Revisão Geral

1. Revisão Geral Econometria Avançada Prof. Alexandre Gori Maia

2. A. G. Maia Métodos de Mínimos Quadrados Econometria 2 – Princípio da Normalidade Mínimos Quadrados Y e6 en e4 e2 e5 e3 e1 X O método de mínimos quadrados irá obter os ’s de tal forma que as distâncias entre os valores observados e a reta (ei) sejam mínimas. 2

3. Análise de Variância Econometria 2 – Regressão Linear A. G. Maia Verificando a Signficância da Variável Independente Quando X não explica Y Quando X explica Y Y Menor Soma dos Quadrados da Regressão Maior Soma dos Quadrados da Regressão Y Y Y ^ Y ^ Y X X 3

4. Análise de Variância Econometria 2 – Regressão Linear A. G. Maia Tabela ANOVA H0: O modelo não contribui para explicar Y H1: O modelo contribui para explicar Y Soma dos Quadrados Quadr Médios Fonte F valor p GL Regressão Resíduos Total Decisão Irei afirmar que o modelo contribui para explicar a variável dependente Y quando o nível de significância (valor p) for suficientemente baixo (usualmente < 0,05). Ou seja, afirmo que o modelo é bom somente se a chance de de erro ao fazer tal afirmação for baixa. 4

5. A. G. Maia Regressão Linear Econometria 2 – Princípio da Normalidade Distribuição dos Resíduos Y Yj ~ N ^ Yj Como os resíduos (ei) representam a distância de cada Yi à reta (0+1Xi), então é a mesma coisa afirmar que: Xj X 5

6. A. G. Maia Normalidade dos Resíduos Econometria 2 – Princípio da Normalidade Como verificar o princípio? As técnicas mais utilizadas para verificar se os resíduos estão normalmente distribuídos são: 1) Análise gráfica: Construir um histograma (valores dos resíduos no eixo horizontal e as respectivas freqüências no eixo vertical) e analisar visualmente se a forma de distribuição assemelha-se a uma normal; 2) Estatística Jarque-Bera (JB): O teste Jarque-Bera de normalidade é baseado nas medidas de assimetria e curtose dos resíduos. Com a estatística de JB é possível estimarmos a probabilidade de erro ao afirmar que o pressuposto da normalidade é violado, ou seja, que os resíduos não estão normalmente distribuídos; 6

7. Detectando Heterocedasticidade A. G. Maia Econometria 2 – Heterocedasticidade Análise Gráfica Homocedasticia Heterocedasticia ep ep 0 0 X X A dispersão dos resíduos é a mesma ao longo de X A dispersão dos resíduos aumenta para valores altos de X Heterocedasticia Heterocedasticia ep ep 0 0 X X Há uma relação quadrática entre os resíduos e os valores de X Há uma relação quadrática entre os resíduos e os valores de X 7

8. A. G. Maia Heterocedasticidade Econometria 2 – Heterocedasticidade Como detectar a heterocedasticidade? Dois teste para se detectar a heterocedasticidade: 1) Análise gráfica: Construir um gráfico de dispersão entre os resíduos (ou resíduos padronizados) e cada uma das variáveis independentes do modelo, para verificar se há entre elas alguma relação sistemática. 2) Teste de Goldfeld-Quandt: Divide-se a amostra em duas partições iguais, para verificar se as variâncias diferem entre elas. Ajusta-se então um modelo para cada partição e verifica-se as dispersões dentro de cada partição (erro padrão ou SQRes) são iguais (homocedasticidade) ou diferentes (heterocedasticidade). Y X 8

9. A. G. Maia Corrigindo Heterocedasticidade Econometria 2 – Heterocedasticidade Método de Mínimos Quadrados Ponderados Mínimos Quadrados Ponderados: O método de mínimos quadrados ponderados é um caso especial de uma técnica econométrica mais geral denominada mínimos quadrados generalizados. Na presença de heterocedasticidade, os parâmetros ’s do modelo Y = 0+1X não são eficientes pois são influenciados pelos valores de X com maiores variâncias. Uma opção para corrigir este problema é o chamado método de mínimos quadrados ponderados, que consiste em ponderar as variáveis do modelo pela variância de cada observação, ou seja, ajustar um novo modelo dado por: os parâmetros ’s deste modelo serão melhores (mais eficientes) que os do modelo acima (mínimos quadrados ordinários) Perceba que neste novo modelo há uma variável adicional (1/i) e não há intercepto. Quando os valores de i são desconhecidos, podem ser estimados pelos desvios padrões (erros padrões) das sub-amostras do teste QG. 9

10. MultiColinearidade A. G. Maia Econometria 2 – Multicolinearidade Conceito Ausência de colinearidade Presença de colinearidade Variabilidade de Y explicada por X2 Efeito isolado de X1 em Y Efeito isolado de X2 em Y Variabilidade de Y explicada por X1 Variabilidade total de Y Variabilidade total de Y Efeito conjunto de X1 e X2 sobre Y X2 Variabilidade total de X2 X1 Variabilidade total de X1 10

