Luoghi geometrici di punti

1. Luoghi geometrici di punti a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it

2. C r C r Alcune definizioni DEF: un luogo geometrico (piano) è l’insieme di tutti e soli i punti (di un piano) che godono di una stessa proprietà caratteristica. Esempi di luoghi geometrici: Circonferenza: insieme di tutti e soli i punti del piano aventi la stessa distanza r da un punto fisso detto centro della circonfe-renza Cerchio: insieme di tutti e soli i punti del pia-no che hanno da un punto fisso (il centro della cerchio) distanza uguale o minore di una distanza r assegnata

3. Un’importante osservazione DEF: un luogo geometrico L è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano che godono di una stessa proprietà caratteristica P. TUTTI = ogni punto che gode della proprietà P appartiene al luogo L SOLI = solo i punti che godono della proprietà P appartengono al luogo L equivale a dire: Se un punto gode della proprietà P, allora appartiene al luogo L equivale a dire: Se un punto non gode della proprietà P, allora non appartiene al luogo L ovvero (affermazione contronomianle): Se un punto appartiene al luogo L, allora gode della proprietà P

4. quindi… … se vogliamo dimostrare che una data figura geometrica F è un luogo geometrico di punti che godono di una certa proprietà P, la dimostrazione si comporrà di due parti: 1a parte - ogni punto che gode della proprietà P appartiene al luogo, ovvero alla figura F 2a parte - solo i punti che godono della proprietà P appartengono al luogo considerato, ovvero alla figura F e questo equivale a dover dimostrare che: 1 - Se un punto gode della proprietà P, allora appartie-ne alla figura F e questo equivale a dover dimostrare che : 2 - Se un punto appartiene alla figura F, allora gode della proprietà P(N.B. si tratta dell’ inversa della 1)

5. r A M B L’asse di un segmentocome luogo geometrico di punti DEF: Si dice asse di un segmento la retta perpendi-colare ad esso che lo interseca nel suo punto medio. TEOREMA: L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti che hanno la medesima distanza dagli estremi del segmento stesso Ovvero: Dato un segmento AB, il suo asse è costituito da tutti e soli i punti P per i quali vale che PAPB Dovremo allora dimostrare che: 1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora appartiene all’asse del segmento AB e, viceversa: 2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allo-ra ha la stessa distanza da A e da B.

6. Dimostrazione 1a parte 1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora appartiene all’asse del segmento AB r Hp: r è asse di AB (ovv: rAB, rABM, AM MB ) PAPB Th: Pr P Consideriamo il punto P ed il triangolo ABP. ABP è isoscele, poiché PA PB per ipotesi. La mediana PM condotta da P ad AB divide ABP in due triangoli congruenti (da dimostrare applicando il 3° criterio di congruenza): in particolare vale che AMP BMP, e quindi i due angoli sono retti, visto che sommati danno un angolo piatto. A B M ^ ^ La mediana PM è allora perpendicolare ad AB e coincide quindi con l’asse del segmento AB.

7. Dimostrazione 2a parte 2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allo-ra ha la stessa distanza da A e da B. P Hp: r è asse di AB (ovv.: rAB, rABM, AM MB ) Pr Th: PAPB r Consideriamo i triangoli AMP e BMP: AM MB (M è punto medio di AB per ipotesi) AMP BMP (entrambi retti per l’ipotesi che rAB) A B M ^ ^ PM PM (lato in comune) I due triangoli sono quindi congruenti per il 1° criterio di congruen-za per i triangoli; in particolare si avrà che PA PB

8. La bisettrice di un angolocome luogo geometrico di punti A DEF: Si dice bisettrice di un angolo con-vesso la semiretta che esce dal suo vertice che lo divide in due parti congruenti. P O B Vale il seguente teorema: TEOREMA: La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti che hanno la medesima distanza dai lati dell’angolo. Ovvero: Dato un angolo AÔB, la sua bisettrice è costituita da tutti e soli i punti P per i quali vale che la distanza di P dal lato OA sia uguale alla distanza dello stesso punto P dal lato OB