Equazioni differenziali - introduzione

1. Pensiamo al seguente problema : Non conoscendo y=f(x) sappiamo che la sua derivata soddisfa la relazione: y’-2x=1 Equazioni differenziali - introduzione Vogliamo determinare la funzione incognita y=f(x) • Isoliamo y’ y’=2x+1 • Integriamo ambo i membri rispetto alla variabile x y=x2+x+c • La funzione cercata é N.B. Non si tratta di una funzione ma di un’insieme di funzioni che si ottengono al variare di c

2. La relazione iniziale y’-2x=1 viene detta equazione differenziale L’incognita è la funzione y=f(x) Equazioni differenziali - definizioni Definizione di equazione differenziale del primo ordine Si chiama equazione differenziale del primo ordine un’equazione del tipo F(x,y,y’)=0. Ognuna delle funzioni y=f(x) che soddisfano tale equazione si chiama soluzione integrale o integrale dell’equazione F(x,y,y’)=0 è un’equazione differenziale, ma anche y’=g(x,y) è un’equazione differenziale in forma normale o esplicita N.B. La funzione y=2x-1 non è una equazione differenziale perché manca y’

3. Definizione di equazione differenziale del secondo ordine Si chiama equazione differenziale del secondo ordine un’equazione del tipo F(x,y,y’,y’’)=0. Equazioni differenziali - definizioni Definizione di equazione differenziale di ordine n Si chiama equazione differenziale di ordine n un’equazione del tipo F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0. Risolvere o integrare un’equazione differenziale di ordine n significa ricercare tutte le funzioni incognite y=f(x) tali che F(x,f(x),f’(x),…,f(n)(x))=0 Una equazione differenziale di ordine n è in forma normale se è nella forma y(n))=F(x,y,y’,…, y(n-1))

4. Si chiama integrale generaledi una equazione differenziale, l’insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell’equazione. Equazioni differenziali - definizioni Questo integrale generale è costituito dalla famiglia di funzioni y=f(x,c) La soluzione che si ottiene sostituendo a c un valore numerico ammissibile è detta integrale particolare Nell’esempio iniziale l’equazione differenziale y’-2x=1ha come integrale generale y=x2+x+ce come integrale particolare y=x2+x+1

5. Il problema della determinazione di un integrale particolare di un’equazione differenziale del primo ordine passante per un punto (x0,y0) è detto Equazioni differenziali - Problema di Cauchy Problema di Cauchy La condizione y0=f(x0) è detta condizione iniziale del problema di Cauchy Il teorema di Cauchy fornisce condizioni per l’esistenza e l’unicità di soluzioni nel caso in cui l’equazione differenziale sia espressa in forma normale

6. Teorema di Cauchy Sia data l’equazione differenziale del primo ordine in forma normale y’=F(x,y)e sia F(x,y) una funzione continua in un insieme AR2 dotata di derivata parziale rispetto a y , anch’essa continua in A.Allora per ogni punto (x0,y0)  A esiste una e una sola soluzione y=f(x) tale che y0=f(x0) Equazioni differenziali - Teorema di Cauchy

7. Dal punto di vista geometrico significa che per ogni punto (x0,y0) del dominio passa una e una sola curva la cui equazione è soluzione dell’equazione differenziale Equazioni differenziali - Esempio Tornando all’esempio il problema di Cauchy ha un’ unica soluzione y=x2+x+1

8. Un’equazione differenziale del primo ordine riducibile al tipoy’=F(x)si risolve nel seguente modo : • si isola la y’ • si integrano ambo i membri rispetto ad x • si determinano le funzioni primitive Equazioni differenziali y’=F(x) Es : Risolvere il problema di Cauchy

9. Una equazione differenziali del 1° ordine è detta a variabili separabili se può essere scritta nella forma y’=g(x)•h(y) con g(x) e h(y) funzioni continue e h(y)0 Equazioni differenziali del 1° ordine a Variabili Separabili • Soluzione : • Si sostituisce a y’ dy/dx • Si separano le variabili in modo da avere al primo membro la y e al secondo la x • Si integrano ambo i membri • Si trovano le primitive e si ricava la y in funxione di x

10. Equazioni differenziali del 1° ordine a Variabili Separabili Esempio : yy’=3

11. Con a(x) e b(x) funzioni continue in un opportuno intervallo Equazioni differenziali lineari del 1° ordine 1° Caso : Equazione differenziale omogenea È a variabili separabili quindi si pone Per y0

12. Detta A(x) una qualsiasi primitiva di a(x) e c una costante arbitraria, si ottiene Equazioni differenziali lineari del 1° ordine con kR Quindi da si ha con kR

13. Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Esempio : y’=4xy con kR

14. Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Esempio : y’=4xy Ricordando che la soluzione è con kR, e dove A(x) una qualsiasi primitiva di a(x)

15. 2° Caso: Si usa il metodo di Lagrange o metodo della variazione della costante arbitraria Equazioni differenziali lineari del 1° ordine • Si risolve l’equazione omogenea associata e si ottiene con kR • si sostituisce nell’espressione precedente la costante k con una funzione incognita k(x) da determinarsi in modo che l’equazione sia soluzione della equazione differenziale di partenza Deriviamo quindi y

16. Si sostituiscono nella equazione differenziale di partenza la y e la y’ trovate Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Quindi si ha dalla Quindi dalla Si ha

17. Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Esempio: y’=-xy+x Applicando direttamente la formula risolutiva si ha :

18. Esempio: y’=2xy-2x3 Considero l’omogenea associata y’=2xy la cui soluzione è Equazioni differenziali lineari del 1° ordine

19. Equazioni differenziali lineari del 1° ordine Si risolve l’integrale per parti (ricordare che )