11. A. G. Maia Multicolinearidade Econometria 2 – Multicolinearidade Como detectar a multicolinearidade? Alguns sinais de multicolinearidade: 1) Estatísticas Conflitantes: Um R2 elevado em um modelo com poucas estatísticas t significativas. É até possível até que a estatística F indique que o modela seja signficativo em explicar a variável dependente, mas nenhuma estatística individual t seja significativa. 2) Relacionamento das variáveis independentes : Um ajuste linear significativo entre as variáveis independentes pode ser um forte indício de multicolinearidade. 3) Fator Inflacionário da Variância : Uma estatística que mensura o Fator Inflacionário da Variância (FIV) pode dar uma idéia de quão inflacionada esta sendo a variância dos parâmetros ’s em virtude da multicolinearidade. 11

12. A. G. Maia Multicolinearidade Econometria 2 – Multicolinearidade O que fazer? Na presença de multicolinearidade, o pesquisador pode tomar as seguintes atitudes: - Aumentar o tamanho da amostra:se aumentarmos o tamanho da amostra, a tendência é que os estimadores do parâmetros ´s fiquem mais precisos (diminua sua variância). Ou seja, o aumento do tamanho da amostra irá aliviar a falta de significância dos parâmetros estimados e melhorar a precisão das estimativas. - Omitir a variável que apresentar alta colinearidade com as demais:desde que esta omissão não comprometa as especificações do modelo, ou seja, ausência de variáveis importantes na compreensão do problema. - Tranformar as variáveis:a multicolinearidade pode ser eliminada transformando-se as variáveis independentes. Por exemplo, se estamos estimando o preço de venda da soja com base na área e quantidade produzida, teremos obviamente um colinearidade entre área e quantidade produzida. Mas se substituirmos ambas as variáveis independentes pela variável produtividade=produção/área, este problema será eliminado. 12

13. Detectando Autocorrelação A. G. Maia Econometria 2 – Autocorrelação Análise Gráfica Ausência de Autocorrelação Autocorrelação e e 0 0 tempo tempo Não há nenhuma relação evidente entre os resíduos ao longo do tempo Há um padrão cíclico de dispersão dos resíduos ao longo do tempo Autocorrelação Autocorrelação e e 0 0 tempo tempo Há uma tendência linear na distribuição dos resíduos ao longo do tempo Há uma tendência quadrática de dispersão dos resíduos ao longo do tempo 13

14. A. G. Maia Autocorrelação Econometria 2 – Autocorrelação Como detectar a autocorrelação? Dois teste para se detectar a autocorrelação: 1) Análise gráfica: Construir um gráfico de dispersão entre os resíduos e o tempo de coleta das informações amostrais, para verificar a existência de alguma relação serial. 2) Teste de Durbin-Watson: A estatística de Durbin-Watson envolve o cálculo de um teste baseado nos resíduos do método de mínimos quadrados, para se testar a hipótese nula da ausência de autocorrelação. 14

15. Teste de Durbin-Watson A. G. Maia Econometria 2 – Autocorrelação Conceito Sabemos que: e e que... Então, quando: A estatística DW varia entre 0 e 4. Na ausência de autocorrelação, o valor de DW será próximo de 2. Quão mais afastado de 2, mais evidências para se rejeitar a hipótese nula da ausência de correlação, seja pela existência de correlação serial positiva (DW≈0) ou negativa (DW≈4). Mas quão distante de 2 deve estar DW para se rejeitar H0? Dado o número de observações da amostra (n) e o número de variáveis independentes (k), deve-se consultar a tabela de Durbin-Watson para obter o limite inferior (dI) e superior (dS) tais que: 0 dI dS 2 4-dS 4-dI 4 15 A novidade aqui é a zona de indecisão, limites onde o teste é inconclusivo!

16. Correção para Autocorrelação A. G. Maia Econometria 2 – Autocorrelação Como corrigir a autocorrelação? Quando a existência de autocorrelação não for devida à falhas na especificação do modelo, uma medida corretiva para o modelo: Que apresenta correlação serial nos resíduos dada por: são os resíduos não autocorrelacionados que devem ser obtidos no modelo original. onde... Será dada por: ou, resumidamente... onde Y*t=(Yt-Yt-1), *0=(0-0), X*t=(Xt-Xt-1), e vt são os resíduos não autocorrelacionados. Este modelo corrige o problema da autocorrelação nos resíduos originais (et), e apresenta o mesmo coeficiente 1 do modelo original. 16

