Probabilidad y estadística para CEA Mtra. Ma. Del Carmen López Munive

1. Probabilidad y estadística para CEAMtra. Ma. Del Carmen López Munive Distribución Normal

2. Distribución normal (probabilidad continua) • En ocasiones llamada Gaussiana, utilizada más comúnmente en estadística. • Se representa por la clásica forma de campana y uno puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos.

3. Gráfica de Distribución Normal con una media de 0, y una desviación típica 1

4. Ejemplo: • Es factible determinar la probabilidad de que el tiempo de descarga de una página principal de un navegador de la Web esté entre 7 y 10 segundos, o que la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 8 y 9 segundos. • Sin embargo, la probabilidad de que el tiempo de descarga sea exactamente de 8 segundos es cero. • La función de la densidad normal de probabilidad es

5. Donde: • μ= promedio • σ= desviación estándar • π= 3.1416 • e= 2.71828 • x= cualquier valor de la variable continua, donde (-∞ < X < ∞)

6. a, b y c tienen igual μ, pero diferente σ • by d tienen igual σ, pero diferente μ • a, d y e tienen diferente μ y σ a b e d c

7. El primer paso para encontrar una probabilidad normal es usar la fórmula de la transformación para convertir cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria estandarizada Z • La fórmula de la transformación es:

8. Características de la curva normal • El 68.26% de las veces asume un valor entre± una desviación estándar respecto a su media • 95.44% de las veces asume un valor entre ± 2 desviaciones estándar respecto a su media • 99.72% de las veces asume un valor entre ± 3 desviaciones estándar respecto a su media 95.44% 68.26% m-3sm -2sm -1smm +1sm +2sm+3s

9. 95.44% 68.26% Escala Z 0.5 + 0.5 = 1 m-3sm -2sm -1smm +1sm +2sm+3s

10. Ejemplo • El tiempo de descarga de la página Web se distribuye normalmente con una media μ = 7 segundos, y una desviación estándar σ = 2 segundos. Por tanto, un tiempo de descarga de 9 segundos equivale a 1 unidad estandarizada (es decir, 1 desviación estándar por arriba de la media, porque: • y sustituyendo: Z = (9-7)/2 = 2/2= 1

11. 99.72% 95.44% 68.26% -32-1m123 Escala Z 1 3 5 7 9 11 Escala X μ=7, σ= 2

12. Un tiempo de descarga de 1 segundo equivale a 3 unidades estandarizadas (3 desv. Est) por debajo de la media, porque sustituyendo Z=(1-7)/2 = -3 • Entonces, la desviación estándar es la unidad de medida. En otras palabras, un tiempo de 9 segundos es 2 segundos (es decir 1 desviación est.) más alto o más lento que la media de tiempo de 7 segundos.

13. Ejemplo 2, • Suponga que la página principal de otro sitio web tiene un tiempo de descarga que se distribuye normalmente con una media de 4 segundos y una σ de 1 segundo. Si el tiempo fue de 5 segundos. • X=5, μ=4, σ=1 sustituyendo es igual a 1 • Haz la gráfica correspondiente

14. Suponga que se quiere encontrar la probabilidad de que el tiempo de descarga para el ejemplo 1 sea menor a 9 segundos • X=9, μ=7, σ=2 sustituyendo es igual a 1 • En tablas 0.8413 y en Minitab será:

15. En Minitab: Calc/probabilitydistr/Normal

16. Cumulative/mean=7/input column elegir: C1/optionalstorage: C2

17. Práctica. Grafica lo que se solicita • ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga sea de menos de 9 segundos. • Encontrar la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 7 y 9 segundos • ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga sea menor a 7 segundos o mayor a 9 segundos? • ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga esté por debajo de 3.5 segundos?