiel au repos (p=0): d’où comme valeur propre Une représentation irréductible du groupe de Poincaré est caractérisée par la donnée de ses deux opérateurs Casimir : la masse et le spin (particule élémentaire)

33. Attention, définir le spin en M.Q. relativiste n’est pas simple Dans le sous espace d’impulsion définie //Oz Relations de commutation : Algèbre de Lie de SU(2)

34. Particules de masse nulle Pas de repère au repos. On change la définition du spin : Casimir du groupe de même relations de commutation du spin : notons que On considère les restrictions au sous espace associé à la valeur propre parallèle à Oz

35. Dans cette restriction: Puisque comme M=0, et d’où Algèbre de Lie différente du cas M0!!!

36. En utilisant cette algèbre on montre que et que la composante ne peut prendre que 2 valeurs Résumé Le spin des particules de masse nulle se distingue du spin des particules massives (algèbre différente). Alors que 2S+1 valeurs propres existent pour les particules massives seules les 2 projections sur la direction de existent pour les particules de masse nulle

37. Classification de Wigner - représentations irréductibles unitaires du groupe de Poincaré Groupe de Poincaré : produit semi-direct du sous groupe des translations avec le groupe de Lorentz produit semi-direct

38. Groupe des translations abélien repr. irré. unidimensionnelles Toute repr. irré du groupe de Poincaré peut se décomposer sur les repr. 1D du sous groupe des translations : Fonct. de base de la repr. de Poincaré

39. Petit groupe ou groupe du vecteur d’onde : rotations (spat. et tempo. laissant inchangé) Matrice de représentation du groupe de Lorentz Une représentation irréductible du groupe de Poincaré est complètement déterminée à partir des représentations irréductibles du petit groupe et des représentations irréductibles du groupe des translations Ne dépend pas du choix de

40. Classification de Wigner - représentations irréductibles unitaires du groupe de Poincaré doit être positif (énergie d’une particule libre) doit être positif Seuls cas physiques : (a) particules massives (c) particule de masse nulle (f) vide

41. Groupe de Galilée Galilée Poincaré

42. Deux différences entre les algèbres de Lie : La masse apparaît explicitement caractère intrinsèque des représentations Permet d’identifier les boosts dans la limite non relativiste et de retrouver le moment orbital

43. Casimirs du groupe de Galilée? i) opérateur masse M ii) opérateur énergie interne Commute avec et iii) le spin Une représentation irréductible du groupe de Galilée (particule élémentaire) est caractérisée par la donnée de trois grandeurs, la masse M, l’énergie interne et le spin

44. Remarque 1 : particules de masse nulle? Boost infin. état propre de et état propre de et état propre de mais spectre non borné

45. Remarque 2 : changement de référentiels -Ondes sur un plan d’eau 2 observateurs O O’

46. - particules libres O O’ de Broglie

47. Contrairement à une onde classique, et à une fonction d’onde relativiste (représentations vraies) Dans l’espace de Hilbert, les représentations sont intrinsèquement projectives terme de phase par changt de réf. différence essentielle entre ondes classique et quantique

48. Attention la notion de spin n’est pas intrinsèque à la théorie de la relativité Représentations irréductibles du groupe de Galilée sont obtenues à partir de celles du petit groupe et du groupe des translations Translation d’espace-temps État d’une particule libre

49. Petit groupe Conserve À chaque R on trouve le v Isomorphisme entre le groupe des rotations et

50. Les représentations du petit groupe sont celles du groupe des rotations D(S)(R) avec s entier ou demi-entier Transf. de Galilée Composantes des champs Matrice de spin Rot. des composantes Translation Spatio-temp. Pour les particules de spin ½, on peut construire par linéarisation une équation de Dirac non relativiste et trouver en présence d’un champ électromagnétique le facteur de Landé g=2!!