17. Defasagem Temporal A. G. Maia Econometria 2 – Defasagens Distribuídas Conceito Supondo o exemplo da variação no consumo: Dada uma variação de 1.000 reais na renda Em nosso exemplo para a variação no consumo (C) dada uma variação na renda (R), tínhamos: consumo final $200 Ao final, teremos uma variação de 900 reais no consumo. $900 $300 Consumo $ Dados por: $400 consumo anterior Em outras palavras, significa que dada uma variação da renda no período t, uma proporção (0=0,4) terá efeito imediato (t0) na variação do consumo. Outra menor proporção (1=0,3)terá efeito no próximo período (t1), e assim sucessivamente. Ao final, teremos uma variação total no consumo dada por: Tempo t0 t1 t2 Variação total: Enquanto cada coeficiente i de um modelo com defasagem distribuída é chamado de impacto no tempo i, a variação total, ou impacto total de uma variação unitária de X em Y será dada por: 17

18. Transformação de Koyck A. G. Maia Econometria 2 – Defasagens Distribuídas Conceito Estabelecendo uma relação entre o impacto i e o tempo: k Vamos supor que a variação para o período 0 seja dada por 0. onde 0<<1 0 Supondo que os parâmetros i, que definem o impacto de X em cada tempo i, sejam todos do mesmo sinal, Koyck (1954) definiu uma técnica para estimá-los, pressupondo que eles decaiam geometricamente ao longo do tempo. 1 2 3 Tempo 0 1 2 3 Cada valor de 0 irá, portanto, depender do impacto inicial no período t (0) e da taxa de declínio . Por exemplo, supondo que o variação unitária de X cause um impacto imediato igual a 0,8 unidades de Y, com uma taxa de declínio de 0,5, teremos: O impacto irá reduzir-se geometricamente ao longo do tempo, de tal forma que no período 10 o impacto será praticamente nulo (010=0,001) 18

19. Séries Estacionárias A. G. Maia Econometria 2 – Séries Temporais Exemplos Processo estacionário A série varia aleatoriamente em torno de uma média constante, com variância também constante. Choques são amortecidos com o tempo (0<<1). Exemplo: Inflação mensal. Processo não estacionário A série varia aleatoriamente com um tendência ao longo do tempo. Um choque que produz um crescimento no período t, será assimilado integralmente na série (=1). Séries deste tipo são também chamadas de passeio aleatório (random walk). Exemplo: PIB real. 19

20. A. G. Maia Séries Temporais Econometria 2 – Séries Temporais O que fazer quando há variáveis não estacionárias Algumas alternativas quando temos variáveis não estacionárias no modelo de série temporal: 1) Modelo de tendência estacionárias: Uma solução simples para evitar o problema de relação espúrias em variáveis temporais não estacionárias é a inclusão da variável explanatória tempo t. 2) Modelo de diferença estacionária: Quando tempos uma variável não estacionária Yt, é possível que sua diferença Yt=Yt-Yt-1 seja não estacionária, de tal forma que o ajuste possa ser feito com Yt no lugar de Yt; 3) Variáveis cointegradas: Embora não estacionárias, duas variáveis podem compartilhar tendências temporais semelhantes, exibindo uma relação de equilíbrio a longo prazo, podendo desta forma serem relacionadas diretamente num ajuste econométrico. 20

21. Variáveis Dummy A. G. Maia Econometria 2 – Regressão Logística Problemas de Estimação Quando ajustamos um modelo linear do tipo: onde Y é uma variável dummy, ou seja, estamos interessados em prever a probabilidade de sucesso de Y em função da variável independente X, deparamo-nos com uma série de dificuldades. O fato de estarmos forçando um ajuste linear a uma relação curvilínea, irá ocasionar problemas do tipo: Y • Ausência de normalidade na distribuição dos resíduos: a distribuição dos resíduos em torno da reta de regressão não seguirá uma distribuição normal, comprometendo a análise das estatísticas de teste. 1 2) Heterocedasticidade: Valores de X com probabilidade de Y próximos a 0 ou 1 terão menor variabilidade que valores próximos a 0,5. Como conseqüência, os parâmetros estimados serão ineficientes. 0 X 3) Escolha funcional: A relação linear não é a escolha apropriada para este tipo de relação. Probabilidades negativas e maiores que 1 estarão sendo previstas, o que é irreal. 21

22. Regressão Logística A. G. Maia Econometria 2 – Regressão Logística Definição Modelo Logit O modelo logit é o mais tradicional ajuste de regressão quando temos uma dummy como variável dependente. Ajusta uma curva logística à probabilidade de sucesso (P), segundo o modelo não linear: P (1) Para linearizar a expressão: Se Y é uma dummy, então temos que: X A chance de sucesso (odds ratio, ou seja, taxa de sucesso em relação ao fracasso) será dada por: representa qual a chance de sucesso em relação aos fracassos. Temos então o seguinte ajuste linear para a relação entre a chance de sucesso e as variáveis independentes: este ajuste linear é equivalente à curva logística (1) para a probabilidade de sucesso. Uma vez obtido este ajuste, é possível estimar a probabilidade de sucesso dados os valores de X. 22